В. Нетребко, И. П
 Скачать 5.4 Mb.
|
|
§3. Проводникиидиэлектрикивэлектрическомполе . ТеоремаГаусса Краткие теоретические сведения Поле в веществе.Проводникаминазывают такие тела, которые содержат свободныезаряды, то есть заряды, способные передвигаться по всему объему проводника. При внесении проводника в электрическое поле свободные заряды под его воздействием перемещаются (протекают электрические токи) до тех пор, пока не установится новая стационарная конфигурация зарядов. Это приводит к следующим свойствам проводников в электростатическом поле: - проводник электризуется- на его поверхности появляются положительные и отрицательные заряды, - напряженность электрического поля и объемная плотность заряда внутри проводника равны нулю, - весь объем проводника является эквипотенциальным объемом, что позволяет говорить о потенциалепроводника, - силовые линии электрического поля вне проводника вблизи его поверхности перпендикулярны к ней. Диэлектрикине содержат свободных зарядов. В электрическом поле заряды внутри диэлектрика смещаются лишь на молекулярных масштабах, при этом молекулы могут быть представлены как диполи. В электростатическом поле они ориентируются (см. рис.3.1), что приводит к появлению на поверхности диэлектрика связанныхзарядов. Последние приводят к уменьшению напряженности электрического поля внутри диэлектрика по сравнению с вакуумом. Явление ориентации молекул диэлектрика во внешнем электрическом поле называют поляризациейдиэлектрика. Для его Рис.3.1 §3. Проводникиидиэлектрикивэлектрическомполе 42 количественной характеристики вводят векторполяризации P . В случае одинаковых диполей e p n P = , (3.1) где n - число диполей-молекул в единице объема вещества, а e p - дипольный момент одного диполя. В не очень сильных электрических полях для большинства материальных сред вектор поляризации пропорционален напряженности поля E r ( такие среды относят к линейным) E P 0 χε = (3.2) Постоянная χ называется диэлектрической восприимчивостью диэлектрика. Существуют, однако, среды (например сегнетоэлектрики), в которых связь между Р иЕ существенно нелинейна. В сильных полях поляризация этих сред насыщается и перестает зависеть от внешнего поля. В некоторых случаях для таких диэлектриков вектор Р можно считать постоянным независимо от поля («замороженная» поляризация). Кроме вектора напряженности E в теории электричества вводят векториндукции электрического поля D : ( ) E E P E D 0 0 0 1 εε χ ε ε = + = + = (3.3) Безразмерная постоянная ε >1 называется диэлектрической проницаемостью вещества. Теорема Гаусса. В электростатическом поле поток вектора индукции через любую замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, заключенных внутри этой поверхности: ∑ ∫ = i q dS D , (3.4) или в дифференциальной форме §3. Проводникиидиэлектрикивэлектрическомполе 43 ρ = D div (3.5) Здесь ρ - объемная плотность заряда. Пример 3.1. Сравните качественно поток вектора индукции D через поверхности, показанные на рис.3.2. В каких случаях поток равен нулю? Решение . На языке силовых линий поток вектора D через поверхность пропорционален разности входящих в ограниченную поверхностью область и выходящих через нее силовых линий. Согласно вышесказанному поток через поверхность, показанную на рис.3.2б вдвое превышает поток через поверхность, показанную на рис.3.2а. Поток через поверхности, показанные на рис.3.2в-3.2д, равен нулю. Пример 3.2. Используя теорему Гаусса, найдите напряженность поля, создаваемого в вакууме бесконечной плоскостью, несущей на единице площади заряд σ . Решение . Прежде всего отметим, что в силусимметриираспределения заряданаплоскости поле также