В. Нетребко, И. П

• Название: В. Нетребко, И. П
• Дата: 08.02.2022
• Размер: 5.4 Mb.
• Имя файла: electrodynamics.pdf
• Тип: Учебно-методическое пособие; #355226
• страница: 12 из 18

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа.
Краткие теоретические сведения
Электрические цепи состоят из элементовцепи и соединяющих их проводов. Свойства элементов задаются соотношениями, связывающими падение напряжения на элементе с проходящим через него током. Точки цепи, где сходятся три или более проводов наываются узлами цепи. Участок цепи между двумя соседними узлами называется ветвью. Любой замкнутый участок цепи называется контуром. Протекание токов в цепи описывается системой дифференциальных уравнений
(в простейших случаях алгебраических), которую можно составить, следуя правиламКирхгофа.
Первое правило Кирхгофа: алгебрическаясуммавсехтоков,
втекающихвлюбойузел, равнанулю. Если в цепи N узлов, то это правило позволяет написать N-1 линейно-независимое уравнение. Поэтому при составлении уравнений один узел (любой) следует исключить.
Второе правило Кирхгофа: длялюбогоконтурасуммападений напряжениянаегоэлементахравнасуммеЭДС, действующихвэтом контуре. При составлении уравнений следует выбирать независимые контуры. Такой выбор гарантируется следующим простым алгоритмом: выбрав первый контур (произвольно) помечаем одну из его ветвей, которая не должна входить в последующие контура. Так же поступаем со вторым контуром, и так далее, пока в цепи нельзя будет провести более ни одного контура. Построенная таким путем система контуров позволяет, вместе с системой уравнений для узлов, получить ровно столько уравнений, сколько в цепи неизвестных токов ветвей.
Правило знаков.Чтобы избежать возможных ошибок при составлении уравнений цепи, следует соблюдать правила расстановки знаков. Вначале для каждой ветви, наряду с введением соответствующей переменной, выбирается (произвольно) положительное направление тока ветви, которое больше не изменяется в процессе решения задачи. При составлении уравнений для узлов токи, которые направлены к рассматриваемому узлу учитываются со знаком плюс , а от узла – со знаком

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
215 минус. В уравнениях для контуров падение напряжения на элементе учитывается со знаком + , если при обходе контура этот элемент проходится в направлении, совпадающим с ранее выбранным направлением тока ветви.
ЭДС источника считается положительной, если источник проходится от минуса к плюсу.
Элементы цепи. Обычно рассматривают три типа элементов: резистор (сопротивление), индуктивность и конденсатор. Соответствующие этим элементам величины сопротивления, коэффициента самоиндукции и емкости обозначим R, L, C. Падения напряжения на этих элементах выражаются, соответственно, соотношениями:
U
R
=IR, U
L
=L dI/dt,
U
C
= 1/C ∫Idt ,
(12.1) где I – ток ветви, содержащей элемент.
Последнее выражение содержит произвольную постоянную, которая находится из начальных условий. В индуктивно связанных катушках ЭДС в каждой из обмоток зависит от тока в другой обмотке:

1,2
= L
12
dI
2,1
/dt,
(12.2) где L
12
– коэффициент взаимной индукции обмоток.
Метод комплексных амплитуд.При наличии в цепи источника гармонической ЭДС установившийся режим может быть найден методом комплексныхамплитуд. Метод основан на известном приеме решения дифференциальных уравнений с гармонической правой частью, когда решение ищется в комплексной форме. Применительно к теории электрических цепей ЭДС источника вида E(t) = E
0
cos (
ωt + ϕ) заменяется комплексным изображением E = Ĕexp(i
ωt), где Ĕ – комплекснаяамплитуда:
Ĕ = E
0
exp(i
ϕ). Аналогично вводятся комплексные амплитуды искомых токов Ĭ
k.
Пользуясь обычными правилами Кирхгофа, можно составить систему уравнений для комплексных амплитуд (минуя процедуру составления дифференциальных уравнений), если записать выражения для падений напряжения на элементах в комплексном виде:
Ŭ
R
=
ĬR,
Ŭ
C
=
Ĭ/i
ωC,
Ŭ
L
=
Ĭi
ωL.
(12.3)
Все эти выражения можно записать единообразно:

