В. Нетребко, И. П
 Скачать 5.4 Mb.
|
|
§ 3. Проводникиидиэлектрикивэлектрическомполе . ТеоремаГаусса 3.1. σ α ε tg mg q ⋅ = 0 2 §15. Ответы 287 3.2. ( ) 2 1 2 1 2 1 q q − = − = σ σ , ( ) 2 1 2 1 2 1 ' ' q q + = = σ σ , 0 2 1 2 ε q q E x − = , 0 2 1 2 ε q q E E x x + = ′′ − = ′ 3.4. Потенциал проводника уменьшится 3.5. На внутренней поверхности оболочки появится наведенный заряд такой , чтобы поле внутри оболочки обратилось в ноль Так как оболочка не заряжена , то заряд противоположного знака распределится по внешней поверхности оболочки равномерно 1) Если к оболочке поднести заряженный проводник , то изменится поле снаружи оболочки так , чтобы поле в проводнике было равно нулю Распределение заряда на внутренней оболочке не изменится и по - прежнему будет создавать напряженность в оболочке , равную нулю . 2) Перемещение внутреннего проводника будет приводить к изменению распределения заряда на внутренней оболочке , но не будет влиять на поле снаружи 3.6. Увеличится , так как поверхностная плотность заряда на металлической пластинке против диэлектрика возрастет 3.7. Поле радиально и определяется выражениями ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − = 0 4 4 0 2 0 1 3 2 1 2 3 2 0 1 3 2 3 2 1 r Q R R R R R R r Q R R R R R R E πε πε если r R R r R R r R R r < < < < < < 3 3 2 2 1 1 , где r - расстояние от центра сфер 3.8. 2 1 d Ux E = , ( ) 2 2 d d x U E + = 3.9. 1 2 2 3 / q q q = 3.10. Уменьшится §15. Ответы 288 3.11. ≤ ≥ = R r r R r r r R r E , 2 , 2 ) ( 0 2 0 2 ε ρ ε ρ r r r r , где r – расстояние от оси цилиндра до рассматриваемой точки пространства 3.12. ( ) 2 2 0 4 2 d h d E + = π ε κ , направлено параллельно плоскости , в которой лежат провода 3.13. Поле перпендикулярно к поверхности слоя и равно вне слоя x x d E x 0 ε ρ = и внутри слоя 0 / ε ρx E x = Ось x 0 перпендикулярна к поверхности слоя , 0 = x в середине слоя 3.14. ) 1 / ( − + − = ε ε r R Q q 3.15. ( ) r E r 0 0 2 ε ρ = 3.16. 4 6 2 0 0 24 r a E F πε = , сферы притягиваются 3.17. а ) ; 2 3 1 E E E Φ > Φ = Φ б ) q D D D = Φ = Φ = Φ 3 2 1 Палочка нарушает сферическую симметрию поля , поэтому определить поле D с помощью интегральной теоремы Гаусса невозможно 3.18. а ) ( ) x E x ε ϕ = при a x < ; ( ) − + = x x a x E x x a E x ε ϕ при a x > ; б ) − − = ε ε σ 1 1 ' 0 E ; в ) ( ) E P 0 1 ε ε ε − = §15. Ответы 289 3.19. − = снаружи внутри n P E , 0 , cos 0 r r ε α 3.20. а ) 0 ε P E − = , 0 = D ; б ) P l L E 0 2 πε − = , P l L D − = π 2 1 3.21. ( ) 0 3 / 3 / 1 ' ε ε P E E = − = . 