В. Нетребко, И. П
 Скачать 5.4 Mb.
|
|
§7. Магнитноеполеквазистационарныхтоков Краткие теоретические сведения Магнитное поле. Магнитная индукция. Сила Лоренца.Опыт показывает, что движущиеся заряды (например, свободные заряды в проводниках, по которым течет электрический ток) взаимодействуют друг с другом сосвем не так, как неподвижные. Посредником такого взаимодействия является магнитноеполе, то есть поле, создаваемое движущимися зарядами и действующее на другие движущиеся заряды. Если частица с зарядом q движется со скоростью v r в магнитном поле, то на эту частицу действует сила, носящая название силыЛоренца: [ ] B v q F r r r , = , (7.1) где B r – силовая характеристика окружающего частицу магнитного поля, которая называется вектороминдукциимагнитногополя или просто вектороммагнитнойиндукции . Фактически, выражение (7.1) можно считать неявным определением вектора магнитной индукции. Единица измерения магнитной индукции в системе СИ называется тесла (Тл). Для магнитного поля верен принципсуперпозиции: вектор магнитной индукции поля, созданного системой движущихся заряженных частиц (или проводников с токами), равен сумме векторов магнитной индукции полей, созданных каждой из движущихся частиц (или каждым из проводников ) в отсутствие остальных. Так как сила Лоренца (7.1) в каждый момент времени перпендикулярна скорости заряда, на который она действует, то ее работа при любом перемещении заряда равна нулю. Поэтому магнитноеполене изменяетмодульскоростизаряда, ноизменяетеенаправление. Закон Ампера.Если проводник с током находится в магнитном поле , то на каждый заряд, образующий этот ток, действует сила Лоренца. §7. Магнитноеполеквазистационарныхтоков 123 При этом, совокупная сила, действующая со стороны магнитного поля на элемент l d r проводника, определяется закономАмпера: [ ] B l d I F d r r r , = , (7.2) где I – сила тока в проводнике, B r – индукция магнитного поля в точке расположения рассматриваемого элемента проводника, а направление вектора l d r совпадает с направлением тока. Чтобы найти силу, действующую со стороны магнитного поля на проводник конечной длины, необходимо проинтегрировать (7.2) по всей длине L проводника: [ ] ∫ = L B l d I F r r r , (7.3) Сила, определяемая выражением (7.3), называется силойАмпера. Закон Био-Савара-Лапласа. Чтобы рассчитать силовое взаимодействие проводников с током на основе закона Ампера (7.2), необходимо знать выражение для индукции магнитного поля, создаваемого таким проводником. Для стационарных (не изменяющихся со временем) токов это выражаение задается закономБио-Савара-Лапласа, который гласит, чтовектор магнитной индукции B r поля, создаваемого в точке М проводящим контуром L с током I в вакууме, равен [ ] ∫ ∫ = = L L r r l d I B d M B 3 0 , 4 ) ( r r r r π µ , (7.4) где B d r – вклад элемента l d r контура в результирующее магнитное поле, − r r вектор, проведенный из элемента l d r в точку М, а 7 0 10 4 − ⋅ = π µ Н/А 2 – размерный коэффициент системы СИ, называемый магнитнойпостоянной. Выражение (7.4) не учитывает запаздывания поля при его распространении от источника до точки наблюдения. В случае достаточно медленно изменяющихся (квазистационарных) токов запаздыванием поля можно пренебречь и применять формулу (7.4) к токам, меняющимся во времени. В частности, в окрестности бесконечно длинного прямолинейного провода с током I §7. Магнитноеполеквазистационарныхтоков 124 a I B π µ 2 0 = , (7.5) где а– расстояние от провода до точки наблюдения. Из закона Ампера (7.2) и формулы (7.5) следует, что на отрезок прямолинейного проводника длиной dl с током I 1 со стороны магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного тонкого провода с током I 2 , расположенного параллельно первому на расстоянии а от него, действует сила, равная dl a I I dF 2 1 0 2 4 π µ = Проводники с одинаково направленными токами притягиваются, с противоположно направленными – отталкиваются. На основе эффекта магнитного взаимодействия токов в системе СИ вводится единица измерения силы тока – ампер. Ампер – сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади поперечного сечения, расположенным на расстоянии 1 метр один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную Н 7 10 2 − ⋅ на каждый метр длины. Магнитный момент. Ориентирующее действие магнитного поля.