обладает элементами симметрии, а именно • вектор напряженности поля направлен по нормали к плоскости, • модуль напряженности поля одинаков на одном и том же расстоянии от плоскости. Рис.3.2 §3. Проводникиидиэлектрикивэлектрическомполе 44 Воспользуемся этими свойствами симметрии поля при выборе замкнутой поверхности, к которой применим теорему Гаусса. Выберем прямой цилиндр, основания которого параллельны плоскости и находятся на одинаковом расстоянии z от нее (рис.3.3). При вычислении потока вектора индукции следует выбирать нормаль к поверхности, выходящую из объема наружу. Поток через весь цилиндр складывается из трех потоков: через донышки SD = Φ = Φ 2 1 , и через боковую поверхность. Последний равен нулю, так как в любой точке боковой поверхности нормаль к ней перпендикулярна к вектору D . Суммарный поток через цилиндрическую поверхность равен SD 2 = Φ Внутри цилиндрической поверхности находится заряд σ S q = , поэтому σ S SD = 2 Откуда 2 σ = D Используя (3.3), находим напряженность поля в любой точке в окрестности заряженной плоскости 0 2 ε σ = E (3.6) Представленное в условии задачи распределение заряда невозможно создать практически. Его следует рассматривать как модель, позволяющую рассчитать поле вблизи заряженной пластинки. Пример 3.3. Найдите напряженность электрического поля между обкладками плоского конденсатора. На пластинах находятся заряды Q и -Q, площадь пластин конденсатора - S . Рис.3.3 §3. Проводникиидиэлектрикивэлектрическомполе 45 Решение . На рис.3.4 показано поле от каждой из пластин конденсатора. Между пластинами поле складывается и становится вдвое больше, чем поле от одной пластины (см. (3.6)): S Q E 0 0 ε ε σ = = (3.7) За пределами пластин поля от зарядов на пластинах направлены в противоположные стороны, поэтому суммарная напряженность равна нулю. Полученный результат относится к полю вдали от краев пластин конденсатора. Пример 3.4. Диэлектрический шар радиусом R равномерно заряжен по объему. Объемная плотность заряда равна ρ , диэлектрическая проницаемость материала шара - ε Найдите потенциал поля, создаваемого шаром. Решени . Напряженность электрического поля, создаваемого распределением заряда, указанного в условии задачи, рассчитана в примере 6 первого параграфа. Приведем другое решение той же задачи с использованием теоремы Гаусса. В силу симметрии распределения заряда индукция (и напряженность) поля будет направлена вдоль радиуса шара, а величина вектора индукции будет одинаковой на любой сфере, концентрической с шаром. Для определения поля в произвольной точке М проведем через эту точку сферу, концентрическую с шаром. Поток вектора индукции D через эту сферу ( ) ( ) 2 4 r r D ds r D DdS dS D π = = = ∫ ∫ ∫ , (3.8) где интегрирование ведется по поверхности сферы радиусом r. Рис.3.4 §3. Проводникиидиэлектрикивэлектрическомполе 46 Согласно теореме Гаусса этот поток равен заряду, заключенному внутри выбранной сферы. Этот заряд различен, если точка М находится внутри или вне сферы: = , 3 4 , 3 4 3 3 R r q πρ πρ если R r R r > ≤ Применяя теорему Гаусса, находим индукцию электрического поля = , 3 , 3 3 3 r r R r D ρ ρ если R r R r > ≤ , Поскольку E D 0 εε = , то напряженность поля будет равна = , 3 , 3 3 0 3 0 r r R r E ε ρ εε ρ если R r R r > ≤ , (3.9) Напряженность и потенциал поля связаны соотношением (2.3), то есть ∫ ∞ − = r Edr ϕ Потенциал бесконечно удаленной точки примем равным нулю. Проведя интегрирование, получим ( ) − + = , 3 , 6 3 0 3 2 2 0 0 2 r R r R R ε ρ εε ρ ε ρ ϕ если R r R r > ≤ §3. Проводникиидиэлектрикивэлектрическомполе 47 При интегрировании учтено, что при R r = потенциал непрерывен. Пример 3.5. На