В. Нетребко, И. П

• Название: В. Нетребко, И. П
• Дата: 08.02.2022
• Размер: 5.4 Mb.
• Имя файла: electrodynamics.pdf
• Тип: Учебно-методическое пособие; #355226
• страница: 1 из 18

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА
Факультет вычислительной математики и кибернетики
ПРАКТИЧЕСКИЕ
ЗАНЯТИЯ
ПОФИЗИКЕ
ДЛЯСТУДЕНТОВ-
МАТЕМАТИКОВ
Под редакцией профессора
В
.
А
.
Макарова
ЧАСТЬ III
Н.В. Нетребко, И.П. Николаев,
М.С. Полякова, В.И. Шмальгаузен
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
ИМАГНЕТИЗМ
МОСКВА
2006

УДК 530.1 (075.8)
ББК 22.2
Н62
ПечатаетсяпорешениюРедакционно-издательскогосовета
Факультетавычислительнойматематикиикибернетики
Московскогогосударственногоуниверситетаим. М.В.Ломоносова
Рецензенты: заведующий кафедрой общей физики физического факультета МГУ профессор А.М. Салецкий, заведующий кафедрой физики и прикладной математики
Владимирского госуниверситета профессор С.М. Аракелян
Под редакцией профессора В.А. Макарова
НетребкоН.В., НиколаевИ.П., ПоляковаМ.С., ШмальгаузенВ.И.
Н62 Электродинамика:
Учебно-методическое пособие. – М.: Издатель- ский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова (лицензия ИД
№05899 от 24.09.2001 г.), 2006. − 327 с.: ил. (Практические занятия по физике для студентов-математиков. Под ред. В.А. Макарова. Часть III)
ISBN 5-89407-263-8
Пособие составлено в соответствии с программой раздела "Электричество и магнетизм" курса физики по специальности "Прикладная математика". В начале каждого параграфа даются краткие теоретические сведения по рассматриваемой теме.
Затем приводятся решения и подробный анализ шести – десяти типовых задач, достаточно полно раскрывающих тему. В конце параграфов предлагаются задачи для самостоятельного решения. Все задачи тщательно отобраны с целью обеспечения сведений и навыков, которые необходимо приобрести студентам при самостоятельном изучении электромагнитных явлений. Всего в пособие включено около 400 задач, из которых свыше 100 снабжено решениями и анализом.
Пособие предназначено для студентов математических специальностей классических университетов. Оно может оказаться также полезным преподавателям высших учебных заведений при подготовке и проведении практических занятий по физике со студентами различных специальностей. Отдельные задания можно использовать в курсах теоретической электротехники и теории волн.
Ил. 183.
УДК 530.1(075.8)
ББК 22.2
ISBN 5-89407-263-8
©
Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006
©
Нетребко Н.В., Николаев И.П., Полякова М.С., Шмальгаузен В.И., 2006

Оглавление
3
Оглавление
Предисловие редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
§1
Электрическое поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
§2
Потенциал электрического поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
§3
Проводники и диэлектрики в элекрическом поле. Теорема Гаусса 41
§4
Уравнения электростатики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
§5
Электроемкость. Энергия электрического поля . . . . . . . . . . . . . .
84
§6
Квазистационарные токи. Закон Ома. ЭДС . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
§7
Магнитное поле квазистационарных токов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
§8
Магнитное поле в веществе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
§9
Магнитный поток. Индуктивность. Энергия магнитного поля. . .
159
§10
Закон электромагнитной индукции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174
§11
Уравнения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192
§12
Электрические цепи. Правила Кирхгофа. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
214
§13
Электромагнитные волны.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
239
§14
Задачи повышенной трудности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
258
§15
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283
ПРИЛОЖЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
314
ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
322

