Анализ данных. Вариационные ряды и их характеристики

• Название: Вариационные ряды и их характеристики
• Анкор: Анализ данных.doc
• Дата: 29.09.2017
• Размер: 1.25 Mb.
• Имя файла: Анализ данных.doc
• Тип: Документы; #9082
• страница: 4 из 11

Проверка гипотез о точечном значении параметра
(сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной генеральной совокупности)
1. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объемаn= 21 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия = 16,2. Требуется, при уровне значимости 0,01, проверить нулевую гипотезуH₀: 15 приняв в качестве конкурирующей гипотезы H₁: > 15.
2. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объемаn= 17 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия = 0,24. Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезуH₀: 0,18 приняв в качестве конкурирующей гипотезы H₁: > 0,18.
3. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объемаn= 31:

варианты x_i10,1 10,3 10,6 11,2 11,5 11,8 12,0

частоты n_i1 3 7 10 6 3 1

Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезуH₀: 0,18 приняв в качестве конкурирующей гипотезы H₁: > 0,18.
4. Точность работы станка-автомата поверяется по дисперсии контролируемого размера изделий, которая не должна превышать 0,1. Взята проба из случайно отобранных изделий, получены следующие результаты измерений:

контролируемый размер изделий пробы	xi	3,0	3,5	3,8	4,4	4,5
частота	ni	2	6	9	7	1

Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить, обеспечивает ли станок требуемую точность.
5. В результате длительного хронометража времени сборки узла различными сборщиками установлено, что дисперсия этого времени 2 мин ² . Результаты 20 наблюдений за работой новичка таковы:

время сборки одного узла в минутах	xi	56	58	60	62	64
частота	ni	1	4	10	3	2

Можно ли, при уровне значимости 0,05, считать, что новичок работает ритмично (в том смысле, что дисперсия затрачиваемого времени существенно не отличается от дисперсии времени остальных сборщиков)?
6. Партия изделий принимается, если дисперсия контролируемого размера значимо не превышает 0,2. Исправленная выборочная дисперсия, найденная по выборке объема n= 121, оказалась равной =0,3. Можно ли принять партию при уровне значимости 0,01?
7. Решить предыдущую задачу, приняв уровень значимости  = 0,05.

(сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности)
А. Дисперсия генеральной совокупности известна
1. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением = 5,2 извлечена выборка объемаn= 100 и по ней найдена выборочная средняя 27,56. Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезуH₀: a = a₀ = 26 при конкурирующей гипотезе H₁: a  26.
2. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением = 40 извлечена выборка объемаn= 64 и по ней найдена выборочная средняя 136,5. Требуется, при уровне значимости 0,01, проверить нулевую гипотезуH₀: a = a₀ = 130 при конкурирующей гипотезе H₁: a  130.
3. Установлено, что средний вес таблетки лекарства сильного токсического действия должен быть равен a₀ = 0,50 мг. Выборочная проверка 121 таблетки полученной партии лекарства показала, что средний вес таблетки этой партии 0,53 мг. Требуется, при уровне значимости 0,01, проверить нулевую гипотезуH₀: a = a₀ = 0,50 при конкурирующей гипотезе H₁: a  0,50. Многократными предварительными опытами по взвешиванию таблеток, поставляемых фармацевтическим заводом, было найдено, что вес таблеток распределен нормально со средним квадратическим отклонением = 0,11 мг.
Б. Дисперсия генеральной совокупности неизвестна
4. По выборке объема n= 16, извлеченной из нормальной генеральной совокупности, найдены выборочная средняя 118,2 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение S = 3,6. Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезуH₀: a = a₀ = 120 при конкурирующей гипотезе H₁: a  120.
5. Проектный контролируемый размер изделий, изготавливаемых станком-автоматом, a = a₀ = 35мм. Измерения 20 случайно отобранных изделий дали следующие результаты:

контролируемый размер	xi	34,8	34,9	35,0	35,1	35,3
частота (число изделий)	ni	2	3	4	6	5

Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезуH₀: a = a₀ = 35 при конкурирующей гипотезе H₁: a  35.

(сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события)
1. По 100 независимым испытаниям найдена относительная частота = 0,14. При уровне значимости  = 0,05, требуется проверить нулевую гипотезу H₀: p = p₀ = 0,20 при конкурирующей гипотезе H₁: p0,20.
2. Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется бракованным, не превышает 0,02. Среди случайно отобранных 480 изделий оказалось 12 дефектных. Можно ли принять партию?
3. Завод рассылает рекламные каталоги возможным заказчикам. Как показал опыт, вероятность того, то организация, получившая каталог, закажет рекламируемое изделие, равна 0,08. Завод разослал 1000 каталогов новой улучшенной формы и получил 100 заказов. Можно ли считать, что новая форма рекламы оказалась значимо эффективнее первой?
4. Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется бракованным, не превышает 0,03. Среди случайно отобранных 400 изделий оказалось 18 бракованных. Можно ли принять партию?
5. В результате длительных наблюдений установлено, что вероятность полного выздоровления больного, принимавшего лекарство A, равно 0,8. Новое лекарство B назначено 800 больным, причем 660 из них полностью выздоровели. Можно ли считать новое лекарство значимо эффективнее лекарства A на пятипроцентном уровне значимости?
6. Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется бракованным, не превышает 0,01. Среди случайно отобранных 1600 изделий оказалось 20 бракованных. Можно ли принять партию ( = 0,05)?
7. Проводится проверка соответствия содержания активного вещества в продукции стандарту, который равен 8%. Для контроля произведена выборка из 100 проб, которая дала = 0,138. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу, что доля активного вещества в продукции соответствует стандарту.
8. Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется бракованным, не превышает 0,015. Среди случайно отобранных 250 изделий оказалось 5 бракованных. При уровне значимости 0,01 проверить, можно ли принять партию изделий.
9. Проводится проверка соответствия продукции высшего сорта в партии плану, который составляет 80%. С этой целью проведена выборка объемом в 100 единиц. Среди них оказалось 78 изделий высшего сорта. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что процент продукции высшего сорта соответствует плану.
10. Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется бракованным, не превышает 0,02. Среди случайно отобранных 600 изделий оказалось 16 бракованных. Можно ли принять партию ( = 0,05)?
11. В результате наблюдений установлено, что вероятность полного выздоровления больного, принимавшего лекарство A, равно 0,7. Новое лекарство B назначено 1800 больным, причем 1700 из них полностью выздоровели. Можно ли считать лекарство B эффективнее лекарства A на 5%-ном уровне значимости?

? Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки)
1. Двумя приборами в одном и том же порядке измерены 6 деталей и получены следующие результаты измерений (в сотых долях мм):

x₁ = 2, x₂ = 3, x₃ = 5, x₄ = 6, x₅ = 8, x₆ = 10;

y₁ = 10, y₂ = 3, y₃ = 6, y₄ = 1, y₅ = 7, y₆ = 4.

При уровне значимости 0,05, установить, значимо или незначимо различаются результаты измерений, в предположении, что они распределены нормально.
2. На двух аналитических весах, в одном и том же порядке, взвешены 10 проб химического вещества и получены следующие результаты взвешиваний (в мг):

x_i 25 30 28 50 20 40 32 36 42 38

y_i 28 31 26 52 24 36 33 35 45 40

При уровне значимости 0,01, установить, значимо или незначимо различаются результаты взвешиваний, в предположении, что они распределены нормально.
3. Физическая подготовка спортсменов была проведена при поступлении в спортивную школу, а затем после недели тренировок. Итоги проверки в баллах оказались следующими (в первой строке указано число баллов, полученных каждым спортсменом при поступлении в школу; во второй – после обучения):

x_i 76 71 57 49 70 69 26 65 59

y_i 81 85 52 52 70 63 33 83 62

Требуется, при уровне значимости 0,05, установить, значимо или незначимо улучшилась физическая подготовка спортсменов, в предположении, что число баллов распределено нормально.
4. Химическая лаборатория произвела в одном и том же порядке анализ 8 проб двумя методами. В результате получены следующие результаты (в первой строке указано содержание некоторого вещества в процентах в каждой пробе, определенное первым методом; во второй строке – вторым методом):

x_i 15 20 16 22 24 14 18 20

y_i 15 22 14 25 29 16 20 24

Требуется, при уровне значимости 0,05, установить, значимо или незначимо различаются средние результаты анализов, в предположении, что они распределены нормально.
5. Две лаборатории одним и тем же методом, в одном и том же порядке, определяли содержание углерода в 13 пробах нелегированной стали. Получены следующие результаты анализов (в первой строке указано содержание углерода в процентах в каждой пробе, полученное первой лабораторией; во второй строке – второй лабораторией):

x_i 0,18 0,12 0,12 0,08 0,08 0,12 0,19 0,32 0,27 0,22 0,34 0,14 0,46

y_i 0,16 0,09 0,08 0,05 0,13 0,10 0,14 0,30 0,31 0,24 0,28 0,11 0,42

Требуется, при уровне значимости 0,05, установить, значимо или незначимо различаются средние результаты анализа, в предположении, что они распределены нормально.

Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (большие независимые выборки)
1. По двум независимым выборкам, объемы которых n= 40 и m= 50, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей найдены выборочные средние 130 и 140. Генеральные дисперсии известны: D(X) = 80, D(Y) = 100. Требуется, при уровне значимости 0,01, проверить нулевую гипотезуH₀: М(X) = М(Y) о равенстве генеральных средних при конкурирующей гипотезе H₁: М(X)  М(Y).
2. По выборке объема n= 30 найден средний вес 130г изделий, изготовленных на первом станке; по выборке объема m= 40 найден средний вес 125г изделий, изготовленных на втором станке. Генеральные дисперсии известны: D(X) = 60г², D(Y) = 80г². Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезуH₀: М(X) = М(Y) при конкурирующей гипотезе H₁: М(X)  М(Y). Предполагается, что случайные величины X и Y распределены нормально и выборки независимы.
3. По выборке объема n= 50 найден средний размер 20,1мм диаметра валиков, изготовленных автоматом № 1; по выборке объема m= 50 найден средний размер 19,8мм диаметра валиков, изготовленных автоматом № 2. Генеральные дисперсии известны: D(X) = 1,750мм², D(Y) = 1,375мм². Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезуH₀: М(X) = М(Y) при конкурирующей гипотезе H₁: М(X)  М(Y). Предполагается, что случайные величины X и Y распределены нормально и выборки независимы.
4. Для испытания шерстяной ткани на прочность произведены две выборки объемами n_x= 40 и n_y= 30. Средняя прочность оказалась равной 135г и 138г. Предварительные исследования показали, что прочность шерстяной ткани в генеральных совокупностяхX и Y имеют нормальное распределение с дисперсиями 20 и 35. При уровне значимости 0,01 определить существенность расхождения между средними в обеих выборках.
5. Для определения качества продукции на двух электроламповых заводах было взято на выборку по 30 электроламп и определен срок их службы в часах. Для первого завода она составила 953 ч, а для второго – 970 ч. Считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей, дисперсии которых, соответственно, 54 и 62, выяснить при уровне значимости 0,01 является ли расхождение между продолжительностью горения электроламп случайным или один завод работает лучше другого.
6. По выборке объема n_x= 40 найден средний размер деталей 182мм, изготовленных первым автоматом; по выборке объема n_y= 30 найден средний размер деталей 185мм, изготовленных вторым автоматом. Предварительным анализом установлено, что размер деталей, изготовленных каждым автоматом, имеют нормальный закон распределения с дисперсиями D(X) = 25 и D(Y) = 17. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что средние размеры деталей, изготовляемых автоматами, одинаковые.
7. В результате исследования продолжительности простоев рабочих на двух предприятиях по организационно-техническим причинам получены следующие результаты: по первому предприятиюn_x= 25, 3,5мин; по второму - n_y= 37, 4,1мин. Выяснить при уровне значимости 0,05 существенность различия простоев на этих предприятиях, считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей, дисперсии которых равны 1,2 и 2,5.
8. Для исследования влияния двух удобрений на урожайность зерна были засеяны 95 участков, причем на 40 участках применялся один вид удобрения, а на остальных – другой. Найдены выборочные средние прироста урожайности: для первых 40 участков 8,9 %, для других 55 участков 7,0 %. При уровне значимости 0,05 выяснить, какой вид удобрения является лучшим, считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей, дисперсии которых равны 1,7 % и 1,5 %.
9. В результате специального обследования получены следующие выборочные данные о производительности труда рабочих двух бригад: 15 шт. при n_x= 50 и 17 шт. приn_y= 45. Выяснить при уровне значимости 0,01 существенность различия средней производительности труда в бригадах, считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей, дисперсии которых равны 3 и 3,2.
10. Две группы рабочих по 40 человек в каждой, изготавливают одинаковую продукцию. Для первой группы средняя производительность труда 15 деталей, для второй - 17 деталей. Выяснить существенность различия средней производительности труда в группах при уровне значимости 0,05, считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей, дисперсии которых равны 12 и 11.
11. Имеются следующие выборочные данные о заработной плате рабочих на двух предприятиях: 380р., n_x= 35; 385р.,n_y= 30. Предварительные исследования показали, что генеральные совокупностиX и Y имеют нормальный закон распределения с дисперсиями D(X) = 20, D(Y) = 18. При уровне значимости 0,05 проверить существенность различия средней заработной платы рабочих на предприятиях.
12. Для проверки эффективности новой технологии отбираются две группы рабочих. В первой группе численностью 31 человек, где применяется новая технология, средняя производительность труда оказалась равной 85 деталей, а во второй группе численностью 38 человек она составила 79 деталей. Предварительные исследования дают возможность считать, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей, дисперсии которых равны 10,1 и 8,4. При уровне значимости 0,01 определить действительно ли новая технология оказала влияние на среднюю производительность труда.