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
216
Ŭ= ĬZ,
(12.4) где
Z
R
=R, Z
C
= 1/i
ωC,
Z
L
= i
ωL.
В этом случае уравнения цепи составляются точно так же, как и для цепей постоянного тока.
Параметр
Z
называют комплексным сопротивлением (импедансом) соответствующего элемента. Для группы соединенных вместе элементов можно ввести их общее (эквивалентное) комплексное сопротивление по тем же правилам, что и для цепей постоянного тока.
Следует помнить, что действительная амплитуда тока или напряжения – это модуль соответствующей комплексной переменной, а фаза – ее аргумент.
Примеры решения задач
Пример 12.1.
В цепи, показанной на рис.12.1, найдите силу тока через источник
2
E
при условии, что
R
R
R
R
R
R
R
R
2
,
,
2
,
4 3
2 1
=
=
=
=
Решение
.
В рассматриваемой цепи четыре узла и шесть ветвей. Введем шесть неизвестных токов (
6 1
I
I
−
), положительные направления которых обозначены на рис.12.1 стрелками.
Исключив нижний узел, запишем первую систему уравнений Кирхгофа:
,
0 5
2 1
=
−
−
I
I
I
,
0 3
6 2
=
−
+
I
I
I
0 1
6 4
=
−
−
I
I
I
(12.5)
Для трех контуров, показанных на рис.12.2 пунктиром (номер контура помещен в кружке), составим вторую систему уравнений Кирхгофа:
-
1 3
3 2
2
E
R
I
R
I
=
−
,
Рис.12.1

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
217 2
4 4
3 3
E
R
I
R
I
=
+
,
(12.6)
0 4
4 3
3 2
2 1
1
=
+
+
+
R
I
R
I
R
I
R
I
Места разрыва контуров обозначены на рис.12.2 крестиком с номером контура.
Решение этой системы уравнений в общем случае приведено ниже:
(
)
(
)
[
]
∆
+
−
+
=
/
4 3
2 2
2 4
3 1
1
R
R
R
E
R
R
R
E
I
,
(
)
(
)
[
]
∆
+
+
+
−
=
/
3 4
1 2
2 4
3 1
2
R
R
R
E
R
R
R
E
I
,
(
)
(
)
[
]
∆
+
−
+
−
=
/
2 4
1 2
4 2
1 1
3
R
R
R
E
R
R
R
E
I
,
(12.7)
(
)
(
)
[
]
∆
+
+
+
=
/
1 3
2 2
3 2
1 1
4
R
R
R
E
R
R
R
E
I
,
(
)
(
)
[
]
∆
−
+
+
+
+
=
/
4 2
3 1
2 4
1 3
1 4
2 3
2 1
5
R
R
R
R
E
R
R
R
R
R
R
R
R
E
I
,
(
)
(
)
[
]
∆
+
+
+
+
−
=
/
4 2
2 1
4 3
3 1
2 4
2 3
1 1
6
R
R
R
R
R
R
R
R
E
R
R
R
R
E
I
, где
4 3
2 4
2 1
4 3
1 3
2 1
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
+
+
+
=
∆
При оговоренных в условии значениях
R
R
R
R
R
R
2
,
4 2
3 1
=
=
=
=
R
E
R
E
I
4 4
3 1
2 6
−
=
(12.8)
Рис.12.2