проводящей сфере радиусом R находится заряд Q + , а на проводящей сфере радиусом R 4 , концентрической с первой - заряд Q 2 − Между заряженными сферами находится не заряженный слой проводящей среды, ограниченный сферами с радиусами R 2 и R 3 соответственно (см. рис.3.5). Найдите напряженность электрического поля во всем пространстве. Постройте картину силовых линий вектора E , а также найдите индукционные заряды на поверхностях проводника. Как изменятся заряды на сферах, если их соединить проводником? Решение . Как и в предыдущем примере, поле обладает сферической симметрией. Для применения теоремы Гаусса выберем сферу радиусом r , концентрическую с данными. Поток через нее подсчитан в предыдущем примере и задается формулой (3.8). Найдем заряд внутри сферы радиусом r : − − + = Q Q q Q Q q ' 0 , если r R R r R R r R R r R R r < < < < < < < < 4 4 3 3 2 2 Здесь ' q - индукционный заряд на сфере радиусом R 3 , а так как проводник не несет заряда, то на его внутренней поверхности радиусом R 2 находится заряд ' q − . Применим теорему Гаусса и учтем, что внутри проводника поле равно нулю ( Q q = ' ), получим Рис.3.5 §3. Проводникиидиэлектрикивэлектрическомполе 48 − = = , 4 , 4 , 0 2 0 2 0 0 r r r Q r r r Q D E r r πε πε ε если r R R r R R r < < < < 4 , 2 , R r R R r R 4 3 3 2 < < < < Картина силовых линий вектора E показана на рис.3.6. После соединения внешней сферы с внутренней заряды перераспределятся по ним так, чтобы потенциалы этих сфер стали одинаковыми. Обозначим заряд на сфере радиусом R через 1 Q , а на сфере радиусом R 4 - 2 Q . В силу закона сохранения заряда Q Q Q Q Q − = − = + 2 2 1 Используя теорему Гаусса, найдем поле в пространстве между сферами с радиусами R и R 4 : = − = = r r r Q r r r q Q r r r Q D E r r r r 2 0 1 2 0 1 2 0 1 0 4 0 4 ' 4 πε πε πε ε , если R r R R r R R r R 4 3 3 2 2 < < < < < < Разность потенциалов между ними ( ) 0 48 7 4 1 3 1 2 1 1 4 0 1 0 1 4 = = − + − = = ∆ ∫ R Q R R R R Q dr r E R R πε πε ϕ Видим, что заряд 1 Q на внутренней сфере будет равен нулю, а заряд на внешней сфере радиусом R 4 станет равен Q Q Q − = + 2 1 Рис.3.6 §3. Проводникиидиэлектрикивэлектрическомполе 49 Пример 3.6. Проводящая сфера радиусом R несет заряд Q Сфера окружена сферическим слоем диэлектрика, простирающимся до сферы радиусом R 2 Используя теорему Гаусса, найдите индукцию электрического поля и его напряженность во всех точках пространства. Постройте картину силовых линий для векторов D и E . Найдите связанный заряд q , появляющийся на границах диэлектрика. Диэлектрическая проницаемость диэлектрика 2 = ε Решение . Проведем произвольную сферическую поверхность радиусом r , концентрическую с заданной в условии задачи. Электрическое поле вокруг сферы обладает сферической симметрией, или вектор индукции электрического поля D направлен по радиусу сферы. Поток этого вектора через выбранную поверхность определяется выражением (3.8). Согласно теореме Гаусса этот поток равен заряду внутри поверхности. Приравнивая, получаем = 2 4 0 r Q D π при R r R r > < §3. Проводникиидиэлектрикивэлектрическомполе 50 Вектор напряженности E вне диэлектрика равен 0 / ε D E = , а внутри диэлектрика – 0 / εε D E = Иными словами, вектор напряженности электрического поля определяется как свободными, так и связанными зарядами. Сказанное хорошо иллюстрируют картины силовых линий векторов D и E , представленные на рис.3.7а и рис.3.7б соответственно. Силовые линии вектора D начинаются и оканчиваются на свободных зарядах или в бесконечности. Воспользуемся картиной силовых линий для оценки связанного заряда q . Поток вектора E через сферу с радиусом R r R 2 < < в 2 = ε раза меньше