На замкнутый контур L с током I, помещенный во внешнее магнитное поле с индукцией B r , согласно закону Ампера (7.2) действует вращающий момент [ ] [ ] ∫ = L B l d r I M r r r r , , (7.6) где r r − вектор, проведенный из точки, относительно которой рассчитывается момент, к элементу контура l d r В однородном поле эта формула по правилам векторного анализа преобразуется к виду [ ] B p M m r r r , = , (7.7) где − m p r магнитныймомент контура: §7. Магнитноеполеквазистационарныхтоков 125 ∫ = ) (S m S d I p v r , (7.8) Здесь элемент S d v принадлежит произвольной поверхности S , натянутой на контур, и направлен по правилу буравчика относительно направления протекания тока. Результат интегрирования не зависит от формы поверхности, и потому служит характеристикой контура. Для плоского контура S I p m v v = , (7.9) где S - площадь контура. Под действием момента сил рамка с током стремится занять устойчивое положение, т.е. повернуться так, чтобы момент стал равным нулю. При этом вектор m p v становится сонаправленным с вектором индукции B r Результирующая сила, действующая на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле, равна нулю. В неоднородном магнитном поле на контур, помимо момента M r , действует отличная от нуля результирующая сила. На контур малых по сравнению с масштабом неоднородности поля размеров действует сила ( ) B p F m r r r , ∇ = , (7.10) однозначно определяемая величиной и ориентацией магнитного момента контура. Контур втягивается в область более сильного поля (если ( ) 0 , > B p m r r ), либо выталкивается в область менее сильного поля (если ( ) 0 , < B p m r r ). Векторный потенциал.Для удобства вычисления магнитных полей вводится понятие векторногопотенциала. Согласно правилам векторного анализа выражение (7.4) может быть преобразовано к виду ∫ = L r l d I B r r rot 4 0 π µ Поэтому можно ввести векторное поле §7. Магнитноеполеквазистационарныхтоков 126 ∫ = L r l Id A r r π µ 4 0 , (7.11) такое, что A B r v rot = (7.12) Всякое векторное поле A r , удовлетворяющее условию (7.12), называют векторнымпотенциалом магнитного поля. Его можно определить с точностью до градиента произвольной скалярной функции координат. Из (7.12), в частности, следует, что 0 = B div r , (7.13) то есть магнитное поле соленоидально, причем это свойство остается справедливым и для нестационарных магнитных полей. Силовые линии магнитного поля, как и любого соленоидального, всегда замкнуты. Векторный потенциал и индукция магнитного поля, создаваемого малым контуром с током, ( т.е. на расстояниях, больших по сравнению с размерами самого контура) так же как и действующие на контур моменты и силы, выражаются (см. Пример 10) через магнитный момент контура и радиус-вектор точки наблюдения, проведенный из центра контура: [ ] 3 0 , 4 r r p A m r r r π µ = , (7.14) ( ) 5 2 0 , 3 4 r r p r r p B m m r r r r − = π µ (7.15) Магнитное поле, создаваемое малым контуром, (элементарным магнитным моментом) во многом аналогично полю точечного диполя в электростатике. Поэтому такой контур называют магнитнымдиполем. Пример 7.1. Найдите вклад отрезка прямого проводника с током I в магнитную индукцию в точке, отстоящей на расстояние а от проводника, §7. Магнитноеполеквазистационарныхтоков 127 если прямые, соединяющие эту точку с концами отрезка, составляют с направлением тока углы 1 α и 2 α . Решение . Выделим на проводнике элемент l d r , и пусть радиус-вектор r r , проведенный в точку наблюдения М из начала этого элемента, образует с направлением тока угол α, а радиус- вектор, проведенный из конца этого элемента – угол α α d + (см.