3.22. В точках А и В напряженность возрастет в три раза , а в точках С и D обратится в нуль §4. Уравненияэлектростатики 4.1. ( ) n a R aR q F 2 2 2 0 2 4 − = πε , единичный вектор n направлен от центра сферы 4.2. ( ) n a q F − + − = 2 4 4 2 0 2 1 1 8 1 4 ξ ξ ξ πε , где a R 2 = ξ , единичный вектор n направлен от центра шара 4.3. а ) диполь притягивается к плоскости с силой 4 0 2 64 3 a p F e πε = ; б ) диполь отталкивается от плоскости с силой F F 2 1 = 4.4. ( ) ( ) + − − − = 2 / 3 2 2 cos 2 1 1 1 4 ξ α ξ ξ π σ Ra q M , где a R = ξ , α - угол между отрезками прямых , соединяющих центр сферы с зарядом и центр сферы с текущей точкой M на сфере §15. Ответы 290 4.5. 1) ( ) 2 2 0 2 8 R a R q A − = πε , 2) ( ) 2 2 2 0 3 2 8 R a a R q A − = πε 4.6. − = 2 1 2 8 2 0 2 d q F πε , сила направлена к вершине двугранного угла О. 4.7. Поле создается четырьмя зарядами , показанными на рис .15.2, где a qR q a R b / ' , / 2 = = Его потенциал равен ( ) ( ) ( ) + + + + − − + + = 2 2 2 2 2 2 0 [ 4 1 , , a z y x q a z y x q z y x πε ϕ ( ) ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R az y a x a qR R za y a x a qR − + + − + + + + 4.8. d qR q − = ' - заряд , образовавшийся на шаре 4.9. ( ) + + = R q Q d q R Q 0 0 0 4 4 4 πε πε πε ϕ , если R d R d ≤ > , 4.10. Поле параллельно оси x 0 и напряженность его x E α = Такое поле будет существовать внутри слоя , ограниченного двумя бесконечными плоскостями , перпендикулярными к оси x 0 , и заряженного равномерно с объемной плотностью 0 αε ρ = 4.11. 2 2 1 2 1 2 1 0 16 1 d q F ε ε ε ε ε πε + − = , заряд притягивается к плоскости , если 1 2 ε ε > , и отталкивается , если 1 2 ε ε < Рис .15.2 §15. Ответы 291 4.12. ( ) , / 2 1 0 0 x E α ε α ε ρ + − = где a 1 2 ε ε α − = ; плотность заряда в центре пластины ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 0 0 0 / 59 , 0 4 м мкКл a E − = + − − = ε ε ε ε ε ρ 4.13. ( ) 2 0 max / 5 , 3 1 м нКл E = − = ε ε σ , 10 2 max 10 1 , 1 − + ⋅ = = R Q π σ Кл 4.14. ρ ω PE l 3 2 = 4.15. n d F v r 1 2 1 2 1 0 2 4 ε ε ε ε ε πε κ + − = , где n r - единичный вектор , направленный к поверхности раздела 4.16. ( ) ( ) 2 / 3 2 2 1 1 2 1 L qL + + − − = ρ ε ε π ρ σ , здесь ρ - расстояние от основания перпендикуляра , опущенного от заряда на границу раздела , до произвольной точки поверхности q Q 1 1 + − − = ε ε , заряд притягивается к диэлектрику с силой 2 2 0 4 1 1 4 1 L q F + − = ε ε πε 4.17. а ) нет ; б ) да 4.18. = 3 0 3 0 R a ε ρ , если R r R r < > 4.19. В начале координат находится точечный заряд a q 0 4 πε = , внутри сферы находится заряд с объемной плотностью 3 0 3 R a ε ρ − = §15. Ответы 292 4.20. = r a 0 12 0 ε ρ если R r R r < > , на сфере радиуса R распределен заряд с поверхностной плотностью 2 0 3 R a ε σ − = 4.21. В начале координат находится заряд a q 0 4 πε = , сфера радиуса R заряжена 4.22. В начале координат находится точечный заряд b q 0 4 πε = , вне - заряд распределен непрерывно с поверхностной плотностью ( ) ( ) ar r ba r − − = exp 0 2 ε ρ 4.23. 