Предисловие редактора
4
Предисловие редактора
Настоящий том является третьим, в состоящей из пяти томов серии учебных пособий («Механика», «Молекулярная физика и термодинамика»,
«
Электродинамика»,
«
Волновые процессы и оптика»,
«
Квантовая механика»), написанных на основе более чем тридцатилетнего опыта преподавания физики студентам факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ им. М.В. Ломоносова.
В начале каждого раздела дается краткое изложение теории в объеме, необходимом для решения задач, далее приводится подробное решение и анализ нескольких типовых задач, затем сформулированы задания для самостоятельной работы. К ним даны ответы и необходимые указания.
Сложность задач соответсвует математической подготовке студентов- математиков, которой они обладают на момент начала изучения курса.
Читателю должно быть ясно, что глубокое изучение физики должно базироваться на проверенных временем классических учебниках, и помeщенные в пособии краткие теоретические сведения носят справочный характер и не могут их заменить.
Хочется отметить большое внимание, уделяющееся руководством факультета ВМК МГУ преподаванию физики. Усилиями деканов (академика
А.Н.Тихонова, член-корреспондента
Д.П.Костомарова, академика
Е.И.Моисеева), а также профессоров М.М.Хапаева, Е.В.Шикина и доцентов
В.Г.Сушко, Б.И.Березина, занимавшихся в разные годы организацией учебного процесса на этом факультете, сформировался высокий уровень требований к обучению физике. Это способствовало формированию педагогических традиций преподавания физики студентам-математикам, которые бережно сохраняются и развиваются на кафедре общей физики и волновых процессов физического факультета МГУ. От лица авторов пособия выражаю глубокую благодарность всем преподавателям и научным сотрудникам кафедры, ведущим занятия на факультете ВМК и способствовавшим становлению этого курса. Глубоко признателен также профессорам А.М.Салецкому и С.М.Аракеляну за рецензирование пособия и ценные критические замечения.
Учебное пособие написано в рамках инновационного проекта в 2006 г.
В
.
А
.
Макаров

§1.
Электрическоеполе
5
§1. Электрическоеполе
Краткие теоретические сведения
Электрические заряды.Все атомы и молекулы включают в свой состав частицы, обладающие свойством притягивать или отталкивать другие подобные частицы. Количественная мера такого взаимодействия частиц называется электрическимзарядом. Различают два типа зарядов: положительные и отрицательные. Носителем отрицательного заряда является электрон, а положительного - протон. Заряд электрона по абсолютной величине равен заряду протона и составляет элементарный
(
наименьший возможный) электрический заряд
Кл
e
19 10 6021892
,
1
−
⋅
=
В системе СИ заряд измеряется в кулонах: с
А
Кл
1 1
1
⋅
=
, где ампер
( )
А - единица измерения силы тока (см. параграф 7). О наличии зарядов можно судить по их взаимодействию. В природе существует законсохранения заряда:
суммарный заряд, находящийся на изолированной системе тел остается неизменным.
Закон Кулона.Два точечных заряда (заряженных тела, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними) взаимодействуют с силой, прямо пропорциональной величинам зарядов
2 1
, q
q
и обратно пропорциональной квадрату расстояния
r
между ними:
3 2
1
/ r
r
q
kq
F
=
(1.1)
Эта сила направлена по прямой, соединяющей заряды, и является силой притяжения для разноименных зарядов и отталкивания для одноименных (вектор

r
направлен в сторону того заряда, для которого рассчитывается сила). Коэффициент пропорциональности
k
зависит от выбора единиц измерения и в системе СИ равен
2 2
9
/
10 9
Кл м
Н
k
⋅
⋅
=
Часто его записывают в виде
0 4
1
πε
=
k
, где
(
)
2 2
12 0
/
10 85
,
8
м
Н
Кл
⋅
⋅
=
−
ε
-

§1.
Электрическоеполе
6
электрическая постоянная. Размерность
0
ε
можно записать по-другому:
(
)
м
Ф
м
Н
Кл
/
/
2 2
=
⋅
, где
−
Ф
фарад, единица измерения емкости (см. параграф 5).
Если при внесении в некоторую точку пространства заряженного тела на него действует сила, пропорциональная его заряду (например, со стороны других зарядов), то говорят, что в этой точке существует электрическоеполе.
Напряженность электрического поля. Векторную величину, равную отношению силы, действующей на точечный заряд, к величине этого заряда называют напряженностью электрического поля
q
F
E
/
=
(1.2)
Напряженность не зависит от величины заряда q, а определяется величиной и расположением зарядов, действующих на него.
Пусть в начале координат находится заряд Q . Тогда согласно (1.1) и (1.2) напряженность электрического поля, создаваемого зарядом
Q
в произвольной точке
М, характеризуемой радиус-вектором
r
, равна
r
r
Q
E
3 0
4
πε
=
(1.3)
Принцип суперпозиции.
Напряженность электрического поля, создаваемого в любой точке пространства системой зарядов (см. рис.1.1), равна сумме напряженностей полей, создаваемых различными зарядами по отдельности
(
в отсутствие всех остальных).
Рис. 1.1