рис.7.1). Тогда из точки наблюдения элемент виден под углом α d . Вклад B d r элемента l d r , согласно формуле Био- Савара-Лапласа, можно записать в виде [ ] r l d r I B d r r r , 4 3 0 π µ = . Вклады B d r от различных элементов перпендикулярны плоскости рисунка, а направления B d r одинаковы в полуплоскостях, разделяемых прямой, содержащей проводник. На рисунке слева от этой прямой B d r направлены к нам, что обозначено на рис. 7.1 кружком с точкой, а справа – от нас (обозначено символом ⊕ ). Отсюда следует, что суммарное поле B r ∆ в точке М перпендикулярно плоскости рисунка. Величина вклада dB определяется соотношением 2 0 4 sin r Idl dB π α µ = (7.16) Выразим переменные r и dl через постоянную а и переменную α (см. рис. 7.1): α sin / a r = , α α α α d a d r dl sin sin = = . Тогда α α π µ d a I dB sin 4 0 = , и следовательно, Рис.7.1 §7. Магнитноеполеквазистационарныхтоков 128 ( ) 2 1 0 0 cos cos 4 sin 4 2 1 α α π µ α α π µ α α − = = ∆ ∫ a I d a I B (7.17) В частности, для бесконечного прямолинейного проводника π α α = = 2 1 , 0 и a I B π µ 2 0 = , (7.18) вектор B r в каждой точке пространства лежит в плоскости, перпендикулярной направлению тока; силовые линии представляют собой окружности в этой плоскости с центром на прямой, содержащей проводник. Пример 7.2. По контуру, представляющему собой квадрат со стороной a , течет ток I . Найдите индукцию магнитного поля на оси, проходящей через центр квадрата параллельно его стороне. Решение . Существуют две равноправные оси – ось Ох и ось Oy системы координат, представленной на рис.7.2. Для определенности найдем вектор индукции B r в точке M с координатами (x,0). Поле, создаваемое квадратным контуром, можно рассматривать как суперпозицию полей четырех отрезков прямолинейных токов. В силу симметрии относительно начала координат ограничимся случаем 0 ≥ x Вклады в результирующий вектор B r от каждой стороны квадрата направлены вдоль оси Oz (перпендикулярно плоскости контура) и, следовательно, величина B - есть алгебраическая Рис.7.2 §7. Магнитноеполеквазистационарныхтоков 129 сумма этих вкладов. Положительной будем считать проекцию вектора, направленного по оси Oz (к нам). Используя решение предыдущей задачи, можно найти индукцию магнитного поля, создаваемого каждой стороной рамки. При 2 / 0 a x < < эти индукции равны: ( ) , cos 2 / 2 0 1 β π µ x a I B − = ( ) , sin sin 2 0 4 2 β α π µ + = = a I B B ( ) , cos 2 / 2 0 3 α π µ x a I B + = где углы α и β показаны на рис.7.2. После несложных преобразований получаем: − + − − + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a x a a x a x a a x a I B π µ Если 2 / a x > результат не изменится, хотя направление 1 B изменится на противоположное (см. Рис.7.5). При a x >> последнее выражение можно преобразовать = + − − − + − ≅ 2 2 0 2 2 1 1 2 2 1 1 a x a a x a a I B π µ = + − − − = 2 2 0 2 1 2 1 2 a x a x Ia π µ ( ) ≅ − − 2 2 2 0 4 8 2 a x ax Ia π µ 3 0 3 2 0 4 4 x p x Ia m π µ π µ − = − ≅ , §7. Магнитноеполеквазистационарныхтоков 130 где 2 Ia S I p m = = . То есть, при a x >> поле убывает с ростом расстояния, как поле магнитного диполя с моментом 2 Ia p m = Пример 7.3. По кольцу радиуса R течет ток I . Найдите индукцию магнитного поля B r в точке, расположенной на перпендикуляре к плоскости кольца, восстановленном из его центра. Решение . Воспользуемся формулой (7.4) . При интегрировании по l d r учтем, что const z R r = + = 2 2 (см. рис. 7.3). Введем вектор ρ так, что ρ r r r − = z k r ( − k r орт оси Oz). Подставив r r в (7.4), получим [ ] [ ] { } ∫ ∫ + = l d z k l d r I B r r r