В. Нетребко, И. П
 Скачать 5.4 Mb.
|
|
§6. Квазистационарныетоки Краткие теоретические сведения Токи проводимости.При помещении проводника в электрическое поле в нем возникает направленное движение заряженных частиц (свободных зарядов), которое называют токомпроводимости. Эти токи создаются, вообще говоря, как отрицательными, так и положительно заряженными частицами, скорости движения которых v - и v + различны. Распределение токов в проводнике описывается вектором плотноститока проводимости: j =e(n + v + - n - v - ), где n + и n - – концентрации положительных и отрицательных подвижных носителей заряда. Для каждого типа носителей скорость их упорядоченного движения v r может быть записана в виде v =αE, где α – подвижностьносителей, а E r – напряженность электрического поля в проводнике. Если концентрации носителей не зависят от напряженности поля ( что справедливо в большинстве проводников), то справедлив законОма : j = λЕ, (6.1) где λ – удельная проводимостьсреды. Для описания проводящих сред часто используют также удельноесопротивление ρ=1/λ. Протекание токов ведет к перераспределению зарядов (релаксациизарядов) в среде, и, в конечном счете, к исчезновению поля и прекращению токов. Поэтому за счет кулоновского взаимодействия зарядов протекание стационарных(не зависящих от времени ) токов невозможно. Характерное время установления стационарного распределения зарядов τ = εε 0 / λ для хорошо проводящих сред очень мало. Токи, мало изменяющиеся на масштабе времени релаксации зарядов называют квазистационарными. Стационарные токи могут протекать только при наличии сторонних сил (сил не кулоновского происхождения), действующих на заряженные частицы. Эти силы описывают полемстороннихсил, напряженность которого принято обозначать как Е с В таком случае закон Ома принимает вид: §6. Квазистационарныетоки 106 j = λ(Е+Е с ), (6.2) где под E r по-прежнему понимается напряженность электрического поля, создаваемого зарядами. Сторонние силы не потенциальны и их работа при перемещении заряда по замкнутому контуру отлична от нуля. В присутствии сторонних сил заряды на поверхности проводника перераспределяются, и поэтому поле в проводнике не равно, вообще говоря, нулю даже в тех его областях, где сторонние силы не действуют. В поле сторонних сил вводится понятие электродвижущейсилы (ЭДС) ∫ = l d E c r r ε , (6.3) определяемой для произвольного контура или его участка. Непрерывность токов. В силу закона сохранения заряда текущие в проводниках токи всегда удовлетворяют уравнению непрерывности: d ρ/dt + divj = 0, (6.4) где ρ – объемная плотность заряда. В случае стационарных токов div j = 0 (6.5) Квазистационарные токи удовлетворяют такому же условию. Сила тока. Для проводника вводится понятие силытока ∫ = S d j I r r , (6.6) где интегрирование проводится по сечению проводника. Заряженное тело в проводящей среде разряжается, причем dQ/dt = -I, (6.7) а ток I вычисляется через любую окружающую тело поверхность. В большинстве задач рассматривают токи, текущие по тонким проводам, толщина которых много меньше длины. В квазистационарном случае сила тока во всех сечениях провода одинакова. Закон Ома позволяет §6. Квазистационарныетоки 107 связать силу тока, текущего по проводу с разностью потенциалов U на его концах: U = IR, (6.8) где коэффициент R называют сопротивлением проводника. В частности, для замкнутого контура, сдержащего Э.Д.