В. Нетребко, И. П
 Скачать 5.4 Mb.
|
|
§10. Законэлектромагнитнойиндукции. Краткие теоретические сведения Закон электромагнитной индукции.Одно из наиболее важных электромагнитных явлений – это явление электромагнитнойиндукции, которое заключается в том, что изменение магнитного потока (9.1), пронизывающего замкнутый проводящий контур, порождает в этом контуре электродвижущую силу, которая в этом случае называется ЭДС индукции. Закон электромагнитнойиндукции связывает эту ЭДС со скоростью изменения магнитного потока: dt d i Φ − = ε , (10.1) где ε i – ЭДС индукции в контуре, Φ – магнитный поток, пронизывающий его, а t – время. Отметим, что закон электромагнитной индукции (10.1) справедлив независимо от того, с чем связано изменение магнитного потока – с нестационарностью магнитного поля, с деформацией контура или изменением его положения или ориентации в пространстве. ЭДС индукции порождает в контуре индукционный ток, величина которого определяется законом Ома (6.9), а направление – правилом Ленца: индукционный ток всегда направлен так , что его действие противоположно действию причины , его порождающей. Иными словами, магнитное поле индукционного тока стремится поддержать значение магнитного потока через контур неизменным. Этому соответствует знак «минус» в правой части закона электромагнитной индукции (10.1). Если изменение магнитного потока через замкнутый проводящий контур связано с изменением силы тока в контуре и, как следствие, с изменением индукции магнитного поля, порождаемого этим током, то говорят о §10. Закон электромагнитной индукции 175 явлении самоиндукции. Выражение для ЭДС самоиндукции легко получить, подставив в закон электромагнитной индукции (10.1) магнитный поток, выраженный из (9.6): dt dI L si − = ε , (10.2) где ε si – ЭДС самоиндукции в контуре, L – его индуктивность, а I – сила тока в контуре. Закон электромагнитной индукции (10.1) имеет интегральный характер, т.е. описывает макроскопический объект – замкнутый проводящий контур. Воспользовавшись определением ЭДС (6.3), определением магнитного потока (9.1) и теоремой Стокса, нетрудно получить дифференциальную формулировку закона электромагнитной индукции: t B E ∂ ∂ − = rot , (10.3) где B – индукция нестационарного магнитного поля, а E – напряженность электрического поля, порождаемого этим магнитным полем. Это не что иное, как второеуравнениеМаксвелла. Оно справедливо в любой точке пространства и количественно описывает тот факт, что переменноемагнитноемоле порождаетвихревоеэлектрическоеполе. Если вихревое электрическое поле существует в объеме проводника, то оно порождает в нем токи, циркулирующие вдоль силовых линий электрического поля. Эти токи называют вихревымитоками, или токами Фуко. Пример 10.1. Самолет летит с постоянной скоростью v=900 км/ч над Северным магнитным полюсом Земли. Оцените разность потенциалов, возникающую между концами его крыльев, если размах крыльев составляет L=40 м, а индукция магнитного поля Земли – B=6 ⋅10 -5 Тл. §10. Законэлектромагнитнойиндукции 176 Решение . Причиной возникновения разности потенциалов между концами крыльев самолета является сила Лоренца, перемещающая заряды в его проводящих элементах. На каждый свободный заряд q действует сила [ ] B v q F Л = (10.4) Над магнитным полюсом линии магнитной индукции «выходят из Земли» практически вертикально, а самолет летит горизонтально, поэтому сила Лоренца направлена вдоль крыльев. При этом положительные заряды смещаются к концу правого крыла, а отрицательные – к концу левого. Разделенные силой Лоренца заряды создают электрическое поле, направленное от правого крыла к левому. Пусть напряженность этого поля равна E . Тогда оно действует на свободный заряд q с силой E q F э = (10.5) Перераспределение зарядов в крыльях прекратится тогда, когда эта сила точно уравновесит силу Лоренца, т.