потока через сферу с радиусом R r 2 > Поток пропорционален числу силовых линий, а они начинаются на свободных и связанных зарядах, поэтому q q Q = − Откуда 2 / Q q = В общем случае при определении связанных зарядов можно применить следующий прием. Напряженность электрического поля в произвольной точке внутри диэлектрика равна 2 0 4 r Q E πεε = Представим, что диэлектрика нет, но заменим связанные заряды свободными, и найдем напряженность электрического поля, создаваемого всеми зарядами, получим Рис.3.7 §3. Проводникиидиэлектрикивэлектрическомполе 51 2 0 4 r q Q E πε − = Приравнивая найденные выражения для напряженности, получим q Q Q − = ε , откуда − = ε 1 1 Q q , что для 2 = ε совпадает с выражением, полученным выше, исходя из анализа силовых линий. Пример 3.7. Незаряженная проводящая сфера радиусом R помещена в однородное электрическое поле напряженностью 0 E . Найдите поверхностную плотность зарядов, появляющихся на сфере, а также суммарный дипольный момент сферы. Решение . Заряды по сфере распределятся так, чтобы напряженность поля внутри проводника (сферы) была бы равна нулю. Эта напряженность складывается из напряженности внешнего однородного поля и поля, создаваемого зарядами, появляющимися на поверхности проводника. В примере 10 предыдущего параграфа было показано, что если заряд на поверхности сферы будет распределен с поверхностной плотностью θ σ σ cos 0 = , где угол θ - это угол, который составляет радиус, проведенный в данную точку сферы, с осью z 0 , то поле внутри сферы однородно и направлено вдоль оси z 0 , а его величина определяется выражением (2.19): 0 0 0 3 ε σ = E Направляя ось z 0 вдоль внешнего поля и выбирая 0 0 0 3 E ε σ = , получим, что суммарное поле внутри сферы будет равно нулю, если на поверхности сферы появится наведенный заряд с поверхностной плотностью θ ε σ cos 3 0 0 E = Дипольный момент двух зарядов dq и - dq , находящихся на поверхностях сферы, определяемых углами ϕ ϕ ϕ θ θ θ d d + ÷ + ÷ , и ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ θ θ π θ π d d + ÷ − − ÷ − , согласно определению (1.4) равен ( ) θ ϕ θ θ θ σ cos 2 sin 2 R d d R dp e = и направлен вдоль оси z 0 . Интегрируя e dp §3. Проводникиидиэлектрикивэлектрическомполе 52 по углу θ от 0 до 2 / π и углу ϕ от 0 до π 2 , получаем дипольный момент всей сферы: ( ) ∫ ∫ ∫ = = = π π π πε θ θ θ ε π θ θ θ θ σ ϕ 2 0 2 / 0 2 / 0 3 0 0 2 0 0 3 3 4 cos sin 12 cos sin 2 R E d E R d d R p e Пример 3.8. Длинный цилиндр изготовлен из диэлектрика с « замороженной» однородной поляризацией, направленной по его оси. Поле в точкеА (рис.3.8а) оказалось равным м кВ E A / 3 = Найдите ( приближенно) поле C E вблизи торца короткого цилиндра (в точке С), сделанного из того же материала, если D h 2 10 2 − ⋅ = , где D - диаметр цилиндра (см. рис.3.8б). Решение . Поле, создаваемое цилиндрами с « замороженной» поляризацией, определяется связанными зарядами, существующими на их торцах, причем поверхностная плотность связанных зарядов σ на торцах обоих цилиндров одинакова. На торцах, ближайших к точкам А иС, связанные заряды положительны, а на противоположных торцах - отрицательные. Так как по условию задачи первый цилиндр достаточно длинный, то основной вклад в поле в точке А вносят положительные заряды. Величина напряженности, создаваемой ими в точкеА, может быть с хорошей точностью аппроксимирована полем в непосредственной близости от равномерно заряженной плоскости (см. решение примера 2 настоящего параграфа): 0 2 ε σ = A E Для точкиС кроме поля положительных зарядов, которое совпадает с полем в точке А, заметный вклад в суммарную напряженность Рис.3.8 §3. Проводникиидиэлектрикивэлектрическомполе 