С. из (6.3) и (6.8) следует: I = /R (6.9) Величину, обратую сопротивлению проводника называют его проводимостью. Для отрезка тонкого провода неизменного сечения S l R λ = (l- длина проводника, а S - площадь его сечения). При протекании распределенных токов в среде между хорошо провдящими электродами, поверхности которых можно считать эквипотенциальными, аналогично можно ввести сопротивление участка проводника: R = U/I, где I – ток каждого электрода, а U -- разность потенциалов между ними. Для расчета такого сопротивления необходимо знать распределение токов в среде. При протекании токов в среде выделяется тепло, объемная плотность мощности источников которого, согласно законуДжоуля-Ленца, равна: ν =(jE) =λE 2 (6.10) Нетрудно заметить, что плотность тепловых источников в проводящей среде пропорциональна плотности энергии электрического поля E w : ν=(2λ/εε 0 )w E , где w E = ½ εε 0 Е 2 (6.11) Количество тепла, выделяющегося в проводнике в единицу времени N = UI = I 2 R (6.12) равно работе сил поля по перемещению зарядов вдоль проводника в единицу времени. §6. Квазистационарныетоки 108 При вычислении сопротивления участка проводящей среды часто полезно представить его в виде последовательного или параллельного соединения участков более простой формы. При этом следует помнить, что при последовательном соединении сопротивления участков складываются, а при параллельном – складываются их проводимости. Для более сложных расчетов используют теорию электрических цепей. Пример 6.1. Найдите сопротивление слоя слабо проводящей среды с проводимостью λ , расположенной между двумя хорошо проводящими концентрическими сферами радиусов 1 R и 2 R . Решение . Создадим между сферами разность потенциалов U . Распределение проводников обладает сферической симметрией, поэтому плотность тока j направлена по радиусу и зависит только от r Рассмотрим сферу произвольного радиуса r и найдем ток, протекающий через нее ( ) r j r dS j I 2 4 π = = ∫ По закону Ома j E λ 1 = Выражая плотность тока через I , находим λ π 2 4 r I E = Теперь нетрудно выразить через параметры задачи разность потенциалов между сферами ∫ − = = 2 1 2 1 1 1 4 R R R R I Edr U πλ Откуда сопротивление слоя 2 1 1 2 4 R R R R I U R πλ − = = В случае тонкого слоя толщиной 2 , 1 1 2 R R R d << − = его сопротивление будет равно §6. Квазистационарныетоки 109 S d R λ ≈ , где 2 1 4 R S π = -- площадь слоя. В случае 1 2 R R >> сопротивление среды становится равным 1 4 1 R R πλ = и зависит только от размеров внутреннего тела. Пример 6.2. Найдите соотношение, связывающее сопротивление среды между двумя хорошо проводящими телами, погруженными в слабо проводящую среду, и емкостью конденсатора, образованного этими телами. Решение . Окружим одно из тел замкнутой поверхностью S и найдем ток, протекающий через нее 1 0 0 Q dS D dS j I S S εε λ εε λ = = = ∫ ∫ Аналогично ток, протекающий через второе тело равен 2 0 Q I εε λ = (6.12) Так как токи равны и направлены в разные стороны, то 2 1 Q Q − = и тела можно рассматривать как конденсатор, емкость которого обозначим С. Она связана с разностью потенциалов между проводниками известным соотношением C Q U = = − 1 2 ϕ ϕ Та же разность потенциалов связана с током законом Ома IR U = Приравнивая выражения для разности потенциалов, находим C Q IR = , или, с учетом (6.12): C R λ εε 0 = (6.13) §6. Квазистационарныетоки 110 Пример 6.3. Заземление осуществляется с помощью идеально проводящего шара радиусом a , наполовину утопленного в землю (проводимость земли const = λ ). Найдите сопротивление R такого заземлителя. Решение . Разобьем задачу на две. Допустим, что шар полностью утоплен в землю. Сопротивление такого заземления задается формулой (6.12), полученной в предыдущем примере, если в неё вместо С подставить a 0 4 πεε -- емкость уединенного шара радиусом a : a R πλ 4 1 ' = Шар, наполовину утопленный в землю, находится на границе раздела двух сред. В силу того, что граница раздела совпадает с плоскостью симметрии шара, напряженность на границе раздела направлена вдоль границы (см. решение примера 7 из параграфа 4), а силовые линии электрического поля в земле для полусферы совпадают с силовыми линиями для шара, полностью