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
218
Процедуру решения уравнений можно существенно упростить, воспользовавшись принципом суперпозиции: если обозначить '
6
I
ток в диагональной ветви в случае
0 1
=
E
, а "
6
I
- в случае
0 2
=
E
, то в общем случае "
'
6 6
6
I
I
I
+
=
. Значения '
6
I
и "
6
I
легко находятся.
При
0 2
=
E
схема цепи приобретает вид, показанный на рис.12.3.
При этом в силу симметрии цепи падения напряжения на верхней и нижней половинах схемы одинаковы и равны
2
/
1
E
. Поэтому
R
E
I
I
I
R
E
I
R
E
I
4
/
"
,
2
/
,
4
/
1 1
4 6
1 1
1 4
−
=
−
=
=
=
Аналогично рассуждая, находим для другого случая:
,
2
/
,
4
/
2 1
2 4
R
E
I
R
E
I
−
=
=
R
E
I
4
/
3
'
2 6
=
Окончательно получим прежний результат (12.8).
Пример 12.2.
В цепи, показанной на рис.12.4, найдите изменение напряжения на конденсаторе как функцию времени при условии, что вначале конденсатор не заряжен.
Ключ замыкается при
0
=
t
Решение
.
После замыкания ключа структура цепи совпадает с рассмотренной в предыдущем примере, если заменить источник с
2
E
конденсатором C . Обозначив напряжение на конденсаторе V , составим систему уравнений
Кирхгофа, которая совпадает с (12.5), (12.6), где следует заменить
2
E
на
(
)
V
−
(согласно выбранному ранее направлению тока
6
I
напряжение
V
следует считать положительным, если плюс расположен слева).
Воспользуемся полученным ранее решением (12.8):
Рис.12.3
Рис.12.4

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
219
R
E
V
I
4 3
1 6
+
−
=
С другой стороны из свойств конденсатора следует
dt
dV
C
I
=
6
Приравнивая эти выражения, получаем
R
E
V
dt
dV
4 3
1
+
−
=
(12.9)
Теперь следует найти решение (12.9) с начальным условием
( )
0 0
=
V
. Заметим, что (12.9) имеет очевидное частное решение
3
/
1
E
V
−
=
, поэтому
( )






−
+
−
=
RC
t
A
E
t
V
4 3
exp
3 1
, где А - произвольная постоянная.
Из начального условия следует
3
/
1
E
A
=
. Окончательно получим:
( )






−






−
=
1 4
3
exp
3 1
RC
t
E
t
V
(12.10)
Пример
12.3.
Конденсатор, заряженный до напряжения
0
U
, подключается при
0
=
t
к цепи, как показано на рис.12.5.
Найдите зависимость напряжения на конденсаторе от времени.
Решение
.
Для
0
>
t
первое уравнение Кирхгофа имеет вид:
0 3
2 1
=
+
+
I
I
I
(12.11)
Из (12.1) непосредственно следует:
Рис.12.5

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
220
U
dt
dI
L
R
U
I
dt
dU
C
I
=
=
=
3 2
1
,
,
(12.12)
Продифференцировав уравнение (12.11) и подставив в него производные токов, полученные из (12.12), запишем:
0
/
/
'
"
=
+
+
L
U
R
U
CU
, или
0 2
2 0
2 2
=
+
+
U
dt
dU
dt
U
d
ω
δ
,
(12.13) где
LC
RC
/
1
,
/
1 2
2 0
=
=
ω
δ
Общее решение этого уравнения имеет вид:
(
)
( )
( )
[
]
t
B
t
A
t
U
ω
ω
δ
sin cos exp
+
−
=
,
(12.14) где
2 2
0
δ
ω
ω
−
=
,
RC
2
/
1
=
δ
,
LC
/
1 0
=
ω
Постоянные
A и B находятся из начальных условий. По условию задачи
( )
0 0
=
U
. Для нахождения
( )
0
'
U
заметим, что
( )
0 0
3
=
I
, так как ток через индуктивность не претерпевает скачков. Поэтому при
0
=
t
ток
2 1
I
I
−
=
, а
R
U
I
/
0 2
=
. Таким образом,
( )
( )
RC
U
C
I
U
/
/
0 0
'
0 1
−
=
=
Используя эти значения, находим:
ω
δ
/
,
0 0
U
B
U
A
−
=
=
. Откуда окончательно
:
(
)
( )
( )






−
−
=
t
t
t
U
U
ω
ω
δ
ω
δ
sin cos exp
0
Пример 12.4.
Найдите полный заряд, протекающий во вторичной цепи трансформатора после замыкания ключа (см. схему на рис.12.6).
Решение
.
Уравнения для двух контуров, содержащихся в схеме, будут:
dt
dI
L
E
I
R
dt
dI
L
2 12 1
1 1
1
+
=
+
,
(12.15)
Рис.12.6