§1.
Электрическоеполе
7
Силовойлинией называют линию, касательная к которой в каждой точке пространства совпадает с направлением вектора E в этой точке.
Примеры картин силовых линий для простейших систем точечных зарядов показаны на рис.1.2.
Важный частный случай такой системы – диполь (см. рис.1.2б).
Диполь состоит из двух равных по величине зарядов противоположного знака, находящихся на расстоянии
l
друг от друга. Диполь характеризуется дипольныммоментом(электрическим моментом)
l
q
p
e
r r
=
,
(1.4) где вектор l проводится от отрицательного заряда к положительному. Поле, создаваемое диполем, во многих случаях рассматривается на расстояниях, много больших, чем
l
Тогда диполь называют точечным, а его поле однозначно определяется дипольным моментом
e
p
r
Примеры решения задач
Пример 1. 1.
В трех вершинах правильного тетраэдра с длиной ребра a находятся заряды q , а в четвертой - заряд Q . Найдите силу, действующую на каждый из зарядов.
Рис.1.2

§1.
Электрическоеполе
8
Решение
.
Определим силу, действующую на заряд Q . Силы Кулона, действующие между зарядами
i
q
и Q , направлены вдоль ребер AD, BD и CD соответственно
(
см. рис.1.3). По модулю эти силы одинаковы и, согласно (1.1), равны
2 0
4
a
qQ
F
i
πε
=
(
)
3
,
2
,
1
=
i
(1.5)
По принципу суперпозиции, результирующая сила равна
3 2
1
F
F
F
F
+
+
=
Ось z
0
направим по высоте тетраэдра OD, а плоскость
y
x0
совместим с плоскостью основания тетраэдра ABC. В силу симметрии проекции сил
i
F на плоскость
y
x0
равны по модулю, а углы между ними составляют 120
0
Их сумма равна нулю, или
0
=
xy
F
Для определения проекции
i
F на ось
z
0 рассмотрим сечение
ADE тетраэдра (см. рис.1.4). Из подобия заштрихованных треугольников следует, что
DA
DO
F
F
Z
=
1 1
Треугольник
ADE равнобедренный, где AE=DE=
2 3
a
-- высота равностороннего треугольника.
Высоту OD в треугольнике ADE найдем, записав его площадь S через высоту OD и через высоту EP:
EP
AD
OD
AE
S
⋅
=
⋅
=
2 1
2 1
, или рис.1.3
Рис.1.4

§1.
Электрическоеполе
9 3
2 2
1 4
/
2 2
2
a
AE
a
a
AE
a
AE
a
OD
=






−
=
−
=
Согласно
(1.5),
2 0
1 4
a
Qq
F
πε
=
, откуда
3 2
4 2
0 1
a
qQ
F
Z
πε
=
Окончательно сила, действующая на заряд Q , направлена вдоль оси z
0 и равна
6 4
3 2
0 1
a
qQ
F
F
Z
z
πε
=
=
Найдем силы, действующие на заряды
i
q .
В силу симметрии можно рассмотреть только заряд, находящийся в вершине
А. На него со стороны зарядов, находящихся в вершинах
В и С, согласно закону Кулона действуют равные по модулю силы
2 0
2 4
5 4
a
q
F
F
πε
=
=
Они направлены вдоль отрезков
AB и
AC , а их результирующая -- вдоль оси
x
0 и равна
3 4
30
cos
2 2
0 2
0 4
a
q
F
F
x
πε
=
=
На заряд
q
, находящийся в вершине
А, действует также сила
1
F со стороны заряда
Q
(
см. рис.1.4).
Результирующая сил
x
F и
1
F , согласно теореме косинусов, равна
(
)
α
π −
−
+
=
cos
2
'
1 2
1 2
F
F
F
F
F
x
x
Из рассмотрения треугольника ADO следует, что
3 1
1
cos
2
=






−
=
=
a
OD
a
AO
α
Подставив найденное значение в выражение для '
F , окончательно получим
qQ
Q
q
a
q
F
2 3
4
'
2 2
2 0
+
+
=
πε

§1.
Электрическоеполе
10
Пример 1.2.
Два одинаковых положительных заряда q находятся в точках
А и В на расстоянии
a
2 друг от друга. Найдите напряженность электрического поля в произвольной точке на прямой, соединяющей эти точки, а также на оси, перпендикулярной к отрезку
АВ и проходящей через его середину (точка
О).
Решение
.
Направим ось x
0 по прямой, соединяющей заряды, а ось
z
0
проведем из середины отрезка AB
(
точка
О), как показано на рис.1.5.
Напряженность электрического поля в точке
(
)
z
M
,
0
,
0
складывается из напряженностей, создаваемых зарядами, находящимися в точках
А и
В:
2 2
0 2
0 4
1 4
1
z
a
q
AM
q
E
E
B
A
+
⋅
=
⋅
=
=
πε
πε
Сумма
B
A
E
E
+
направлена вдоль оси
z
0 и равна
AM
MO
E
E
E
E
A
A
Az
z
2
cos
2 2
=
=
=
α
Подставляя
A
E , окончательно получим
( )
(
)
2
/
3 2
2 0
2 2
2 2
0 2
1 2
1
z
a
qz
z
a
z
z
a
q
M
E
z
+
=
+
⋅
+
⋅
=
πε
πε
(1.6)
При
a
z
>>
2 0
2 4
1
z
q
E
z
πε
≈
, то есть два заряда как бы «сливаются» в один величиной
q
2
и напряженность поля на достаточном удалении от зарядов задается законом Кулона.
Напряженность поля в точке
(
)
0
,
0
,
x
N
также равна сумме
B
A
E
E
+
, где обе напряженности направлены вдоль оси
x
0 в одну сторону, если
a
x
> , и в разные стороны в противном случае. Их модули согласно (1.3)
Рис.1.5