погруженного в однородную среду. Однако при том же потенциале ток, текущий через полусферу вдвое меньше, чем через сферу. Из проведенных рассуждений следует, что искомое сопротивление a R R πλ 2 1 ' 2 = = Пример 6.4. В качестве заземления электрических цепей часто используется шар радиусом a , зарытый в грунт с проводимостью λ , много меньшей, чем проводимость материала шара. Найдите тепловую мощность, выделяющуюся в окрестности заземления, при подаче на него напряжения U (относительно удаленных тел). Решение . Тепловая мощность, выделяющаяся в проводнике, определяется законом Джоуля-Ленца R U N 2 = , где − R сопротивление среды, окружающей шар. Его связь с емкостью шара была получена в примере 2 и задается выражением (6.13). Подставим его в N , получим §6. Квазистационарныетоки 111 2 0 U C N εε λ = Емкость уединенного шара задается выражением (5.2), откуда окончательно 2 4 aU N πλ = Пример 6.5. Два одинаковых тела зарыты в землю на большом расстоянии друг от друга. Разность потенциалов между ними известна и равна U . Грунт в окрестности тел имеет проводимость 1 λ и 2 λ соответственно. Найдите потенциалы тел. Решение . В примере 2 данного параграфа было показано, что ток, текущий между телами связан с зарядами на них соотношением (6.12) 2 2 1 1 Q Q I λ λ = = С другой стороны заряды на проводниках связаны с напряжением на них соотношениями 2 2 1 1 , CU Q CU Q = = Здесь учтено, что проводники одинаковы и их емкости равны. Из приведенных соотношений легко находится отношение 1 2 2 1 λ λ = U U , а по условию задачи разность напряжений U U U = − 2 1 Решая полученную систему уравнений, окончательно находим U U U U 2 1 1 2 2 1 2 1 , λ λ λ λ λ λ + − = + = Если проводимости грунтов равны 2 1 λ λ = , то U U U 2 1 2 1 = − = Если одна из проводимостей становится очень малой, например 0 1 → λ , то 0 2 → U и U U → 1 §6. Квазистационарныетоки 112 Пример 6.6. Три проводника с круглым сечением одного и того же радиуса r соединены последовательно, образуя замкнутое кольцо. Длины проводников r l l l >> 2 1 0 , , , проводимости 2 1 0 , , λ λ λ По объему проводника с проводимостью 0 λ равномерно распределена Э.Д.С. 0 U , не зависящая от времени. Найдите кулоновское и полное поля E в проводниках. Решение . Ток, текущий по всем участкам цепи одинаков, а так как одинакова площадь сечения разных участков цепи, то и плотность тока на всех участках одинакова, или ( ) 2 2 1 1 0 0 E E E E j c λ λ λ = = + = (6.14) Проектируя соотношения (6.14) на j , получаем ( ) 0 0 2 2 1 1 E E E E c − = = λ λ λ (6.15) Работа сторонних сил согласно (6.3) равна 0 0 0 l E U = , а работа кулоновских сил вдоль всего замкнутого контура равна нулю 0 2 2 1 1 0 0 = + + − l E l E l E (6.16) Решая систему уравнений (6.15) и (6.16), находим кулоновское поле на всех трех участках цепи 0 2 1 0 U k E λ λ = , 0 2 0 1 U k E λ λ = , 0 1 0 2 U k E λ λ = , где 1 0 2 2 0 1 2 1 0 1 λ λ λ λ λ λ l l l k + + = Полное электрическое поле на участке длиной 0 l складывается из поля сторонних сил и кулоновского поля: ( ) ( ) 1 0 2 2 0 1 2 1 0 0 1 2 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ l l l l l l U U k l U E E E c + + + = − = − = §6. Квазистационарныетоки 113 Пример 6.7. Определите сопротивление изоляции коаксиального кабеля длиной м l 10 = , если диаметр внутреннего проводника мм d 1 = , диаметр наружной проводящей оболочки равен мм D 4 = , а удельное сопротивление изоляции м Ом ⋅ = = 13 10 1 λ ρ Решение . Рассмотрим отрезок кабеля с изоляцией длиной l Пусть 0 U - напряжение между внутренним проводником и наружной оболочкой. Так как поле обладает цилиндрической симметрией и объемный заряд внутри диэлектрика отсутствует, то по теореме Гаусса ( ) r rl Q r E α π = = 2 Согласно (2.7) ( ) dr r dU E r − = , или ( ) β α + − = r r U ln , где α и β - пока