е. когда Л э F F − = Из этого условия, с учетом (10.4) и (10.5), найдем напряженность электрического поля: [ ] [ ] v B B v E = − = Отсюда найдем искомую разность потенциалов при помощи формулы (2.3), связывающей потенциал и напряженность электростатического поля: ∫ ∫ ∫ = = = = − = ∆ 2 1 2 1 2 1 2 1 Bvl dl Bv Edl l d E U U U Здесь учтено, что интегрирование ведется вдоль силовых линий электрического поля, т.е. от края правого крыла (точка «1») до края левого (точка «2»). При этом векторы E и l d параллельны. Таким образом, за счет действия магнитного поля Земли правое крыло самолета приобретает положительный §10. Законэлектромагнитнойиндукции 177 потенциал относительно левого. Подставив в полученный ответ численные данные из условия задачи, получим В U 6 , 0 = ∆ Пример 10.2. Бесконечный прямой провод и квадратная рамка со стороной a и полным сопротивлением R расположены в одной плоскости так, что провод проходит параллельно одной из сторон рамки на расстоянии d от нее. Сила тока в проводе изменятся по закону const , ) ( 3 1 = = α α t t I Найдите зависимость силы тока в рамке от времени Решение . Для решения этой задачи мы должны воспользоваться законом электромагнитной индукции (10.1). Сначала найдем магнитный поток через рамку , создаваемый током , протекающим по проводу В соответствии с (7.5), индукция магнитного поля , создаваемого этим током в плоскости рамки , равна n 2 ) ( ) , ( B 1 0 r r x t I t x π µ = , (10.6) где n – единичный вектор нормали к плоскости рамки (см. рис.10.1), а x – расстояние от провода до точки, где рассматривается индукция магнитного поля. Магнитный поток через рамку найдем непосредственно из его определения (9.1) (см. Рис.10.1) ∫ ∫ ∫ ∫ + = = = Φ a d d a S S dx B dy dS B 0 S d B r Здесь учтено, что поле B направлено вдоль нормали к площадке S d Подставляя в выражение для потока выражение (10.6), получаем Рис.10.1 §10. Законэлектромагнитнойиндукции 178 ( ) d a a I d a d a I dx x I a dx B dy a d d a d d a + = + = = = Φ ∫ ∫ ∫ + + 1 ln 2 ln 2 2 1 0 1 0 1 0 0 π µ π µ π µ Для нахождения ЭДС индукции осталось подставить сюда выражение для силы тока в проводе и продифференцировать его по времени: ( ) ( ) ( ) d a t a t d a a dt dI d a a dt d i + − = ⋅ + − = + − = Φ − = 1 ln 2 3 3 1 ln 2 1 ln 2 2 0 2 0 1 0 π α µ α π µ π µ ε Согласно закону Ома для замкнутого контура (6.9), сила индукционного тока , протекающего в рамке равна отношению ЭДС индукции к сопротивлению рамки : ( ) d a R t a R I i + − = = 1 ln 2 3 2 0 2 π α µ ε Отрицательное значение полученной силы тока говорит о том , что он течет против положительного направления обхода рамки , определяемого правилом буравчика относительно вектора нормали n . Пример 10.3. Соленоид имеет N=500 витков и обладает сопротивлением R=5 Ом Площадь поперечного сечения соленоида равна S=10 см 2 Концы соленоида замыкают и вносят его в однородное магнитное поле c индукцией B=10 мТл , силовые линии которого направлены под углом α=60° к оси соленоида Найдите заряд , протекший через обмотку соленоида Решение . Запишем закон электромагнитной индукции : dt d i Φ − = ε , §10. Закон электромагнитной индукции 179 где i ε – ЭДС индукции в соленоиде , а Φ – магнитный поток , пронизывающий его в момент времени t. Поскольку концы соленоида замкнуты , можем найти силу индукционного тока I из закона Ома для замкнутого контура (6.9): dt d R R I i Φ − = = 1 ε (10.7) Индукционный ток связан с зарядом q, протекшим к моменту времени t через произвольное сечение проволоки соленоида , очевидным соотношением : dt dq I = (10.8) Приравнивая правые части выражений (10.7) и (10.8) и интегрируя полученное уравнение по времени , получаем : ( ) ( ) ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 2 1 1 2 1 2 t t R t t R t q t q Φ − Φ = Φ − Φ − = − , где t 1 и t 2 – произвольные моменты времени Выберем их так , чтобы момент t 1 предшествовал внесению соленоида в магнитное поле , а