53 внесут отрицательные заряды, находящиеся на дальнем от точкиС торце цилиндра. Поле ' E , создаваемое ими, направлено в противоположную A E сторону и его величину нетрудно подсчитать, используя решение примера 4 параграфа 1, что мы предоставляем читателю сделать самостоятельно: + − = 2 2 0 4 / 1 2 ' h D h E ε σ (3.10) Суммарное поле положительных и отрицательных связанных зарядов в точке С будет равно 2 2 4 / ' h D h E E E E A A C + = − = ; для 1 / << D h приближенно получим м В D h E E A C / 120 2 = = Задание для самостоятельной работы 3.1. На вертикальной пластине достаточно больших размеров равномерно распределен электрический заряд с поверхностной плотностью σ . На прикрепленной к пластине нити подвешен маленький шарик массы m , несущий заряд того же знака, что и пластина. Найдите его заряд q , если нить образует с вертикалью угол α . §3. Проводникиидиэлектрикивэлектрическомполе 54 3.2. Две бесконечные плоскопараллельные металлические пластинки помещены в вакууме параллельно друг другу (рис.3.9). Полный заряд на единицу площади (то есть сумма зарядов на обеих поверхностях пластинки) равен 1 q для первой и 2 q - для второй. Определите поверхностные плотности электрических зарядов на пластинках, а также напряженность электрического поля между ними и во внешнем пространстве. 3.3. Докажите, что заряды каждого знака, индуцированные на проводнике А поднесенным к нему зарядом q + ( рис.3.10) всегда меньше q . 3.4. Имеется заряженный до некоторого положительного потенциала проводник. Что произойдет с потенциалом этого проводника, если приблизить к нему на конечное расстояние проводящую плоскость, соединенную с землей? 3.5. Заряженный проводник находится внутри замкнутой металлической оболочки. 1) Изменится ли электрическое поле внутри оболочки, если извне поднести к ней заряженный проводник? 2) Будет ли изменяться поле внутри и вне оболочки, если внутренний проводник перемещать внутри оболочки? Рис.3.9 Рис.3.10 §3. Проводникиидиэлектрикивэлектрическомполе 55 3.6 . Между двумя круглыми параллельными проводящими пластинками, заряженными равными разноименными зарядами, помещают симметрично круглую диэлектрическую пластинку, как указано на рис.3.11. Изменится ли напряженность поля в точке А после внесения пластинки? 3.7. Из трех концентрических бесконечно тонких металлических сфер с радиусами 3 2 1 R R R < < , находящихся в вакууме, крайние заземлены, а средней сообщен электрический заряд Q . Найдите напряженность электрического поля во всем пространстве. 3.8. Из трех параллельных металлических пластинок А, В и С (рис.3.12) крайние А и В неподвижны и соединены с гальванической батареей, поддерживающей разность потенциалов U между ними постоянной. Средняя пластинка С сначала находится в контакте с верхней пластиной А. Затем с помощью изолирующей ручки она перемещается по направлению к нижней пластинке. Пренебрегая краевыми эффектами, найдите напряженности полей 1 E и 2 E в зазорах между пластинками в зависимости от переменного расстояния x между пластинками А и С, если сумма зазоров между пластинками равна d . 3.9. Три одинаковых изолированных незаряженных маленьких металлических шарика расположены в вершинах равностороннего треугольника. Проволочкой, подключенной к удаленному заряженному проводнику, потенциал которого неизвестен, но поддерживается постоянным, по очереди касаются каждого из шаров. Заряды на первых двух Рис.3.11 Рис.3.12 §3. Проводникиидиэлектрикивэлектрическомполе 56 шариках оказались равными 1 q и 2 q Найдите заряд 3 q на третьем шарике. 