r , , 4 3 0 ρ π µ . Поскольку вдоль пути интегрирования const z k = r , то [ ] [ ] 0 , , = = ∫ ∫ z k l d z k l d r r r r , так как 0 = ∫ l d r . Кроме того, [ ] 2 2 2 2 , R k S k S l d π ρ r r r r r = = = ∫ . Поэтому ( ) ( ) ( ) 2 / 3 2 2 0 2 / 3 2 2 2 0 2 4 2 z R p k z R IR z B m + = + = r r r π µ µ . (7.19) При R z >> из последнего соотношения следует: ( ) 3 0 3 2 0 2 4 2 z p z IR z B m π µ µ = ≈ Следовательно, при R z >> поле убывает с ростом z как поле магнитного диполя с моментом IS p m = В центре кругового витка ( ) 0 = z магнитная индукция равна 3 0 2 4 R p B m r r π µ = , R I B 2 0 µ = Рис.7.3 §7. Магнитноеполеквазистационарныхтоков 131 Пример 7.4. Найдите магнитную индукцию на оси соленоида, обмотка которого содержит n 0 витков на единицу длины. Ток, протекающий по обмотке, равен I. Решение . Соленоид – цилиндрическая катушка с током, состоящая из большого числа витков проволоки, которые образуют винтовую линию. При плотном расположении витков соленоид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых витков одинакового радиуса с общей осью. Найдем распределение поля вдоль оси соленоида ( ) z B . Если 0 n достаточно велико, то можно заменить ток, текущий по виткам, током, равномерно распределенным по поверхности соленоида. Пусть радиус соленоида равен R , а его длина - l . Для вычисления поля в произвольной точке M на оси выделим колечко с током шириной dz , центр которого расположен на расстоянии z от M (рис. 7.4). Величина вклада dB этого колечка в B равна согласно (7.19) ( ) 2 / 3 2 2 2 0 2 z R dIR dB + = µ (7.20) Учитывая, что dz In dI 0 = , проинтегрируем (7.20): ( ) ∫ + + = l z z z R dz R In B 0 0 2 / 3 2 2 2 0 0 2 µ Заменив переменную интегрирования β ctg R z = ; β β 2 sin Rd dz − = , найдем: ( ) 1 2 0 0 cos cos 2 β β µ − = In B (7.21) Рис.7.4 §7. Магнитноеполеквазистационарныхтоков 132 где ( ) 2 2 0 0 2 cos R l z l z + + + = β , 2 2 0 0 1 cos R z z + = β косинусы углов, под которыми видны из точки наблюдения концы соленоида. В частности, если точка M находится в центре соленоида, то 4 / 2 / cos cos 2 2 2 1 l R l + = − = β β и 4 / 2 / 2 2 0 0 l R l In B + = µ В случае длинногосоленоида (l>>R) поле вдали от его концов не зависит от z . Для поля на оси соленоида из последнего соотношения найдем I n B 0 0 µ ≈ (7.22) Пример 7.5. Найдите силу взаимодействия между бесконечно длинным тонким прямолинейным проводником, по которому течет ток I 1 , и отрезком прямого тонкого проводника длиной l с током I 2 , лежащими в одной плоскости. Угол между проводниками равен α, нижний конец отрезка проводника находится на расстоянии a от бесконечного проводника. Решение . Выделим на отрезке проводника с током I 2 малый элемент dx на расстоянии x от его нижнего края. Проводник с током I 1 создает в месте расположения этого элемента магнитное поле с индукцией ( ) α π µ sin 2 1 0 x a I B + = , и это поле действует на элемент dx с силой, равной ( ) dx x a I I Bdx I dF α π µ sin 2 2 1 0 2 + = = , направленной в плоскости токов перпендикулярно току I 2 . Интегрируя по длине проводника, получаем: ( ) + = + = ∫ α α π µ α π µ sin 1 ln sin 2 sin 2 2 1 0 0 2 1 0 a l I I dx x a I I F l В случае параллельных проводников 0 = α и a l I I F π µ 2 2 1 0 = §7. Магнитноеполеквазистационарныхтоков 133 Пример 7.6. Найдите закон движения электрона в постоянных магнитном и электрическом полях. Считать, что поля однородные и B E r r ⊥ . Начальная скорость электрона равна 0 v r . Масса электрона - m, абсолютная величина его заряда - e. Решение . На заряд q, движущийся в электрическом и магнитном полях, действует сила [ ] B v q E q F , r r r + = , (7.23) где v r - скорость заряда. Выберем систему отсчета так, чтобы начало координат совпадало с положением электрона в начальный момент времени; ось Ох направим по вектору E r , а ось Oy – вдоль B r . В