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
221
dt
dI
L
I
R
dt
dI
L
1 12 2
2 2
2
=
+
(12.16)
Заряд
2
Q
, равный
∫
∞
0 2
dt
I
, можно найти, не решая системы уравнений (12.15),(12.16). Для этого проинтегрируем уравнение (12.16) по времени от нуля до бесконечности:
0 0
1 12 2
2 2
2
∞
=
+
∞
I
L
Q
R
I
L
(12.17)
Учитывая начальные условия
( )
( )
0 0
,
0 0
2 1
=
=
I
I
и предельные значения токов
( )
1 1
/ R
E
I
=
∞
и
( )
0 2
=
∞
I
, найдем
2 1
12 2
R
R
EL
Q
=
Пример 12.5.
В цепи, показанной на рис.12.7, найдите фазовый сдвиг между током
1
I
, протекающим через катушку индуктивности, и током
2
I
в резисторе
2
R
. При каком условии этот сдвиг фаз не зависит от частоты?
Решение
.
Как видно из рис.12.8, цепь можно представить как последовательное соединение двух участков по два элемента в каждом.
Поэтому
Рис.12.7
Рис.12.8

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
222
(
)
(
)
C
R
i
R
Z
L
i
R
LR
i
Z
Z
Z
Z
2 2
2 1
1 1
2 1
1
/
,
/
,
ω
ω
ω
+
=
+
=
+
=
. (12.18)
Падения напряжения на этих участках будут:
(
)
(
)
,
/

,
/

2 1
2 2
2 1
1 1
Z
Z
EZ
U
Z
Z
EZ
U
+
=
+
=
2 2
2 1
1
/


,
/


R
U
I
L
i
U
I
=
=
ω
(12.19)
(
)






+
+
=
=
−
=
1 2
2 1
2 1
/
1 1
arg

/

arg

arg

arg
R
L
i
C
R
i
I
I
I
I
ω
ω
ϕ
(12.20)
Из (12.20) следует:
(
)
(
)
1 2
/ R
L
arctg
C
R
arctg
ω
ω
ϕ
−
=
Сдвиг фазы не зависит от частоты, если
1 2
/ R
L
C
R
=
В этом случае
0
=
ϕ
Пример 12.6.
Найдите условие, при котором ток
3
I
в диагонали моста (см. рис.12.9) будет равен нулю.
Рис.12.9

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
223
Решение
.
Требуемое условие можно получить, составив систему уравнений Кирхгофа для цепи, найдя ток в диагонали и приравняв его к нулю.
Такой путь требует, однако, довольно длинных вычислений. Задачу можно решить значительно короче следующим путем. Допустим, что ток
3
I
(рис.12.10) равен нулю и запишем условие, когда это будет действительно так. При
0 3
=
I
потенциалы точек А и В должны быть равны.
Вместе с тем, ветвь, по которой течет ток
3
I
, можно удалить (так как этот ток равен нулю), не изменив режим в оставшейся части цепи.
Поэтому, если в исходной цепи требуемое условие выполнено, то в цепи, показанной на рис.12.10, потенциалы
A
V
и
B
V
должны совпасть. Запишем это условие:
4 2
4 3
1 3
,
Z
Z
EZ
V
Z
Z
EZ
V
B
A
+
=
+
=
, откуда
4 1
3 2
Z
Z
Z
Z
=
(12.21)
Подставляя вместо комплексных сопротивлений ветвей их конкретные значения
1 2
R
Z
=
,
2 3
R
Z
=
,
L
i
Z
ω
=
1
и
C
i
Z
ω
/
1 4
=
, получим
C
L
R
R
=
2 1
Рис.12.10