неизвестные постоянные. Учитывая, что 0 2 U d U = , а 0 2 = D U , находим ( ) ( ) r d D U r E r 1 / ln 0 ⋅ − = Окончательно закон Ома (6.1) примет вид ( ) r d D U j 1 / ln 0 ⋅ = ρ Полный ток, протекающий по цилиндрическому слою изоляции длиной l , равен ( ) d D lU rl j jS I / ln 2 2 0 ρ π π = ⋅ = = , откуда по закону Ома сопротивление изоляции R равно ( ) l d D I U R π ρ 2 / ln 0 = = §6. Квазистационарныетоки 114 После подстановки числовых данных получим Ом R 11 10 2 , 2 ⋅ = Пример 6.8. К большому металлическому листу толщиной a приварен цилиндрический проводник радиусом 0 r ( см. рис.6.1). Найдите сопротивление R листа между проводником и кольцевым электродом радиусом b с центром в точке прикрепления проводника, если 0 r a << . Считать, что удельная проводимость 1 λ проводника и кольцевого электрода значительно больше удельной проводимости λ материала листа. Решение . Так как λ λ >> 1 , то потенциал всех точек проводника, приваренного к листу, можно считать постоянным. Так как толщина листа a много меньше размеров проводника, ток, текущий по листу, можно считать распределенным равномерно по толщине листа. В силу симметрии он направлен по радиусу от точки крепления подводящего проводника и его плотность одинакова по всем направлениям. В силу закона Ома так же будет распределена напряженность электрического поля, при этом поле будет обладать цилиндрической симметрией. Такое поле создает бесконечный цилиндр, заряженный с некоторой постоянной погонной плотностью заряда κ Иными словами, распределение напряженности электрического поля будет таким же, как если бы ток к листу подводится бесконечным прямым проводом, как показано на рис.6.2. Напряженность электрического поля в точке, отстоящей от оси проводника на расстоянии r , найдем по теореме Гаусса Рис.6.1 Рис.6.2 §6. Квазистационарныетоки 115 r E π εε κ 2 0 = , (6.17) а плотность тока в листе – по закону Ома r E j 0 2 πεε κλ λ = = Уместно отметить, что полученный результат не зависит от формы и расположения подводящего ток проводника. Найдем полный ток, текущий через боковую поверхность цилиндра радиусом r , коаксиального с проводником a S d j I κ εε λ 0 = = ∫ Выразим из полученного соотношения κ и подставим его в (6.17), получим r a I E 1 2 ⋅ = πλ (6.18) В силу симметрии потенциал всех точек боковой поверхности выделенного цилиндра одинаков. Разность потенциалов между проводником, подводящим ток к листу, и этой поверхностью найдем, используя связь разности потенциалов с напряженностью поля 0 ln 2 2 0 0 r r a I r dr a I r d E r r r r πλ πλ ϕ = = = ∆ ∫ ∫ (6.19) Сопротивление R листа между проводником и цилиндром радиусом b с центром в точке прикрепления проводника находим по закону Ома: ( ) 0 ln 2 1 r b a I b r R πλ ϕ = = ∆ = §6. Квазистационарныетоки 116 Пример 6.9. К большому металлическому листу толщиной a приварены на расстоянии b друг от друга два цилиндрических проводника радиусом 0 r ( см. рис.6.3). Найдите сопротивление R между проводниками, если b r a << << 0 Считать, что удельная проводимость 1 λ проводников значительно больше удельной проводимости λ материала листа. Решение . Воспользуемся принципом суперпозиции и решением предыдущего примера. Напряж6.енность электрического поля, создаваемого внутри листа первым электродом, согласно (6.18) равна r a I E 1 2 1 ⋅ = πλ Так как ток, текущий через второй цилиндр, равен току, текущему через первый, но направлен в другую сторону, то на прямой, соединяющей центры электродов, напряженность, создаваемая вторым электродом - ( ) r b a I E − = πλ 2 2 Разность потенциалов между цилиндрами найдем, используя связь разности потенциалов с напряженностью поля ∫ − − = − + = − 0 0 0 0 2 1 ln 1 1 2 r b r r r b a I dr r b r a I πλ πλ ϕ ϕ Сравнивая с законом Ома в форме RI = − 2 1 ϕ ϕ , окончательно находим сопротивление ) 1 ln( 1 0 − = r b a R πλ Рис.6.3 §6. Квазистационарныетоки 117 Задание для самостоятельной работы 6.1. Два проводящих шара с радиусами 1 R и 2 R зарыты в землю на расстоянии, значительно превышающем их размеры. Между шарами создается (с помощью внешнего источника) разность потенциалов U . Найдите потенциалы шаров. 