этой системе координат уравнение (7.23) в проекциях запишется следующим образом: z eB eE x m & & & + − = , (7.24) 0 = y m & & , (7.25) x eB z m & & & − = (7.26) Интегрирование уравнения (7.25) при начальных условиях ( ) y v y 0 0 = & и ( ) 0 0 = y дает: t v y y 0 = (7.27) Из уравнения (7.26) имеем C Bx m e z + − = и так как ( ) 0 0 = x и ( ) x v z 0 0 = & , то z v C 0 = и Bx m e v z z − = 0 & (7.28) §7. Магнитноеполеквазистационарныхтоков 134 Введем обозначение ω = B m e ; подставив (7.28) в (7.24), получим E m e v x x z − = + 0 2 ω ω & & (7.29) Решая уравнение (7.29) при начальных условиях ( ) 0 0 = x и ( ) x v x 0 0 = & , получим ( ) 1 cos sin 0 2 0 − − + = t v m eE t v x z x ω ω ω ω ω (7.30) Подставив (7.30) в (7.28), учитывая (7.27) и (7.30), найдем закон движения электрона в проекциях на оси координат: ( ) ( ) t m eE t v m eE t v z t v y t v m eE t v x z x y z x ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω + − − − = = − − + = sin 1 cos , , 1 cos sin 0 2 0 0 0 2 0 Пример 7.7. Квадратная рамка массы m, сделанная из тонкого провода, может без трения вращаться относительно вертикальной оси, проходящей через ее центр перпендикулярно двум противоположным сторонам рамки. Рамка находится в горизонтальном однородном магнитном поле индукции B . По рамке течет постоянный ток I. Определите период малых колебаний рамки около положения ее равновесия. Решение . Рамка находится в положении равновесия, когда плоскость рамки перпендикулярна к направлению внешнего поля. Причем положение равновесия устойчиво, если направление магнитного поля, создаваемого током, совпадает с направлением внешнего поля. При отклонении рамки от ее устойчивого положения равновесия на угол ϕ , силы Ампера, действующие на параллельные оси стороны рамки, создают §7. Магнитноеполеквазистационарныхтоков 135 пару сил с моментом, равным ϕ sin 2 IBl , стремящимся вернуть рамку в положение равновесия. С учетом того, что момент инерции рамки относительно оси вращения равен 6 2 ml , для малых отклонений ( ) ϕ ϕ ≈ sin получаем уравнение колебаний 0 6 2 2 = + ϕ ϕ IBl ml & & . Откуда период колебаний равен IB m T 6 2 π = Пример 7.8. Шар радиусом R, равномерно заряженный по объему зарядом q , вращается с постоянной угловой скоростью ω. Найдите магнитный момент шара. Решение . Элементарный объем ϕ ϑ ϑ d drd r sin 2 (в сферической системе координат) при его вращении задает круговой ток радиуса ϑ sin r величиной ϑ ϑ π ω ω π ϑ ϑ π π drd r R q drd r R q dI sin 4 3 2 sin 2 3 4 2 3 2 3 = = Этот ток создает магнитный момент, направленный вдоль оси вращения и численно равный ϑ ϑ ω ϑ ϑ π ω ϑ π ϑ π drd r R q drd r R q r dI r 3 4 3 2 3 2 2 2 2 sin 4 3 sin 4 3 sin sin = = Отсюда 5 sin 4 3 2 0 0 3 4 3 R q drd r R q p R m ω ϑ ϑ ω π = = ∫ ∫ и потому ω r r 5 2 qR p m = Пример 7.9. Найти индукцию магнитного поля в центре и в фокусе эллиптического контура, по которому течет ток I. Полуоси эллипса равны a и b (a>b). §7. Магнитноеполеквазистационарныхтоков 136 Решение . Для любой точки, лежащей в плоскости контура dB n B d r r = , где n r - единичный вектор, перпендикулярный плоскости контура и направленный согласно правилу буравчика ( ) 2 0 4 , sin r r l d Idl dB π µ r r = , (7.31) r r - радиус-вектор, проведенный в точку наблюдения M из начала вектора l d v Для произвольного контура, как видно из рис.7.5, ( ) α rd r l d dl = r r , sin , где α d - угол, под которым виден из точки наблюдения элемент тока l d r , и формулу (7.31) можно записать в виде r d I dB α π µ 4 0 = (7.32) Если контур задан в полярных координатах уравнением ( ) ϕ r r = , то для точек внутри контура из (7.32) имеем ( ) ∫ = π ϕ ϕ π µ 2 0 0 4 r d I B (7.33) В декартовой прямоугольной системе координат хОy каноническое уравнение эллипса имеет вид Рис.7.5 §7. Магнитноеполеквазистационарныхтоков 137 1 2 2 2 2 = + b y