момент t 2 соответствовал ситуации , когда индукционный ток уже перестал течь Тогда q(t 1 )=0, а q(t 2 ) – не что иное как искомый полный заряд ( обозначим его Q), а последнее выражение перепишется в виде ( ) кон нач 1 Φ − Φ = R Q , (10.9) где ( ) 1 нач t Φ = Φ и ( ) 2 кон t Φ = Φ – магнитные потоки через соленоид , соответственно , до и после его внесения в магнитное поле Очевидно , начальный магнитный поток нач Φ равен нулю , а конечный поток кон Φ найдем из формулы (9.3) §10. Закон электромагнитной индукции 180 α cos B кон ∫ ∫ = = Φ i i S S dS B N S d N Так как поле однородно , то индукцию можно вынести за знак интеграла , получим α α cos cos кон S NB ds NB i S ∫ = = Φ Подставляя магнитные потоки в выражение (10.9), находим искомый заряд : R S NB Q α cos − = Отрицательная величина найденного заряда означает , что индукционный ток течет против положительного направления обхода соленоида , т е такого направления обхода , при котором магнитное поле , создаваемое индукционным током , было бы направлено « в сторону » внешнего магнитного поля Это находится в полном соответствии с правилом Ленца : индукционный ток « пытается препятствовать » увеличению магнитного потока через соленоид Подставив в полученный ответ численные данные из условия задачи , получим − = Q 0,5 мКл §10. Закон электромагнитной индукции 181 Пример 10.4. Квадратная рамка со стороной a движется с постоянной скоростью v в направлении , перпендикулярном бесконечному прямому проводу ( см рис .10.2). По проводу течет ток силы I. В начальный момент времени t=0 рамка лежала в одной плоскости с проводом , а расстояние между проводом и ближайшей к нему стороной рамки равнялось d. Найдите зависимость ЭДС , индуцируемой в рамке , от времени , при условии , что a>>d, а рамка не успела удалиться от провода настолько , чтобы расстояние от провода до ближайшей стороны рамки стало бы сравнимо с a. Решение . Рассмотрим некоторое мгновенное положение рамки , определяемое расстоянием h между плоскостью рамки и параллельной ей плоскостью xy, проходящей через провод ( см рис .10.3). Индукция B магнитного поля , создаваемого проводом в точке M, лежащей в плоскости контура и задаваемой углом α, также обозначенным на рисунке , направлена ортогонально перпендикуляру , опущенному из точки М на провод , а ее величина определяется формулой (7.5): ( ) h I h I B π α µ α π µ 2 sin sin 2 0 0 = = Подсчитаем магнитный поток , пронизывающий рамку : Рис.10.2 Рис.10.3 §10. Закон электромагнитной индукции 182 α cos ∫ ∫ = = Φ S S dS B S d B , где S – плоская поверхность , ограниченная рамкой , S d – элемент этой поверхности ( см рис .). Учтем , что adx dS = , где x – расстояние от точки М до левого края рамки , обозначенного как точка A ( соответственно , точка C – это правый край рамки ), равное d hctg x − = α , получим ∫ − = Φ 2 1 0 2 α α π µ d ctg Ia Вычислим определенный интеграл : ( ) [ ] ( ) + + + = = Φ 2 2 2 2 0 A C 0 ln 4 sin ln 2 d h a d h Ia Ia π µ α π µ Учтем далее , что a d << и a h << , получим + ≈ Φ 2 2 2 0 ln 4 d h a Ia π µ Теперь воспользуемся законом электромагнитной индукции и учтем , что скорость рамки dt dh v = : 2 2 4 ln 4 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 0 d t v t v Ia dt dh a h d h a Ia a d h dt d Ia dt d i + = + = + ≈ Φ − = π µ π µ π µ ε Из найденной зависимости видно , что в начале движения рамки ЭДС нарастает со временем практически линейно , после чего скорость роста постепенно замедляется , ЭДС достигает максимума , и при дальнейшем движении рамки уже уменьшается §10. Закон электромагнитной индукции 183 Пример 10.5. Вблизи центра длинного соленоида , содержащего n 0 витков на единицу длины , внутри него помещена плоская рамка , по которой течет ток , сила которого изменяется по закону t I ω cos 0 Площадь рамки равна s, а ее плоскость перпендикулярна оси соленоида Найдите ЭДС , индуцируемую в