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
224
Пример 12.7.
Найдите амплитуду тока I в цепи, показанной на рис.12.11. Возможны ли такие значения параметров цепи, при которых ток не будет зависеть от частоты источника?
Решение
.
Запишем комплексное сопротивление цепи, рассматривая ее как параллельное соединение двух ветвей, каждая из которых содержит два элемента:
C
i
R
Z
L
i
R
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ω
ω
/
1
,
,
2 1
2 1
2 1
+
=
+
=
+
=
После простых преобразований получим
(
) (
)
(
)
C
L
i
R
C
L
i
RC
R
R
Z
ω
ω
ω
ω
/
1 2
/
1
/
1
−
+
−
+
+
=
,
(12.22)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
/
1
/
/
1 4
/

C
L
RC
L
R
C
L
R
R
E
Z
E
I
ω
ω
ω
ω
−
+
+
−
+
=
=
Как нетрудно заметить непосредственно из (12.22), если
R
CR
L
R
2
/
=
+
, или
2
CR
L
=
, то комплексный множитель в (12.22) сокращается и
R
Z
=
независимо от частоты
ω
. В этом случае ток в цепи от частоты не зависит.
Задание для самостоятельной работы
Правила
Кирхгофа
Вусловияхзадач, еслинеоговореноспециально, внутренниесопротивления источниковсчитаютсяравныминулю. Токинасхемахнаправлены произвольно. Еслиреальныйтоктечеттак. какуказанонасхеме, тов ответестоитзнак +, еслинет - томинус.
Рис.12.11

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
225
12.1.
Из 12 проводников, обладающих одинаковым сопротивлением, спаян куб. Три проводника разорваны таким образом, что в каждом из шести одинаковых контуров, образованных гранями куба, есть по одному разрыву.
В эти разрывы вставлены одинаковые элементы с нулевым внутренним сопротивлением. Ток в двух из них одинаков и равен I . Найдите ток через третий элемент.
12.2. Два гальванических элемента с ЭДС
2 1
, E
E
и внутренними сопротивлениями
2 1
, r
r
соединены параллельно.
Найдите
ЭДС и внутреннее сопротивление полученной батареи.
12.3. Каково должно быть сопротивление R измерительного прибора (рис.12.12), чтобы при небольшом рассогласовании первоначально уравновешенного моста прибор потреблял максимальную мощность?
12.4.
Сопротивление состоит из трех элементов, соединенных треугольником: R
12
=2
Ом, R
23
=4
Оми R
31
=5
Ом. Токи, притекающие извне к его вершинам: I
1
=4,5
А, I
2
=1,5
А. Найдите потенциалы вершин
1
ϕ и
2
ϕ , если потенциал
0 3
=
ϕ
12.5. Электрическая цепь имеет вид тетраэдра, спаянного из проволочек сопротивлением r каждая. Удалив из схемы три проволочки, получили цепь, соединяющую две вершины А и В тетраэдра, причем такую, что, пройдя по ней, можно посетить все вершины тетраэдра по одному разу. Каково будет сопротивление цепи между точками А и В, если вставить вместо удаленных проволочек другие, сопротивлением R каждая.
12..6. В схеме, показанной на рис.12.13, сопротивление
1
R
разделено на две равные части '
'
1
R
и "
2
R
. Найдите разность потенциалов между точками А и
Рис.12.12

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
226
В. Внутренним сопротивлением источников пренебречь.
,
2
,
1
,
7
,
41 2
1 2
1
Ом
R
Ом
R
B
E
B
E
=
=
=
=
Ом
R
3 3
=
и
Ом
R
4 4
=
12.7. Определите токи во всех ветвях схемы (рис.12.14). Параметры схемы:
E
1
=200 B, E
2
=10 B, E
3
=30 B, E
4
=56 B,
r
1
=6
Ом, r
2
=r
3
=30
Ом, r
4
=15
Оми
r
6
=40
Ом.
12.8. Три источника тока и реостат соединены, как показано на рис.12.15.
Определите силу тока в реостате, если
E
1
=5 B, E
2
=4 B, E
3
=3B, r
1
=2
Ом, r
2
=1
Ом, r
3
=0,5
Оми R=2,5 Ом.
Рис.12.13
Рис.12.15
Рис.12.14

