В. Нетребко, И. П

• Название: В. Нетребко, И. П
• Дата: 08.02.2022
• Размер: 5.4 Mb.
• Имя файла: electrodynamics.pdf
• Тип: Учебно-методическое пособие; #355226
• страница: 17 из 18

12.4.
(
)
(
)
B
R
R
R
R
J
J
R
J
R
B
R
R
R
R
J
J
R
J
R
12
;
15 13 23 12 13 2
1 12 2
23 3
2 13 23 12 23 2
1 12 1
13 3
1
=
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
12.5.
R
общ
=Rr(3R+r)/(R
2
+6Rr+r
2
).
12.6.
0
=
AB
ϕ
12.7.
A
I
A
I
A
I
A
I
A
I
A
I
r
r
E
E
E
E
2
,
4
,
3
,
1
,
5
,
10 2
5 4
3 2
1
=
=
=
=
=
=
.
12.8.
(
)
(
)
A
r
r
R
r
r
r
r
r
r
E
r
r
E
r
E
r
I
2 2
1 3
1 3
2 2
1 3
2 1
2 1
1 2
=
+
+
+
+
+
+
+
=

§15.
Ответы
306
12.9.
4 3
2 1
4 1
1 2
1 2
2 4
3 2
1 3
2 1
2 1
2 1
1 1
1 1
1 1
1
,
,
1 1
1 1
1 1
1 1
R
R
R
R
R
R
E
R
R
E
E
R
R
R
R
R
R
E
R
R
E
C
B
A
+
+
+






+
−






+
=
=
+
+
+






+
+






+
=
ϕ
ϕ
ϕ
12.10.
2 1
2 1
1 2
1 2
2 2
1 2
1 2
`
2
,
r
r
r
r
E
r
r
r
E
E
r
r
r
r
r
r
r
экв экв
+
−
+
+
=
+
+
+
=
12.11.
I
AB
=
(
)
(
)
A
r
R
r
rE
E
E
E
R
3 3
3 1
3 2
1
=
+
+
+
−
12.12.
Е
2
= 7
В, Е
3
может иметь любое значение
12.13.
( )
(
)
[
]
t
t
t
R
E
t
I
R
ω
ω
ω
δ
δ
ω
cos sin exp
−
−
=
, где
2 2
4 1
1
,
2 1
C
R
CL
RC
−
=
=
ω
δ
12.14.
3
/
E
U
C
=
12.15.
( )
CE
R
R
R
Q
2 1
2
+
=
∞
12.16.
( ) (
)






−
−
=
t
L
R
E
E
t
U
L
exp
1 2
12.17.
( )
( )
















−
+
+








−






−
=
















−
−














−
=
t
RC
t
RC
t
RC
E
t
U
t
RC
t
RC
t
RC
E
t
U
2 5
exp
2 1
5 2
5
exp
2 1
5 2
3
exp
5 2
5
exp
2 5
exp
2 3
exp
5 2
1
12.18.
( )






















+
−
−
+
=
t
R
R
C
E
R
R
R
t
U
2 1
2 1
2 1
1 1
exp
1

§15.
Ответы
307
12.19..
RC
RC
86
,
0 2
5 3
ln
5 2
≈
+
=
τ
12.20.
( )






−
=
rC
t
E
t
U
C
exp
12.21.
( )






−
=
t
L
R
E
t
U
L
exp
3 2
12.22.
C
L
R
2
<
.
12.23.
)
( rC
arctg
ω
α
=
12.24.
( )












−
−






−
−
=
t
L
R
t
L
R
R
E
t
I
4
exp exp
2 3
6
12.25.
( )
(
)
(
)
















−
+








−
+






−
−
=
t
RC
t
RC
t
RC
E
E
t
U
2 2
exp
2 2
2 2
exp
2 2
3
exp
4
12.26. а)
( )






−
=
RC
t
E
t
U
3
exp
2
, б)
( )
0
=
t
U
12.27.
6
ln
5 6
RC
t
=
12.28.
( )












−
−






−
=
t
RC
RC
t
R
E
t
I
7 11
exp
7 3
exp
4
12.29.
( )
















+
−
−








+






+
−
+
=
t
L
R
r
t
L
R
r
t
L
R
r
R
r
E
t
I
2 4
exp
2 4
exp
2 2
exp
4 2
2 2
2 2
2
12.30.
( )












−
+
−
=
t
L
R
R
R
R
R
E
t
I
2 2
1 1
2
exp
1

§15.
Ответы
308
12.31.
(
)
(
)