соленоиде Решение . Согласно определению коэффициента взаимной индукции (9.4), магнитный поток , пронизывающий соленоид , равен t I L I L ω cos 0 12 1 12 2 = = Φ , где индекс «1» соответствует характеристикам рамки , а индекс «2» – характеристикам соленоида Закон электромагнитной индукции (10.1) позволяет выразить искомую ЭДС : t I L dt d i ω ω ε sin 0 12 2 = Φ − = (10.10) Неизвестным пока остается коэффициент L 12 взаимной индукции между рамкой и соленоидом Найдем его , воспользовавшись симметрией коэффициентов взаимной индукции (9.5) и его определением (9.4): 2 1 21 12 I L L Φ = = (10.11) Таким образом , для нахождения коэффициента взаимной индукции необходимо задать некоторое значение силы тока I 2 =const в соленоиде и подсчитать соответствующее значение магнитного потока Φ 1 через рамку ( без учета магнитного поля самой рамки ). Согласно (7.22), магнитное поле в соленоиде , по которому протекает постоянный ток , является стационарным и однородным , а его индукция равна n I n B 2 0 0 µ = , §10. Закон электромагнитной индукции 184 где n – единичный вектор , направленный вдоль оси соленоида в соответствии с правилом буравчика Отсюда , принимая во внимание ориентацию рамки внутри соленоида , находим магнитный поток через рамку : ∫ ∫ = = = = Φ S S S I n BS BdS S d B 2 0 0 1 µ , где S – плоская поверхность , ограниченная рамкой , а S d – вектор нормали к плоскости рамки Подставим последнее выражение в (10.11) и найдем коэффициент взаимной индукции L 12 : S n L 0 0 12 µ = Чтобы получить окончательный ответ задачи , осталось подставить это выражение в (10.10): t I s n i ω ω µ ε sin 0 0 0 = Заметим , что без привлечения свойства симметрии коэффициентов взаимной индукции мы бы столкнулись с существенными трудностями при попытке рассчитать магнитный поток через соленоид Φ 2 , создаваемый неоднородным магнитным полем рамки с током Пример 10.6. В постоянном однородном магнитном поле , индукция которого равна B , находится круглое , недеформируемое , тонкое кольцо радиусом R, сделанное из сверхпроводника В начальный момент плоскость кольца параллельна B и тока в кольце нет Найдите силу тока в кольце сразу после того , как оно было повернуто так , что Рис.10.4 §10. Закон электромагнитной индукции 185 плоскость кольца стала перпендикулярна B ( рис .10.4). Индуктивность кольца равна L. Решение . При повороте кольца в магнитном поле изменяется магнитный поток , пронизывающий кольцо , и , следовательно , по кольцу начинает течь индукционный ток , создающий дополнительное магнитное поле Полный магнитный поток через кольцо складывается из потока Φ внеш , связанного с внешним магнитным полем , и потока Φ собств , связанного с магнитным полем индукционного тока : собств внеш Φ + Φ = Φ (10.12) По закону электромагнитной индукции найдем ЭДС , действующую в кольце : dt d dt d dt d i собств внеш Φ − Φ − = Φ − = ε (10.13) Теперь применим к кольцу закон Ома для замкнутого контура (6.9), принимая во внимание , что сопротивление сверхпроводника равно нулю : i J ε = ⋅ 0 или 0 = i ε Из последнего выражения и (10.13) следует, что полный магнитный поток через кольцо изменяться не может, т.е. каким он был в исходном состоянии, таким он и останется после поворота кольца. Начальный магнитный поток равен нулю, поскольку индукционного тока нет, а плоскость кольца ориентирована параллельно силовым линиям внешнего магнитного поля. Следовательно, нулю должен быть равен и магнитный поток через кольцо после его поворота. Выразим этот поток через параметры задачи, принимая во внимание (10.12): LI R B LI Bs + = + = Φ 2 π , где 2 R s π = − площадь кольца. Осталось приравнять этот поток к нулю и выразить из полученного равенства искомую силу индукционного тока: §10. Закон электромагнитной индукции 186 L B R I 2 π − = (10.14) Отрицательное значение найденной силы тока означает, что ток течет против выбранного направления