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
227
12.9.
Найдите потенциалы узлов А, В и С, если потенциал узла
D
равен нулю
(рис.12.16).
Внутренним сопротивлением батарей пренебречь.
12.10.
Определите внутреннее сопротивление и
ЭДС элемента, эквивалентного данной батарее
(рис.12.17), то есть дающего во внешнюю цепь такой же ток, как и батарея при любом сопротивлении R.
12.11. Найдите ток в ветви АВсхемы, изображенной на рис.12.18, если E
1
=6 B,
E
2
=16 B, E
3
=28 B, r
i
=2
Оми R
i
=9
Ом.
12.12. Какова должна быть ЭДС элементов
Е
2
,
Е
3
в схеме, показанной на рис.12.19,
Рис.12.16
Рис.12.17
Рис.12.18 рис.12.19

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
228 чтобы ток в ветви АВ был равен I
AB
=4 A? E
1
=4 B, r=0,5
Ом, R=2,25 Ом.
Переходные процессы
Взадачах, гденасхемахнеуказановнутреннесопротивление источников, принятьихравныминулю. Еслинеоговореноособо,
конденсаторывначальныймоментсчитатьнезаряженными. Привыборе корней характеристического уравнения знак
+
перед корнем соответствует
1
λ , азнакминус -
2
λ .
12.13. В схеме, показанной на рис.12.20, в момент
0
=
t
ключ замыкается. Найдите зависимость тока через резистор от времени
( )
t
I
R
12.14. Найдите предельное напряжение на конденсаторе в схеме, показанной на рис.12.21, после замыкания ключа.
Рис.12.20
Рис.12.21

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
229
12.15.
Найдите предельный заряд конденсатора в схеме, показанной на рис.12.22, после замыкания ключа.
12.16. Найдите зависимость напряжения на индуктивности от времени, в цепи на рис.12.23, если в момент времени
0
=
t
ключ
Кпереходит из положения 1 в положение 2.
12.17.
Найдите зависимость от времени напряжения на обоих конденсаторах в схеме на рис.12.24, если в момент
0
=
t
ключ К мгновенно переключается из положения 1 в положение 2. Емкости конденсаторов одинаковы
C
C
C
=
=
2 1
12.18. Найдите зависимость напряжения на конденсаторе от времени (рис.12.25), если в момент
0
=
t
ключ К замыкается.
Рис.12.22
Рис.12.23
Рис.12.24
Рис.12.25

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
230
12.19. Через какой промежуток времени
τ
после замыкания ключа напряжение на сопротивлении в верхней ветви (рис.12.26) станет равным нулю? До замыкания ключа конденсатор в средней ветви был заряжен, а конденсатор в верхней ветви -- разряжен.
12.20.
Найдите напряжение на конденсаторе (рис.12.27) как функцию времени, если ключ замыкается в момент
0
=
t
12.21. Найдите напряжение на катушке индуктивности (рис.12.28) как функцию времени, протекшего после замыкания ключа.
12.22.
При каких значениях
R изменение напряжения на индуктивности после замыкания ключа будет апериодическим (рис.12.29)?
Рис.12.27
Рис.12.26
Рис.12.28
Рис.12.29

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
231
12.23.
Каково должно быть
α
, чтобы при замыкании ключа в момент
0
=
t
в цепи
(рис.12.30) сразу наступил установившийся режим?
12.24. Найдите ток через резистор R
(рис.12.31) после замыкания ключа, если начальные токи в индуктивностях равны нулю, а магнитной связи между катушками нет.
12.25. Рубильник К (рис.12.32) замкнут в течение продолжительного времени и размыкается в момент
0
=
t
. Найдите напряжение на рубильнике
( )
t
U
Рис.12.30
Рис.12.31
Рис.12.32

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
232
12.26. Найдите напряжение
( )
t
U
(рис.12.33) на правом конденсаторе, если в момент
0
=
t
ключ
К: а) замыкается, б) размыкается.
12.27. Через какой промежуток времени после замыкания ключа в схеме, изображенной на рис.12.34 напряжение на конденсаторе 3С будет наименьшим?
12.28. Найдите ток через резистор R
3 в схеме на рис.12.35 после замыкания ключа, если начальные напряжения на всех конденсаторах равны нулю?
Рис.12.33
Рис.12.34
Рис.12.35