§1.
Электрическоеполе
11
равны
(
)
2 0
4 1
a
x
q
E
A
+
⋅
=
πε
и
(
)
2 0
4 1
a
x
q
E
B
−
⋅
=
πε
, откуда окончательно напряженность в точке N равна
( )
(
)
(
)
x
x
a
x
a
x
q
N
E
x
2 2
2 2
2 0
2
−
+
⋅
=
πε
, если
a
x
> ,
(1.7)
( )
(
)
2 2
2 0
a
x
xa
q
N
E
x
−
⋅
−
=
πε
, если
a
x
< .
При
a
x
>> поле
2 0
2 4
1
x
q
E
x
⋅
≈
πε
, то есть совпадает с полем заряда
q
2
Пример 1.3.
Как изменится поле в точках M и N примера 2, если заряд в точке
B заменить равным, но противоположным по знаку зарядом?
Решение
.
При изменении знака заряда в точке
В направление вектора напряженности
B
E изменится на противоположное (рис.1.6). В этом случае поле в точке M направлено вдоль оси x
0 и равно
( )
(
)
2 3
2 2
0 2
2 2
2 0
2 2
1
sin
2
z
a
a
q
z
a
a
z
a
q
E
M
E
A
x
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
=
=
πε
πε
α
Рис.1.6

§1.
Электрическоеполе
12
На рис.1.7а показана зависимость
( )
z
E
x
При
a
z
>> поле
3 0
2 4
1
z
qa
E
x
⋅
≈
πε
, то есть совпадает с полем точечного диполя (2.8), с дипольным моментом
qa
p
e
2
=
, которое спадает с расстоянием как
3 1
r
В точке
(
)
0
,
0
,
x
N
напряженность поля также направлена вдоль оси
x
0 и равна
( )
(
)
(
)
(
)
2 2
2 0
2 2
0 4
1
a
x
ax
q
a
x
q
a
x
q
N
E
x
−
⋅
−
=








+
+
−
−
=
πε
πε
, если
a
x
> ,
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 0
2 2
0 2
4 1
a
x
a
x
q
a
x
q
a
x
q
N
E
x
−
+
⋅
=








+
+
−
=
πε
πε
, если
a
x
< .
Зависимость
( )
N
E
x
от координаты x иллюстрирует рис.1.7б. При
a
x
>> поле
( )
3 0
1
x
qa
N
E
x
⋅
−
≈
πε
, что также совпадает с полем диполя с тем же дипольным моментом .
Рис.1.7

§1.
Электрическоеполе
13
Пример 1.4.
Заряд Q равномерно распределен по кольцу с радиусом a .
Найдите напряженность электрического поля в произвольной точке на перпендикуляре к плоскости кольца, восстановленном из его центра.
Решение
.
Совместим плоскость
y
x0
с плоскостью кольца, а ось
z
0
− с его осью симметрии. Выберем на кольце произвольную точку N (см. рис.1.8), определяемую углом
ψ
, отсчитываемым от оси x
0 в плоскости кольца.
Дадим углу
ψ малое приращение
ψ
d
Полученный отрезок кольца несет заряд
ψ
π
d
Q
dq
2
=
Заряд
dq создает в точке
(
)
z
M
,
0
,
0
напряженность
2 2
0 2
2 2
0 8
1 4
1
z
a
Qd
z
a
dq
dE
+
⋅
=
+
⋅
=
ψ
ε
π
πε
(1.8)
Вектор dE направлен вдоль отрезка NM и его проекции на оси
,
0
,
0
y
x
z
0 будут равны
(
)
(
)
2
/
3 2
2 0
2
cos
8 1
cos sin
z
a
d
Qa
dE
dE
x
+
⋅
−
=
+
=
ψ
ψ
ε
π
ψ
π
α
,
(
)
(
)
2
/
3 2
2 0
2
cos
8 1
sin sin
z
a
d
Qa
dE
dE
y
+
⋅
−
=
+
=
ψ
ψ
ε
π
ψ
π
α
(1.9)
(
)
2
/
3 2
2 0
2 2
2 8
1
cos
z
a
Qzd
z
a
zdE
dE
dE
z
+
⋅
=
+
=
=
ψ
ε
π
α
Интегрируя выражения (1.9) по
ψ от 0 до π
2 , находим проекции поля, создаваемого в точке M зарядом q , распределенным по всему кольцу:
Рис.1.8