a x (7.34) Совместим начало полярной системы координат с центром эллипса. Вклад в поле в точке M(0,0) элемента l d r направлен за плоскость рисунка (на рис.7.6 это обозначено символом ⊕ ). Так как ϕ cos r x = , ϕ sin r y = , то, учитывая (7.34), получим ϕ ε 2 2 cos 1 − = b r , где a b a a c 2 2 − = = ε эксцентриситет эллипса ( 1 0 < ≤ ε ). С помощью замены ϕ π β − = 2 формула (7.33) сводится к полному эллиптическому интегралу второго рода ( ) ε E : ( ) ε π µ β ϕ ε π µ π E b I d b I B 0 2 / 0 2 2 0 0 sin 1 = − = ∫ Для окружности ( ) b I E b I B 2 0 0 0 0 µ π µ = = Если поместить начало полярной системы координат в фокус эллипса, например в точку F 1 , а полярную ось направить к ближайшей вершине, уравнение эллипса будет ( ) ϕ ε cos 1 2 + = a b r . Используя (7.33), найдем ( ) 2 0 0 2 0 2 cos 1 2 1 b Ia d b a I B F µ ϕ ϕ ε π µ π = + = ∫ . Нетрудно убедиться, что 2 1 F F B B r r = , а в случае окружности (a=b) b I B 2 0 0 µ = Пример 7.10. Найти векторный потенциал и индукцию магнитного поля, создаваемого контуром с током I в произвольной точке на расстоянии, много большем линейного размера контура. Рис.7.6 §7. Магнитноеполеквазистационарныхтоков 138 Решение . По определению векторного потенциала и согласно формулам (7.11) и ∫∫ ∫ ∇ = S C dS n l d ] ; [ ϕ ϕ r r имеем, полагая r 1 = ϕ : ( ) ( ) [ ] ( ) ∫∫ ∫∫ ∫ = = ∇ = = = S S L dS r r n rot I dS r n rot I r l d I rot A rot B 3 0 0 0 ; 4 1 ; 4 4 r r r r r r π µ π µ π µ [ ] ( ) ∫∫ = S r r S Id rot 3 0 ; 4 r r π µ Дифференцирование под знаком градиента ведется по координатам начала вектора r r , поэтому 3 1 r r r r + = ∇ . В последнем интеграле r r - радиус- вектор, проведенный из элемента dS натянутой на контур поверхности в точку наблюдения. Если точка наблюдения находится на большом удалении от источника поля, можно приблизительно считать, что r r не зависит от положения элемента dS , и потому [ ] 3 0 ; 4 r r p rot B m r r r π µ = , где ( ) ( ) ∫∫ ∫∫ = = S S m S d I dS n I p r r r - магнитный момент контура с током. Тогда по формулам векторного анализа (см. Приложение) ( ) 5 2 0 ; 3 4 r r p r r p B m m r r r r r − = π µ Здесь r r - радиус-вектор, проведенный в точку наблюдения из точки расположения контура. Задачи и вопросы для самостоятельного решения 7.1. Найдите индукцию магнитного поля прямоугольного контура с током I в центре этого контура. Стороны прямоугольника равны a и b. 7.2. Определите индукцию магнитного поля поверхностного тока, распределенного равномерно по плоскости с линейнойплотностью i r §7. Магнитноеполеквазистационарныхтоков 139 7.3. Определите индукцию магнитного поля поверхностных токов, распределенных равномерно по двум параллельным плоскостям с линейными плотностями i r и i r − . 7.4. По прямолинейному цилиндрическому проводу радиуса R течет ток I, равномерно распределенный по поверхности провода. Найдите индукцию магнитного поля как функцию расстояния от оси провода. 7.5. Ток I течет вдоль длинной тонкостенной цилиндрической трубки радиусом R, имеющей по всей длине щель ширины d, d<<R,параллельную оси трубки. Определить индукцию магнитного поля внутри трубки на расстоянии r от середины щели r>>d. 7.6. Проводящая сфера радиуса R заряжена с поверхностной плотностью σ. Сфера вращается вокруг оси симметрии с угловой скоростью ω r . Найдите индукцию магнитного поля на оси вращения. 7.7. Внутри однородной проводящей сферы от точки А к точке В (см. рис.7.7) по диаметру большого круга проходит проводник. Ток силы I идет от В к А по проводнику, а затем по сфере к точке В. Определите индукцию магнитного поля B r , создаваемого этими токами, внутри и вне сферы. 