+
+
+
+
=
2 1
2 2
1 2
2 1
0 1
cos
1
C
C
R
arctg
t
C
C
R
C
E
I
R
ω
ω
ω
ω
,
(
)
(
)






+
+
+
+
+
=
1 2
1 2
2 2
1 2
2 2
2 2
2 1
0
cos
1 1
1
C
C
C
RC
arctg
t
C
C
R
C
R
C
E
I
C
ω
ω
ω
ω
ω
12.32. 1)
r
LC
1
=
ω
любое, 2)
ω
C
L
r
=
любая.
12.33.
(
)
(
)
2 2
2 2
0
/
1
/
1
C
L
R
C
L
R
U
V
ω
ω
ω
ω
−
+
+
+
=
12.34.
0
=
W
12.35.
2 2
2 2
2 2
2 0
2 2
2
,
1
L
R
L
R
R
U
W
L
C
ω
ω
ω
+
+
⋅
=
=
12.36.
(
)
(
)
LC
R
C
R
L
arctg
2 2
1
ω
ω
ϕ
+
−
=
12.37.
(
)
(
)
C
R
L
LC
R
arctg
2 2
1
−
+
=
ω
ω
ϕ
12.38.
1 2
2 2
2
−
=
C
r
rC
arctg
ω
ω
ϕ
12.39.
ϕ
π
ψ
−
=
12.40.
(
)
2 2
0 2
2 3
2 0
2 0
3 2
0 1
,
,






+
=
+
=
+
=
L
L
L
C
C
L
L
L
L
L
L
L
L

§15.
Ответы
309
12.41.






−
=
L
rt
I
I
exp
0
, где
(
)
(
)
ϕ
ψ
ω
−
+
+
=
sin
2 2
2 0
0
L
r
r
E
I
,
0
r
r
L
arctg
+
=
ω
ϕ
12.42.
(
)
(
)
L
C
r
LC
r
arctg
+
−
=
2 2
1
ω
ω
ϕ
,
12.43.
n
n
arctg
2 1
max
−
=
ϕ
при
n
L
r
=
ω
12.44.
r
L
arctg
ω
ϕ
2
=
45.
C
L
C
L
L
C
U
W
ω
ω
ω
ω
1 1
8 2
2 0
−






+
=
при
LC
L
R
2 1
2
ω
ω
−
=
12.46.
(
)
(
)
(
)




+
+
+
+
=
2 2
1 2
2 1
2 2
2 1
2 2
1 2
0
C
R
R
R
R
C
R
R
R
R
E
W
ω
ω
12.47.
(
)
1 2
3 6
2 2
2 2
2
+
−
−
=
LC
RC
C
R
LC
tg
ω
ω
ω
ω
ϕ
12.48.
( )
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
t
L
L
L
L
R
R
C
I
t
C
L
R
C
L
R
I
t
E
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
sin cos
1 1
2 1
2 1
2 2
1 0
1 2
2 2
2 1
0
+
+
−
−
−
+
−
=
12.49.
RC
arctg
ω
ϕ
−
=

§15.
Ответы
310
§13.
Электромагнитные волны
13.1.
)
cos(
sin
4
)
,
,
(
2 0
2 0
kr
t
r
c
x
q
t
r
E
−
−
=
⊥
ω
θ
πε
ω
θ
13.2.
2 2
0 0
0 2
R
H
c
P
µ
π
=
13.3.
2 0
0 0
2 4
E
c
a
P
ε
π
=
13.4. (1)
(
)
[
]
t
E
t
E
t
x
⋅
−
+
−
=
ϕ
ω
α
ϕ
ω
ϕ
ω
α
sin cos cos
)
(
0 2
0
, где
α=–1,76⋅10 11
Кл/кг – удельный заряд электрона;
(2)
α
ω
0 0
c
E
<<

10
-3
(В
⋅с)/м
13.5.






+
=
0 0
0 2
sin sin
4
)
(
ϕ
λ
π
λ
π
ε
t
c
a
aE
t
i
, где
ϕ
0
– начальная фаза волны относительно рамки.
13.6.
(
)
(
)
2 2
1 1
2 0
tg tg






+
−
=
θ
θ
θ
θ
I
I
R
,
(
)
(
)
2 1
2 2
1 2
2 2
1 2
1 2
0
sin cos sin cos
4
θ
θ
θ
θ
θ
θ
+
−
=
n
n
I
I
T
, где






=
1 2
1 2
sin arcsin
θ
θ
n
n

§15.
Ответы
311
§14.
Задачи повышенной трудности
14.1.
4 2
/
5 0
2 3
4
mR
Qp
πε
ω
=
14.2.
m
k
2 2
=
ω
14.3.
(
)
d
V
R
M
4 1
2 2
0
ε
ε
−
=
14.4.
кВ
l
Mgd
V
75
,
4 2
0
=
=
ε
14.5.
0 0
2
ρ
ε
π
p
dm
T
=
14.6.