§1.
Электрическоеполе
14
(
)
(
)
2
/
3 2
2 0
2 0
2
/
3 2
2 0
2 4
1 8
1
z
a
Qz
d
z
a
Qz
E
z
+
⋅
=
+
⋅
=
∫
πε
ψ
ε
π
π
,
(
)
0
sin
8 1
2 0
2
/
3 2
2 0
2
=
+
⋅
−
=
∫
π
ψ
ψ
ε
π
d
z
a
Qa
E
y
,
(1.10)
(
)
0
cos
8 1
2 0
2
/
3 2
2 0
2
=
+
⋅
−
=
∫
π
ψ
ψ
ε
π
d
z
a
Qa
E
x
При решении задачи можно было бы воспользоваться симметрией распределения заряда. Для этого выберем на кольце две точки N и '
N на противоположных концах диаметра. Точка N характеризуется углом
ψ , отсчитываемым от оси x
0 .
Дадим углу
ψ малое приращение ψ
d
Получим два одинаковых заряда
dq
Поле, создаваемое ими, было найдено в примере 2, оно направлено по оси z
0 и его модуль задается выражением
(1.6), в котором заряд q следует заменить на
ψ
π
d
Q
dq
2
=
Интегрируя далее по углу
ψ от 0 до π , находим поле, создаваемое всеми зарядами на кольце, то есть опять приходим к выражению для
z
E (1.10).
Поле в центре кольца
(
)
0
=
z
равно нулю. При
a
z
>> поле совпадает с полем точечного заряда Q и равно
2 0
4 1
z
Q
E
z
⋅
≈
πε
Поле принимает максимальное значение при
2
max
a
z
z
=
=
, определяемым условием
0
=
dz
dE
z
Максимальное значение напряженности поля при этом
(
)
2 0
max
3 6
1
a
Q
z
E
z
⋅
=
πε

§1.
Электрическоеполе
15
Пример 1.5.
На сфере радиусом a равномерно распределен заряд Q .
Найдите напряженность электрического поля в произвольной точке пространства M .
Решение
.
Проведем ось
z
0
из центра сферы через выбранную точку
М(см. рис.1.9). Разобьем сферу на кольца. В сферической системе координат
ϕ
θ ,
,
r
, кольцо на сфере задается углом
θ , а его ширина - приращением угла
θ
d
На нем находится заряд
θ
θ
θ
θ
π
π
d
Q
ad
a
a
Q
dq
sin
2
sin
2 4
2
=
=
Расчет поля проведем для трех случаев:
1) полевнесферы
a
z
> .
Согласно (1.10) поле, создаваемое в точке
М этим зарядом, равно
(
)
[
]
(
)
2
/
3 2
2 2
0
sin cos cos sin
8 1
θ
θ
θ
θ
θ
πε
a
a
z
d
a
z
Q
dE
z
+
−
−
⋅
=
Поле от всей сферы получим, проинтегрировав по углу
θ от 0 до
π
Применяя замену переменной
θ
cos
=
t
, находим
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
( )
(
)
( )
[
]
3 1
16 2
2 2
16 2
8 2
2 0
1 1
2
/
3 2
2 2
2 2
0 1
1 2
/
3 2
2 0
I
a
z
I
z
Q
azt
z
a
dt
a
a
azt
z
z
Q
azt
z
a
dt
at
z
Q
E
z
−
+
=
−
+
−
+
−
=
−
+
−
=
∫
∫
−
+
−
πε
πε
πε
(1.11
а) где
( )
(
)
(
)
[
]
∫
−
−
−
+
−
−
−
=
−
+
=
1 1
2 2
2
/
2 2
2 1
2
n
n
n
z
a
z
a
n
az
azt
z
a
dt
n
I
Откуда окончательно
(
) (
)
(
)
2 0
2 2
2 0
4 1
1 16
z
Q
a
z
a
z
a
z
a
z
z
a
az
Q
E
z
πε
πε
=