6.2. Найдите закон преломления линий тока на плоской границе раздела двух сред с проводимостями 1 λ и 2 λ 6.3. Заземление осуществляется с помощью идеально проводящего шара радиусом a , наполовину утопленного в землю (проводимость земли const = 1 λ ). Слой земли радиуса b , концентрический с шаром и прилегающий к нему, имеет искусственно повышенную проводимость 2 λ Найдите сопротивление R такого заземлителя. 6.4. Концы некоторой цепи заземлены с помощью двух идеально проводящих сфер (радиусы 1 a и 2 a ), наполовину утопленных в землю, служащую вторым проводом. Расстояние между сферами 2 1 , a a l >> , проводимость земли λ Найдите сопротивление R между заземлителями. 6.5. В одном коаксиальном кабеле пространство между внутренним проводом и наружной цилиндрической оболочкой заполнено изолятором с удельной проводимостью ( ) 1 13 1 10 − − ⋅ = м Ом λ , а в другом - с удельной проводимостью ( ) 1 14 2 10 − − ⋅ = м Ом λ Найдите отношение тепловых потерь в изоляции кабелей, если их геометрические параметры и поданные на них напряжения одинаковы? 6.6. Пространство между пластинами плоского конденсатора, который подсоединен к источнику ЭДС 0 ε , заполнено наполовину материалом с удельным сопротивлением 1 ρ Рис.6.4 §6. Квазистационарныетоки 118 ( см. рис.6.4), а наполовину - материалом с удельным сопротивлением 2 ρ ( 2 1 ρ ρ < ). Каковы будут тепловые мощности, выделяющиеся в каждом слое? Расстояние между пластинами конденсатора d , площадь пластин S . 6.7. В условии предыдущей задачи найдите плотность поверхностных свободных зарядов σ на границе между диэлектриками. 6.8. Два одинаковых проводящих шара с радиусами r погружены в однородную среду с проводимостью λ Чему равно сопротивление среды R между шарами? Считать, что расстояние между шарами намного больше их радиусов. 6.9. Решить предыдущую задачу в предположении, что шары заменены двумя телами с известными емкостями С 1 и С 2 , размеры которых много меньше расстояния d между ними. Диэлектрическая проницаемость среды, находящейся между телами, равна ε 6.10. Между двумя проводящими сферическими оболочками с радиусами 1 r и 3 r ( 3 1 r r < ) находятся два сферических слоя диэлектрика с проводимостями 1 λ и 2 λ и радиусами 2 1 , r r и 3 2 , r r соответственно. Определите тепловые мощности, выделяющиеся в каждом из слоев, если между проводящими оболочками поддерживается постоянная разность потенциалов U . 6.11. Между двумя проводящими цилиндрическими оболочками с радиусами 1 r и 3 r ( 3 1 r r < ) находятся два цилиндрических слоя диэлектрика с проводимостями 1 λ и 2 λ и радиусами 2 1 , r r и 3 2 , r r соответственно. Определите тепловые мощности в каждом из слоев, если между проводящими оболочками поддерживается постоянная разность потенциалов U . Высота цилиндров l §6. Квазистационарныетоки 119 6.12. Провод, по которому протекал ток силой I , оборвался и упал на землю, при этом на земле оказался прямолинейный кусок провода длиной L После падения провода ток в нем не изменился. Определите «шаговое напряжение », под которым окажется человек с длиной шага l , приближающийся к проводу в перпендикулярном направлении на значительном расстоянии от концов провода. Расстояние до ближайшей к проводу ноги человека равно 0 r . Найдите величину шагового напряжения при следующих значениях параметров: проводимость земли ( ) 1 4 10 2 − − ⋅ ⋅ = см Ом λ , м r 1 0 = , м l 75 , 0 = , м L 300 = , A I 500 = 6.13. К центрам противоположных торцов тонкостенной