+
=
2 16 2
0
Q
q
R
Q
F
πε
14.7.
1 2
1 2
1 2
1 2h
H
H
h
H
H
a
−
+
−
=
,
mg
a
q
0 4
πε
=
14.8.
2 2
0
n
I
p
µ
=
14.9.
2 0
kr
B
ω
µ
=
14.10.
(
)
Гн
I
Fl
L
3 2
10 1
2
−
=
−
=
µ
14.11.
(
)
(
)
2 1
2 2
2 1
2 1
2 2
2 2






+
+
+
+
+
+






=
l
a
h
R
a
l
h
R
F
F
µ
π
µ
µ
µ
µ
14.12.
( ) (
)
( )
q
q
R
r
B
v
r
E
R
r
B
evR
q
r
n






=






+
=
−
0 1
0 0
1
;
1
µ
, где
m
eU
v
2
=
-- скорость электронов.

§15.
Ответы
312
14.13.
0 3
2 2
6
ε
ρ
π
l
R
W
=
14.14.
м
d
v
ρ
ε
ρ
0 0
3 2
=
14.15.
)
1
(
3
)
2
(
2 2
0
−
+
=
ε
ε
ρ
ρ
π
м
T
14.16 .






−
=
R
R
R
Q
F
1 2
0 2
2 1
16
πε
,
R
R
2 1
1
=
.
14.17.
4 2
0 2
0 2
32 2
R
Q
p
π
ε
ε
σ
=
=
14.18.
1 2
1 2
1 2
1 2h
H
H
h
H
H
a
−
+
−
=
14.19.






+
=
L
l
J
H
N
L
I
нас нас
0
,






−
+
=
L
l
I
L
NI
B
нас
1 0
0
µ
µ
14.20.
R
I
B
2 0
0
µ
=
, направлено перпендикулярно плоскости тора. С шариком появляется дополнительная составляющая , лежащая в плоскости тора
3 0
0 1






=
R
r
R
IN
B
π
µ
14.21.
Гн
h
R
L
12 3
4 0
10 5
,
2 16
−
⋅
−
=
−
=
∆
π
µ
14.22.
( )
( )












−
−
=
t
mR
Bl
e
Bl
mgR
t
v
2 2
1
)
(

§15.
Ответы
313
14.23.
(
)
mL
Bl
t
g
t
x
=
−
=
ω
ω
ω
,
cos
1
)
(
2
14.24.
2 1
2 3
2 0
+
−
=
∆
µ
µ
µ
Vn
L
14.25.
Гн
h
R
L
12 3
4 0
10 2
,
1 32
−
⋅
−
=
−
=
∆
π
µ
14.26.
( )
t
Rl
a
p
t
I
m
ω
ω
µ
sin
2 3
2 0
=

Приложение
314
Формулывекторногоанализа.
В данном пособии приняты следующие обозначения: скалярное произведение
(
)
a b
r r
,
( , )
a b
r r
, a b
r r
; векторное произведение a b




r r
,
,
a b




r r
Во всех формулах
,
,
a b c
−
r r
r векторные функции координат,
p
−
r постоянный вектор, ,
ϕ ψ − скалярные функции координат.
1. Смешанное произведение:
(
)
[
]
(
) (
)
,[ , ]
,
,
,[ , ]
a b c
b c a
c a b
=
=
r r
r r
r r r r
r
Двойное векторное произведение: [ ,[ , ]]
( , )
( , )
a b c
b
a c
c
a b
= ⋅
− ⋅
r r
r r
r r r r
r
Дифференциалы:
( ) (
) (
)
,
,
,
d a b
da b
a db
=
+
r r
r r
r r
; [ , ]
[
, ] [ ,
]
d a b
da b
a db
=
+
r r
r r
r r
2. Оператор Гамильтона (оператор “набла”):
i
j
k
x
y
z
∂
∂
∂
∇ =
+
+
∂
∂
∂
r r
r r
(
)
,
x
y
z
a
a
a
a
x
y
z
∂
∂
∂
∇ ≡
+
+
∂
∂
∂
r r
;
grad
ϕ
ϕ
∇ =
r
;
(
)
,
div a
a
= ∇
r r
r
;
,
rot a
a


= ∇


r r
r