+
−
−
−
+
−
−
+
=
Здесь учтено, что
a
z
> .
Рис.1.9

§1.
Электрическоеполе
16
Иными словами, поле вне сферы совпадает с полем, создаваемым точечным зарядом Q , помещенным в центр сферы.
2) полевнутрисферы
a
z
< .
Для поля внутри сферы согласно (1.11а) :
(
)
(
)
( )
(
)
( )
{
}
3 1
4 2
2 2
2 1
1 2
/
3 2
2
I
z
a
I
z
kQ
azt
z
a
dt
z
at
kQ
E
z
−
+
−
=
−
+
−
=
∫
+
−
. (1.11
б)
Изменятся также значения интеграла
( )
n
I
,
причем
( )
( )
(
)
2 2
2 3
,
2 1
z
a
a
I
a
I
−
=
=
Подставляя эти значения в (1.11б), получаем
0
=
z
E
Видим, что поле внутри сферы отсутствует.
3)
поленаповерхностисферы
a
z
= .
Подставляя в (1.11а)
a
z
= , находим
(
)
2 0
1 1
2
/
1 2
0 8
1 2
16
a
Q
t
dt
a
Q
E
z
πε
πε
=
−
=
∫
−
(1.11
в)
Поле на поверхности сферы вдвое меньше поля в точках, находящихся вне сферы вблизи ее поверхности.
Разрывный характер поля в точках заряженной поверхности связан с пренебрежением ее реальной толщиной. Если рассмотреть заряженный сферический слой малой, но конечной толщины, то напряженность электрического поля внутри слоя будет непрерывно изменяться от нуля до максимального значения. Величина (1.11в) при этом соответствует среднему значению напряженности внутри слоя.
Пример 1.6. Шар радиусом R равномерно заряжен по объему с объемной плотностью заряда
ρ






=
dV
dq
ρ
Найдите напряженность электрического поля в произвольной точке
M
вне и внутри шара.

§1.
Электрическоеполе
17
Решение
.
При решении воспользуемся результатом, полученным в предыдущем примере и принципом суперпозиции. Разобьем шар на сферы.
Произвольная сфера имеет радиус
r
и толщину dr , при этом на ней равномерно распределен заряд
dr
r
dq
2 4
π
ρ
=
Для
R
r
>
поле от каждой сферы, как было показано в примере 5, равно
2 0
4
r
dq
dE
πε
=
и направлено по радиусу от центра сферы. Поле всего шара будет равно сумме полей отдельных сфер. Так как напряженности от различных сфер в каждой точке направлены по одной прямой, то векторная сумма сведется к алгебраической и будет равна
2 0
3 2
0 3
2 0
3 4
3 4
4
r
R
r
R
r
Q
E
ε
ρ
πε
ρ
π
πε
=
=
=
(1.12)
Здесь
Q
- заряд всего шара.
Для
R
r
<
вклад в поле будут давать только заряды на сферах, радиус которых не превышает
r
, или
0 2
0 3
2 0
3 4
3 4
4
'
ε
ρ
πε
ρ
π
πε
r
r
r
r
Q
E
=
=
=
(1.13)
Здесь заряд '
Q
заключен внутри шара радиусом r . В этом случае
Е
−непрерывная на границе шара функция.
Пример 1.7.
Тонкая палочка длины
l
заряжена равномерно с линейной плотностью
κ . Найдите напряженность электрического поля, создаваемого зарядом на палочке, в произвольной точке пространства
М.

§1.
Электрическоеполе
18
Решение
.
Совместим начало координат с одним из концов палочки, ось
x
0 направим вдоль палочки, а ось
y
0
направим так, чтобы плоскость
0
=
z
содержала точку
( )
y
x
M
,
, в которой вычисляется поле
(
рис.1.10).
Таким образом, используя симметрию поля относительно оси
x
0 , сведем задачу к двумерной. Выделим на палочке малый элемент
ξ
d на расстоянии
ξ от начала координат. Вклад элемента с зарядом
ξ
κd
dq
=
в поле согласно закону Кулона равен
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
0 4
1
cos
y
x
x
y
x
d
dE
dE
x
+
−
−
⋅
+
−
⋅
=
=
ξ
ξ
ξ
ξ
κ
πε
α
,
(1.14)
(
)
(
)
2 2
2 2
0 4
1
sin
y
x
y
y
x
d
dE
dE
y
+
−
⋅
+
−
⋅
=
=
ξ
ξ
ξ
κ
πε
α
(1.15)
Поле от всего заряда, распределенного по палочке, получим, проинтегрировав (1.14) и (1.15) по
ξ от 0 до
l
:
(
)








+
−
−
+
=
2 2
2 2
0 1
1 4
y
l
x
y
x
E
x
πε
κ
(1.16) и
(
)