цилиндрической банки диаметром D и высотой l припаяны провода диаметром d ( см. рис.6.5). Определите сопротивление R банки, если она сделана из фольги толщиной d << δ с удельной проводимостью λ 6.14. К диаметрально противоположным точкам Аи В слабо проводящей однородной полой сферы подведены цилиндрические провода, между концами А и В которых поддерживается постоянная разность потенциалов U . Найдите распределение потенциала ϕ как функцию угла θ ( см. рис.6.6). Угол, под которым из центра сферы О виден диаметр основания каждого из проводов, равен 0 2 θ 6.15. В условии предыдущей задачи найдите сопротивление R сферы. Проводимость материала, из которого она изготовлена равна λ Толщина сферы δ Рис.6.5 Рис.6.6 §6. Квазистационарныетоки 120 6.16. На цилиндрический конденсатор с радиусами обкладок 1 R и 2 R подано напряжение 0 U . Конденсатор заполнен слабопроводящей средой с диэлектрической проницаемостью 1 = ε и удельной проводимостью 2 / r k = λ , где − k константа, а − r расстояние от оси конденсатора. Найдите распределение заряда и напряженности поля внутри конденсатора. 6.17. Пространство между двумя концентрическими сферами заполнено диэлектриком, проводимость которого зависит только от расстояния до сфер. Найдите закон изменения удельной проводимости ( ) r λ , если объемная плотность мощности тепловых потерь при прохождении тока одинакова во всех точках. 6.18. Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено диэлектриком, обладающим некоторой проводимостью. Найдите закон изменения удельной проводимости ( ) r λ , если при наличии некоторой разности потенциалов поле между цилиндрами везде одинаково. 6.19. По цилиндрическому стержню течет ток плотности j Удельная проводимость на участке АВ длиной l изменяется по линейному закону от 1 λ до 2 λ Найдите объемную плотность зарядов ρ на участке АВ. 6.20. Имеется n идеально проводящих тел в вакууме. Известно, что при зарядах n q q q ,..., , 2 1 их потенциалы равны n ϕ ϕ ϕ ,..., , 2 1 Какое количество теплоты N будет выделяться в единицу времени, когда пространство между рассматриваемыми телами будет заполнено однородной проводящей жидкостью с удельной проводимостью λ и диэлектрической проводимостью ε , если потенциалы тел поддерживаются при прежних значениях n ϕ ϕ ϕ ,..., , 2 1 ? §6. Квазистационарныетоки 121 6.21. Шаровой слой образован концентрическими сферами из идеального проводника, между которыми находится вещество с проводимостью λ. Какое количество тепла выделяется в единицу времени внутри этого слоя, если сферы подключены к источнику постоянного напряжения U 0 ? Внутренний радиус слоя равен R 1 , внешний – R 2 6.22. Заряженный цилиндрический конденсатор заполнен средой с проводимостью λ и диэлектрической проницаемостью ε. Длина конденсатора – l, радиусы обкладок – R 1 и R 2 >R 1 Найдите зависимость тока утечки от времени, если известно, что в момент t=0 разность потенциалов между обкладками равна U 0 6.23. Пластины плоского воздушного конденсатора, соединенного с источником постоянной ЭДС ε , медленно раздвигают с постоянной скоростью v. Как изменяется со временем сила тока в цепи? Площадь пластин конденсатора S, а расстояние между ними в момент времени 0 = t равно d 0 6.24. Конденсатор переменной емкости состоит из двух прямоугольных металлических пластин, расположенных на расстоянии d друг от друга, площадь перекрытия которых можно изменять по закону S= ∀ t 2 , перемещая одну из пластин. При этом зазор между пластинами остается неизменным. Конденсатор соединен с источником постоянной ЭДС ε Найдите ток в цепи. 6.25. К диаметрально противоположным точкам шара радиусом а, сделанного из плохо проводящего материала с удельным сопротивлением ρ, подключены цилиндрические подводящие провода радиусом r<<a. Найдите сопротивление шара. |