2 0 2 2 1 1 1 ) ( r Q r E ε ε ε Ω + Ω = , где r – расстояние от центра сфер §5. Электроемкость. Энергияэлектрическогополя 5.1. ) 1 ( 1 4 2 1 1 0 − + = ε πεε R R R C 5.2. 2 1 0 2 U R W πε − = ∆ 5.3. 0 1 0 3 1 C d d C C = + = 5.4. ( ) 2 1 2 1 0 ln ε ε ε ε ε d S C − = 5.5. а) напряжение не изменится; б) напряженность уменьшится вдвое 5.6. ( ) , / ln 4 0 a b a C a ε πε = ( ) 2 0 / ln 2 U a b a W a ε πε = §15. Ответы 293 5.7. ( ) r a r r a C / ln ln 0 0 0 πε πε ≈ − = 5.8. ) ( 2 2 1 1 0 ψ ε ψ ε ε + = lr Q E , где r - расстояние от оси конденсатора, ( ) l R R C 1 2 2 2 1 1 0 / ln ε ψ ε ψ ε + = 5.9. Не изменится. n n U U 1 0 − = -- уменьшится 5.10. 1) емкость батареи, включенной по схеме а), больше; 2) , 2 1 2 1 4 C C C C C + = 3 C может быть любой. 5.11. емкости равны. 5.12. 1 C 5.13. 1 2 W W ε = -- энергия увеличилась за счет работы по удалению диэлектрика. 5.14. ( ) ( ) ( ) ( ) Дж R R R R R R R R R Q 14 3 2 1 2 3 2 3 2 2 3 1 3 1 2 2 1 2 1 0 10 5 , 4 2 ⋅ = + + − + − + − = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ πε 5.15. 1) ( ) , 2 1 2 0 d U S W − − = ∆ ε ε W A ∆ − = 2 ; 2) ( ) d U S A W 2 1 2 0 − = = ∆ ε ε ε 5.16. ( ) d d S q A − = 0 0 2 2 ε , за счет энергии электрического поля конденсатора. 5.17. − = 1 2 2 0 ε εε ε dA S d x §15. Ответы 294 5.18. − = b a q W 1 1 8 0 2 ε πε 5.19. 0 2 16 ) 1 ( ε ε π ε R q W + = 5.20. нДж r q A 9 , 0 40 0 2 = = πε 5.21. s d d A A − = 2 1 5.22. 1 = α 5.23. ( ) 1 2 2 1 2 2 1 1 0 R R R R C − Ω + Ω = ε ε ε 5.24. d R U M 4 ) 1 ( 2 2 0 − = ε ε §6. Квазистационарные токи 6.1. 2 1 1 2 2 1 2 1 , R R UR U R R UR U + − = + = 6.2. 2 1 2 1 λ λ α α = tg tg , где 2 1 , α α - углы, образованные линией тока с нормалью к поверхности раздела в первой и во второй среде. 6.3. b b a R 1 2 1 1 1 2 1 1 2 ⋅ + − = πλ πλ 6.4. + ≈ 2 1 1 1 2 1 a a R πλ §15. Ответы 295 6.5. 10 2 1 2 1 = = λ λ N N 6.6. ( ) ( ) , , 2 2 1 2 2 0 2 2 2 1 1 2 0 1 R R R N R R R N + = + = ε ε где 2 2 1 1 1 2 , 2 ρ ρ S d R S d R = = 6.7. ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 0 0 2 λ λ λ ε λ ε ε σ ε + − = d 6.8. r R πλ 2 1 = 6.9. ( ) 2 1 2 1 0 C C C C R λ εε + = 6.10. ( ) ( ) , , 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 R R R U N R R R U N + = + = где − = − = 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 1 , 1 1 4 1 r r R r r R πλ πλ 6.11. ( ) ( ) , , 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 R R R U N R R R U N + = + = где 2 3 2 2 1 2 1 1 ln 2 1 , ln 2 1 r r l R r r l R λ π λ π = = 6.12. В r l L I U ш 9 , 14 1 ln 0 = + = πλ 6.13. + = d D D l R ln 1 πδλ |