+
−
−
−
+
=
2 2
2 2
0 4
y
l
x
l
x
y
x
x
y
E
y
πε
κ
(1.17)
Заметим, что последние формулы можно представить в виде:
)
sin
(sin
4 1
2 0
ϕ
ϕ
ε
π
κ
−
=
a
E
x
(1.16
а)
Рис.1.10

§1.
Электрическоеполе
19
)
cos
(cos
4 2
1 0
ϕ
ϕ
ε
π
κ
−
=
a
E
y
(1.17
а)
В этих формулах углы
ϕ
1
и
ϕ
2 образованы положительным направлением оси x
0 и прямыми, соединяющими концы палочки с точкой
М.
Отметим, что выражение (1.17) для
y
E при
0
→
y
(
)
l
x
> приводит к неопределенности типа
0 0
При малых y формулу (1.17) следует преобразовать, например, взяв лишь первый отличный от нуля член разложения
y
E в ряд Тейлора около значения
0
=
y
:
(
)








−
−
≈
2 2
0 1
1 8
x
l
x
y
E
y
πε
κ
(1.18)
Бесконечности, возникающие в выражениях (1.16)-(1.18) на концах палочки, связаны с тем, что при расчете полей толщина палочки считалась равной нулю. Поэтому поле в непосредственной близости от поверхности палочки на самом деле будет отличаться от поля, задаваемого выражениями
(1.16)-(1.18).
Тот факт, что напряженность поля минимальна в середине палочки и растет к ее концам, связан с тем, что для точек, лежащих на равном расстоянии от концов палочки, вклад в поле зарядов, находящихся симметрично на разных половинах палочки, максимально компенсируется при сложении полей.
Аналогичная компенсация имеет место и для палочки конечной толщины. Поэтому поле равномерно заряженной палочки максимально вблизи ее концов.
Пример 1.8.
Тонкая палочка длины
l
заряжена так, что линейная плотность заряда
κ
линейно зависит от расстояния до центра палочки. Полный заряд палочки равен нулю. Половина палочки несет заряд q . Вычислите дипольный момент палочки
e
p .

§1.
Электрическоеполе
20
Решение
.
Направим ось x
0
вдоль палочки, совместив при этом ее начало с серединой палочки. Выделим на палочке два маленьких кусочка длиной dx с координатами x и - x . На них располагаются равные по величине и различные по знаку заряды
dq
и -
dq
, причем
dx
dq
κ
=
По условию задачи
x
α
κ
=
Значение постоянной
α
выразим через заряд половины палочки q
∫
=
=
2
/
0 2
8
l
l
dx
q
α
κ
, или
2 8
l
q
=
α
Заряды
dq
и -
dq
образуют диполь с дипольным моментом
dx
x
l
q
xdq
dp
e
2 2
16 2
=
=
Полный дипольный момент палочки найдем, просуммировав дипольный момент по всей палочке
3 2
16 2
/
0 2
2
ql
dx
x
l
q
p
l
e
∫
=
=
Направлен дипольный момент вдоль палочки, от отрицательно заряженного конца к положительному.
Задание для самостоятельной работы
1.1.
Три одинаковых точечных заряда q расположены в вершинах равностороннего треугольника, а точечный заряд '
q
-- в центре треугольника. Каким должен быть заряд '
q , чтобы сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю?
1.2.
Найдите модуль и направление напряженности поля E в центре кольца радиуса a , в котором сделана прорезь ширины
a
b
<< . По кольцу равномерно распределен заряд
0
>
q
1.3.
Найдите отношение силы электростатического отталкивания двух электронов к силе их гравитационного притяжения. Масса электрона

§1.
Электрическоеполе
21
кг
m
31 10 1
,
9
−
⋅
=
, заряд электрона
Кл
e
19 10 6
,
1
−
⋅
=
, гравитационная постоянная
2 2
11
/
10 67
,
6
кг м
Н
G
⋅
⋅
=
−
1.4.
Вычислите ускорение a , сообщаемое одним электроном другому, находящемуся от первого на расстоянии мм
r
1
=
Масса электрона кг
m
31 10 1
,
9
−
⋅
=
, заряд электрона
Кл
e
19 10 6
,
1
−
⋅
=
1.5.
Две бесконечно длинные параллельные нити, заряженные с одинаковой линейной плотностью м
Кл /
10 3
6
−
⋅
=
κ
, находятся на расстоянии мм
b
20
=
друг от друга. Какая сила F действует на единицу длины каждой нити?
1.6.
Бесконечная прямая нить, равномерно заряженная с линейной плотностью
κ
1
, и отрезок длины l, равномерно заряженный с линейной плотностью
κ
2
, расположены в одной плоскости перпендикулярно друг другу. Расстояние между нитью и ближайшим к ней концом отрезка равно
r
0
Найдите силу, с которой нить действует на отрезок.
1.7.
В вершинах правильного шестиугольника со стороной a помещаются точечные заряды одинаковой величины
q
Найдите напряженность поля в центре шестиугольника при условии, что а) знак всех зарядов одинаков, б) знаки соседних зарядов противоположны.