обхода кольца (так, как показано на рисунке). Пример 10.7. Внутри длинного соленоида, содержащего n =1000 витков на метр длины, помещен стержень длиной l =10 см и сечением s=10 см 2 , изготовленный из материала с магнитной проницаемостью µ =1000. Сила тока в обмотке I =10 А. Какую работу надо затратить, чтобы вытащить стержень из соленоида? Решение . Работа внешней силы, затраченная на извлечение стержня расходуется как на изменение энергии магнитного поля, так и на совершение дополнительной работы в цепи протекания тока. Обе эти величины удобно выразить через изменение магнитного потока в соленоиде. При вытаскивании стержня в обмотке возникает Э.Д.С. индукции ε i , которая стремится изменить протекающий по соленоиду ток. Поддерживая постоянную силу тока I в цепи, источник совершает дополнительную работу ( положительную или отрицательную), равную работе Э.Д.С. индукции: ∆A = ∫ Iε i dt = −I∆Φ, (10.15) где ∆Φ – изменение магнитного потока через соленоид, произошедшее вследствие вытаскивания стержня. С другой стороны, изменение энергии поля в катушке, согласно (9.7) будет ∆W = ½ I∆Φ, (10.16) поэтому работа по вытаскиванию стержня, которая затрачивается как на совершение внешней работы, так и на изменение энергии магнитного поля, будет A = ∆A+∆W = − ½ I∆Φ. (10.17) §10. Закон электромагнитной индукции 187 Здесь следует помнить, что изменение потока ∆Φ в нашем случае отрицательно. Осталось вычислить изменение потока. Будем считать, что стержень находился целиком в области однородного поля. Тогда внутри стержня B = µµ 0 nI , а число витков, сцепленных со стержнем ∆N = nl При удалении стержня создаваемая им часть потока Bs ∆N = µµ 0 n 2 Ils заменится на µ 0 n 2 Ils , поэтому ∆Φ = −µ 0 ( µ− 1 ) n 2 Ils Окончательно A = ½ µ 0 ( µ−1) n 2 I 2 ls (10.18) Заметим, что энергия магнитного поля при удалении стержня уменьшается. Работа по удалению стержня пропорциональна его объему. Подставив в полученный ответ численные данные из условия задачи, получим А ≈6,3 Дж. Задание для самостоятельной работы 10.1. Две параллельных невесомых непроводящих нити, закрепленные в верхних точках, и тонкая проводящая палочка длины d образуют «качели», способные качаться в однородном постоянном магнитном поле, линии индукции которого горизонтальны и перпендикулярны отрезку, соединяющему точки подвеса нитей (см. рис.10.5). Длина каждой нити – l , индукция магнитного поля – B , а начальный угол отклонения качелей – α 0 ( качели отпускают из этого положения в момент t =0 без начальной скорости). Найдите Рис.10.5 §10. Закон электромагнитной индукции 188 зависимость от времени разности потенциалов между концами палочки. Указание: угол α 0 считать достаточно малым для того, чтобы можно было пользоваться приближением 0 0 sin α α ≈ 10.2. Тонкая квадратная проводящая пластина движется с постоянной скоростью v =10 м/с в постоянном магнитном поле с индукцией B =10 мТл, причем вектора v и B параллельны плоскости пластины и перпендикулярны друг другу. Найдите поверхностную плотность заряда на пластине, возникшую вследствие ее движения. 10.3. N одинаковых катушек с индуктивностью L соединены параллельно (рис.10.6). Определите эффективную индуктивность такой системы катушек. 10.4.Бесконечный прямой провод и замкнутый контур в виде равнобедренного прямоугольного треугольника с высотой h =17 см и полным сопротивлением R= 0,7 Ом расположены в одной плоскости так, что провод проходит параллельно гипотенузе рамки на расстоянии d =10 см от вершины прямого угла. Сила тока в проводе изменятся по закону ( ) 2 0 1 ) ( τ t e I t I − = , где I 0 =100 А , а τ=1 мс Чему равно максимальное значение индукционного тока в контуре ? 