7.8. По бесконечной прямолинейной тонкой полосе ширины l течет ток I, равномерно распределенный по ширине полосы. Найдите индукцию магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии h от плоскости полосы над ее серединой. Рис.7.7 §7. Магнитноеполеквазистационарныхтоков 140 7.9. На рис.7.8 показана схема симметричного разветвления стационарных токов. Все проводники прямолинейны, бесконечны и лежат в одной плоскости. Определите индукцию магнитного поля на линии, перпендикулярной к плоскости токов и проходящей через точку А, если сила тока в разветвленных проводниках равна I, а угол между ними равен 2α. 7.10. Тонкий проводник, по которому течет ток I, имеет форму двух параллельных полубесконечных прямых, соединенных полуокружностью радиуса R. Найдите силу, действующую на проводник со стороны внешнего однородного магнитного поля, вектор индукции которого B r параллелен прямым проводам. 7.11. Кольцо радиусом R с током I 1 лежит в одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому течет ток I 2 . Расстояние от центра кольца до провода равно а (a>R) . Найдите силу, действующую на кольцо. 7.12. Из некоторой точки объема, в котором создано однородное магнитное поле с индукцией B r , вылетают две частицы массами m, несущие заряды q и –q соответственно. Скорости частиц равны v, направлены под углом α к линиям магнитной индукции, угол между векторами скоростей равен 2α. Определите траектории частиц. Через какое время и на каком расстоянии от точки вылета встретятся частицы? Каково будет максимальное расстояние между частицами в процессе движения? Кулоновским взаимодействием частиц пренебречь. 7.13. Точечный заряд q массой m влетает со скоростью v 0 в область с постоянным однородным магнитным полем с индукцией В перпендикулярно линиям магнитной индукции. На какой угол α отклонится частица, если область, занимаемая магнитным полем, ограничена плоскостями, перпендикулярными вектору начальной скорости, расстояние между которыми L. Силу тяжести не учитывать. рис.7.8 §7. Магнитноеполеквазистационарныхтоков 141 7.14. По контуру, представляющему собой правильный n-угольник, вписанный в окружность радиусом R течет ток I. Найдите вектор индукции 0 B v магнитного поля в центре окружности. 7.15. Из однородного провода изготовлен контур в виде квадрата. К двум соседним вершинам квадрата подсоединен источник Э.Д.С. Пренебрегая полем подводящих проводов, найдите вектор индукции магнитного поля B 0 в центре квадрата. 7.16. Найдите вектор индукции магнитного поля 0 B v в центре плоского замкнутого контура, изображенного на рис.7.9, по которому течет ток I. Контур состоит из двух дуг окружности радиусом R и двух прямых, отстоящих друг от друга на расстоянии 2a. 7.17. Найдите индукцию магнитного поля 0 B v в центре плоской спирали, по которой течет ток I. Спираль заключена между окружностями с радиусами R 1 и R 2 (R 1 > R 2 ). В полярных координатах ρ,ϕ расстояние от центра спирали ρ линейно зависит от угла ϕ. Число витков стирали равно N. Поле подводящих проводов не учитывать. 7.18. Электрон вылетает с малой скоростью из катода и движется к аноду, потенциал которого на U больше потенциала катода. Пройдя расстояние l в однородном магнитном поле с индукцией B, создаваемом электромагнитом, и двигаясь далее по инерции, электрон попадает на флуоресцентный экран, помещенный на расстоянии D от электромагнита (рис.7.10). Найдите смещение δ пятна на экране как функцию индукции магнитного поля. Рис.7.9 §7. Магнитноеполеквазистационарныхтоков 142 7.19. Бесконечно длинный цилиндр радиусом R ,заряженный равномерно по объему с плотностью ρ, вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью ω r . Найдите индукцию магнитного поля внутри и вне цилиндра. 7.20. Проволочное кольцо радиусом R помещено в однородное магнитное поле с индукцией B r , перпендикулярное плоскости кольца. Какой максимальный ток можно пропустить по кольцу, если максимальное натяжение, которое выдерживает проволока, равно Т? Влиянием собственного поля кольца пренебречь. Рис.7.10 |