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
233
12.29.
Найдите ток через сопротивление
R (рис.12.36) как функцию времени, протекшего после замыкания ключа К.
12.30. Как будет изменяться со временем ток
I в цепи, представленной на рис.12.37, после замыкания ключа?
Вынужденные колебания в
цепи переменного тока
12.31. Два конденсатора С
1 и С
2
и сопротивление R соединены по схеме, показанной на рис.12.38. Определите силу тока через сопротивление
R и конденсатор С
1
12.32. При каком соотношении между частотой переменного тока
ω
и параметрами схемы (рис.12.39)
L
r
,
и С сдвиг фаз между напряжением и током через источник будет равен нулю?
Рис.12.36
Рис.12.37 рис.12.38
Рис.12.39

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
234
12.33. Найдите зависимость от частоты амплитуды напряжения V в схеме, показанной на рис.12.40.
12.34. Найдите мощность W , рассеиваемую в схеме, показанной на рис.12.41.
12.35.
Какова должна быть емкость конденсатора
С, чтобы мощность, выделяемая в цепи, изображенной на рис.12.42, была максимальна. Найдите эту максимальную мощность.
12.36.
Найдите сдвиг фаз между напряжениями
1
U
и
2
U
в схеме, показанной на рис.12.43.
Рис.12.40
Рис.12.41
Рис.12.42
Рис.12.43

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
235
12.37. Найдите сдвиг фаз между токами
1
I и
2
I
в схеме, показанной на рис.12.44.
12.38. Найдите сдвиг фаз между напряжениями
1
U
и
2
U
в схеме, показанной на рис.12.45.
12.39. Найдите сдвиг фаз между токами
1
I
и
2
I
в схеме, показанной на рис.12.46, если известно, что сдвиг фаз между токами
3
I
и
4
I
равен
ϕ .
Элементы, обозначенные *, имеют неизвестные, но одинаковые импедансы.
Рис.12.44
Рис.12.46
Рис.12.45

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
236
12.40. Найдите значения
3 3
1
,
,
C
L
L
, при которых цепь, показанная на рис.12.47а, на любой частоте ведет себя так же как цепь, показанная на рис.12.47б. если параметры
2 0
, L
L
и
2
C
известны.
12.41. В момент
0
=
t
контур
L
r
,
замыкается накоротко
(рис.12.48).
Определите величину тока в этом контуре.
12.42.
Найдите сдвиг фаз между напряжениями
1
U
и
2
U
в схеме, показанной на рис.12.49.
Рис.12.47
Рис.12.48
Рис.12.49

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
237
12.43.
Найдите максимально возможный сдвиг фаз между токами
1
I
и
2
I
в схеме, показанной на рис.12.50. При какой частоте он достигается?
12.44.
Найдите сдвиг фаз между напряжениями
1
U
и
2
U
в схеме, показанной на рис.12.51.
12.45.
Схема
(рис.12.52) присоединена к источнику переменной
ЭДС заданной амплитуды
0
U
. При некотором R в схеме выделяется наибольшая мощность.
Найдите эту мощность.
Рис.12.50
Рис.12.51
Рис.12.52
Рис.12.53

§12. Электрическиецепи. ПравилаКирхгофа
238
12.46. Найдите среднюю мощность, отдаваемую источником в схеме, показанной на рис.12.53.
12.47. Найдите сдвиг фаз
ϕ между токами
1
I
и
2
I
в схеме, показанной на рис.12.54.
12.48. Сила тока в катушке
1
L
в схеме, показанной на рис.12.55, равна
t
I
ω
cos
0
. Найдите ЭДС.
12.49. Найдите сдвиг фаз между напряжением на конденсаторе и током через сопротивление r в схеме, показанной на рис.12.56.
рис.12.54 рис.12.55
Рис.12.56

§13. Электромагнитныеволны
239