10.5. Замкнутая проволочная прямоугольная рамка со сторонами a=20 см и b=17 см расположена в одной плоскости с бесконечным прямым проводом с током I=10 А так , что сторона a параллельна проводу Сопротивление рамки – R=0,8 Ом , а расстояние между проводом и ближайшей к нему стороной рамки – Рис.10.6 §10. Закон электромагнитной индукции 189 c=10 см Рамку поворачивают на 180 ° вокруг ее оси симметрии , параллельной стороне a. Найдите заряд , протекший через сечение проволоки в рамке 10.6. Замкнутая проволочная прямоугольная рамка со сторонами a=19 см и b=11 см расположена в одной плоскости с бесконечным прямым проводом с током I=10 А так , что сторона b параллельна проводу Расстояние между проводом и ближайшей к нему стороной рамки – c=21 см Рамку поворачивают на 180 ° вокруг стороны b, ближайшей к проводу Найдите заряд , протекший через сечение проволоки в рамке , если сечение проволоки рамки равно s=1 мм 2 , а ее проводимость – λ=6⋅10 7 ( Ом ⋅ м ) -1 10.7. Проводящий контур в форме квадрата находится в постоянном однородном магнитном поле Сторона квадрата равна a, а вектор индукции поля B перпендикулярен плоскости контура Контур деформируют так , что его длина не изменяется После деформации контур становится круглым , но положение плоскости контура остается неизменным Считая , что сопротивление контура , R, не изменилось , найдите заряд , протекший в контуре 10.8. Прямоугольная рамка со сторонами a и b движется с постоянной скоростью v в направлении , перпендикулярном бесконечному прямому проводу , лежащему в плоскости рамки параллельно стороне b ( удаляется от провода ). По проводу течет ток силы I. В начальный момент времени t=0 расстояние между проводом и ближайшей к нему стороной рамки равнялось c. Найдите зависимость от времени ЭДС , индуцируемой в рамке 10.9. Прямоугольная проводящая рамка со сторонами a и b вращается вокруг своей оси симметрии , параллельной стороне a, в постоянном однородном магнитном поле с индукцией B . Угловая скорость вращения рамки постоянна и равна ω. Вектор B перпендикулярен оси вращения , а в момент времени t=0 §10. Закон электромагнитной индукции 190 перпендикулярен и плоскости рамки Найдите ЭДС индукции , возникающую в рамке 10.10. Прямоугольная проводящая рамка со сторонами a и b равномерно вращается с угловой скоростью ω вокруг своей оси симметрии , параллельной стороне a, в однородном переменном магнитном поле , индукция которого изменяется по гармоническому закону с угловой частотой Ω. Вектор магнитной индукции B перпендикулярен оси вращения рамки , а в момент времени t=0 перпендикулярен плоскости рамки и равен по величине своему амплитудному значению B 0 Найдите ЭДС индукции , возникающую в рамке 10.11. Прямоугольная проводящая рамка со сторонами a и b вращается вокруг своей оси симметрии , параллельной стороне a, в постоянном однородном магнитном поле с индукцией B . Угловая скорость вращения рамки постепенно нарастает по закону − = − t e δ ω ω 1 0 Вектор B перпендикулярен оси вращения , а в момент времени t=0 перпендикулярен и плоскости рамки Найдите ЭДС индукции , действующую в рамке в момент , когда ее скорость достигает половины своего максимального значения 10.12. Снаружи длинного соленоида с площадью витка S, обтекаемого током I и имеющего n витков на единицу длины , помещен охватывающий его виток провода с сопротивлением R. Какой заряд протечет в этом витке , если прервать ток в соленоиде ? 10.13. Трансформатор содержит две обмотки , намотанные на общий замкнутый сердечник из ферромагнитного материала Сопротивления обмоток и их индуктивности равны , соответственно , R 1,2 и L 1,2 Вторичную обмотку замкнули накоротко , а к первичной подключили источник постоянного тока с Э Д С ε и §10. Закон электромагнитной индукции 191 малым внутренним сопротивлением Найдите заряд , протекший по вторичной обмотке после подключения источника 10.14. Катушка с индуктивностью L и сопротивлением R подсоединена к источнику питания с регулируемой ЭДС Как следует изменять ЭДС источника , чтобы ток через катушку изменялся по закону τ t e I t I − = 0 ) ( |