§1.
Электрическоеполе
22
1.8.
Электрический квадруполь состоит из двух положительных и двух отрицательных одинаковых по величине точечных зарядов q , расположенных в вершинах квадрата со стороной a , как показано на рис.1.11.
Найдите электрическое поле такого квадруполя в точке
А, находящейся на расстоянии
a
x
>> от его центра О, если линия ОА параллельна одной из сторон квадрата.
1.9.
По круглой очень тонкой пластинке радиуса a равномерно распределен заряд
Q
Найдите напряженность поля на оси, перпендикулярной к плоскости пластинки, как функцию расстояния z от ее центра. Исследуйте полученное выражение для
a
z
<< и
a
z
>> .
1.10.
Найдите напряженность поля, создаваемого плоским равномерно заряженным кольцом, на перпендикуляре к плоскости кольца, проходящем через его центр. Поверхностная плотность заряда равна
σ
, внутренний радиус кольца равен
1
R , его внешний радиус -
2
R .
1.11.
На плоскости распределен положительный заряд с поверхностной плотностью
σ
На другой, параллельной ей плоскости, отстоящей от первой на расстоянии d , распределен отрицательный заряд с вдвое большей плотностью. Нарисуйте картину силовых линий поля, создаваемого зарядами на плоскостях.
1.12.
Полусфера радиуса R заряжена равномерно с поверхностной плотностью заряда
σ. Найдите напряженность электрического поля в центре полусферы.
Рис.1.11

§1.
Электрическоеполе
23
1.13.
Внутри шара радиуса R , заряженного с постоянной объемной плотностью
ρ
, имеется сферическая полость радиусом
r
, в которой заряды отсутствуют. Центр полости смещен относительно центра шара на расстояние a (
R
r
a
<
+
).
Найдите напряженность электрического поля внутри полости.
1.14.
В модели атома Томсона предполагалось, что положительный заряд e распределен внутри шара радиусом см
R
8 10
−
=
Как должна зависеть от радиуса плотность положительного заряда, чтобы электрон (точечная частица с отрицательным зарядом e ), помещенный внутри шара, совершал гармонические колебания? Найдите частоту колебаний электрона. Заряды механически друг на друга не действуют. Магнитным полем движущегося заряда пренебречь. Масса электрона кг
m
31 10 1
,
9
−
⋅
=
1.15.
Цилиндр c радиусом основания R и высотой
l
2
заряжен по поверхности с постоянной поверхностной плотностью
σ
(
см. рис.1.12). Считая, что основания цилиндра не несут заряда, определите напряженность электростатического поля в точке
М на оси цилиндра на расстоянии
a от его центра.
1.16.
Бесконечная прямолинейная полоса шириной
l
2
заряжена с постоянной поверхностной плотностью
σ
Найдите напряженность электрического поля в точке, отстоящей от полосы на расстояние
h . Точка находится на перпендикуляре, восстановленном из середины полосы.
Рис.1.12

§1.
Электрическоеполе
24
1.17.
Полубесконечная полоса шириной
l
2 заряжена с постоянной поверхностной плотностью
σ
Найдите напряженность электрического поля в точке
М, находящейся на расстоянии h от полосы на перпендикуляре, восстановленном в начале полосы из точки, лежащей на ее средней линии (см. рис.1.13).
1.18.
Из четырех тонких заряженных палочек составлен квадрат со стороной l .
Две соседние стороны квадрата несут общий заряд
q
+
, равномерно распределенный по их длине. Две другие стороны имеют общий заряд q
− .
Определите напряженность электростатического поля в центре квадрата.
1.19.
Две нити, совпадающие с положительными полуосями декартовой системы координат
y
x0
, равномерно заряжены с линейной плотностью
κ.
Найдите напряженность электрического поля в точке M(a,a) a>0..
1.20.
Три нити, совпадающие с положительными полуосями декартовой системы координат, равномерно заряжены с постоянной линейной плотностью
κ
Найдите напряженность электрического поля в точке
M(a,a,a) a>0.
1.21.
Две полубесконечные нити, равномерно заряженные с линейной плотностью
κ
, сложены так, что образуют прямой угол. Найдите величину напряженности электрического поля во всех точках прямой z
0 , проходящей через вершину угла перпендикулярно плоскости, в которой лежат нити.
Рис.1.13

§2.
Потенциалэлектрическогополя
25