3.10. Как изменится разность потенциалов между двумя изолированными заряженными проводниками, если между ними ввести металлическую пластину, толщиной которой нельзя пренебречь по сравнению с расстоянием между проводниками? 3.11. Найдите напряженность электрического поля внутри и вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса R. Объемная плотность заряда в цилиндре – ρ. 3.12. Два длинных провода, расположенных параллельно на расстоянии d друг от друга, равномерно заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью κ + и κ − . Определите напряженность поля E на расстоянии h от плоскости, в которой лежат провода, в точке, лежащей в плоскости симметрии. Указание: воспользоваться теоремой Гаусса. 3.13. Определите напряженность поля E внутри и вне безграничного плоского слоя толщиной 2 d , в котором равномерно распределен положительный заряд с объемной плотностью ρ . Указание: воспользоваться теоремой Гаусса. 3.14. Внутри полойпроводящей сферы радиусом R помещен проводящий шар радиусом r. Пространство между шаром и сферой заполнено диэлектриком с проницаемостью ε. На сферу поместили заряд Q, а внутренний шар заземлили. Определите заряд шара. 3.15. С какой объемной плотностью ( ) r ρ следует распределить электрический заряд в шаре, чтобы поле 0 E внутри него было направлено вдоль радиуса и всюду имело одинаковую величину? §3. Проводникиидиэлектрикивэлектрическомполе 57 3.16. Найдите величину и направление силы взаимодействия между двумя незаряженными проводящими сферами радиусом a , помещенными в однородное электрическое поле 0 E , направленное параллельно линии, соединяющей центры сфер. Расстояние между центрами сфер a r >> . 3.17. В поле точечного заряда 0 > q находится палочка из диэлектрика. Выделим три сферические поверхности , 1 S , 2 S 3 S , в центре которых находится заряд q ( рис.3.13). а) Сравните потоки вектора E через эти поверхности; б) сравните потоки вектора D через эти поверхности. Можно ли найти ( ) r D , используя теорему Гаусса в интегральной форме? 3.18. Диэлектрическая пластина ширины a 2 с диэлектрической проницаемостью ε помещена в однородное электрическое поле напряженности E , линии которого перпендикулярны пластине. а)Найдите зависимость потенциала ϕ от x (ось x 0 перпендикулярна пластине, вектор E направлен вдоль оси x 0 , точка 0 = x находится посередине пластины); б) определите поверхностную плотность связанных зарядов на той стороне пластины, в которую входят линии поля E из вакуума; в) определите вектор поляризации диэлектрика. 3.19. Найдите напряженность электрического поля внутри и вне однородно поляризованного незаряженного плоского диэлектрического слоя. Вектор поляризации P r составляет угол α с вектором нормали n r одной из внешних поверхностей слоя. Рис.3.13 §3. Проводникиидиэлектрикивэлектрическомполе 58 3.20. Имеется бесконечная полоса диэлектрика толщиной l и шириной L . Материал пластины поляризован. Вектор поляризации P постоянен и перпендикулярен бесконечной границе полосы, как показано на рис.3.14. Найдите напряженность E и индукцию D поля на средней линии ОО’ в двух случаях: а) считая L l << , б) считая L l >> . 3.21. В диэлектрической среде с диэлектрической проницаемостью ε создано однородное поле напряженностью E . Внутри среды имеется сферическая полость. Найдите напряженность ' E поля, создаваемого в центре сферы поляризационными зарядами, индуцированными на её поверхности, считая, что вектор поляризации P всюду (за исключением полости) имеет постоянное значение. 3.22. Во внешнее однородное электрическое поле E ( рис.3.15) внесен металлический шарик. Как в результате этого изменится напряженность электрического поля вблизи поверхности шарика в точках А и В, С и D ? Рис.3.14 Рис.3.15 |