Анализ данных. Вариационные ряды и их характеристики
 Скачать 1.25 Mb.
|
|
Интервальная оценка генеральной доли, генеральной дисперсии 1. Из партии, содержащей 8000 телевизоров, отобрано 800. Среди них оказалось 10 % не удовлетворяющих стандарту. Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля телевизоров, удовлетворяющих стандарту, во всей партии для повторной и бесповторной выборок. 2. По результатам социологического обследования при опросе 1500 респондентов рейтинг президента (т.е. процент опрошенных, одобряющих его деятельность) составил 30%. Найти границы, в которых с надежностью 0,95 заключен рейтинг президента (при опросе всех жителей страны). Сколько респондентов надо опросить, чтобы с надежностью 0,99 гарантировать предельную ошибку социологического исследования не более 1%?. Ответить на тот же вопрос, если никаких данных о рейтинге президента нет. 3. Фирма, занимающаяся рыночными исследованиями, устанавливает степень известности её продукции. 80 из 400 опрошенных жителей города оказались знакомы с продукцией фирмы. Найти 90%-ный доверительный интервал степени известности продукции среди всех жителей города. 4. Опрос 300 случайно отобранных жителей города показал, что 55% из них довольны деятельностью вновь избранного мэра. Постройте 95%-ный доверительный интервал доли жителей всего города, которые также доверяют мэру. 5. Социологическая служба предприятия провела опрос рабочих данного предприятия с целью выяснения отношения к структурной реорганизации, проведенной руководством предприятия. На предприятии работает 1242 человека. Для интервью случайным образом было отобрано 160 человек, среди которых 85 человек отметили, что в общем удовлетворены проведенными преобразованиями. Постройте 95%-ный доверительный интервал доли рабочих, оценивающих положительно реорганизацию предприятия. 6. Политолог хотел бы оценить долю избирателей, которые проголосуют за кандидатов левых сил на ближайших президентских выборах. Постройте 90%-ный доверительный интервал для этого прогноза оценки с предельной ошибкой выборки, равной ±0,04. Какой объём выборки в этом случае необходим ему для опроса избирателей? 7. Из партии, содержащей 10000 музыкальных центров, отобрано 3000 штук. В выборке оказалось 4% музыкальных центров с бракованными компакт-дисками. Определите границы, в которых заключена доля стандартных музыкальных центров в генеральной совокупности, если результат необходимо гарантировать с вероятностью, равной 0,9876. Задачу решить в предположении, что выборка: а) собственно-случайная повторная; б) собственно-случайная бесповторная. 8. Из 4000 покупателей магазина была образована выборочная совокупность в 500 человек. Среди них оказалось 350 человек, которые произвели покупки в магазине. Найти вероятность того, что доля всех покупателей, которые произведут покупки в магазине, отличается от доли их в выборке не более чем на 0,03 (по абсолютной величине), если выборка: а) повторная; б) бесповторная. 9. Получены следующие данные о распределении рабочих предприятий по времени, затраченному на обработку детали:
С надежностью 0,999 найти доверительный интервал для дисперсии производительности труда рабочих предприятия, считая распределение производительности труда рабочих нормальным. 10. Рекламное агентство, обслуживающее местную радиостанцию, хотело бы оценить среднее время прослушивания передач станции. Какой объем выборки необходим, если агентство желает быть уверено в результатах на 90% с предельной ошибкой 5 минут? Из прошлого опыта известно, что среднее квадратическое отклонение времени прослушивания радиопередач составляет 45 минут. 11. Аудитор случайно отбирает 50 оплаченных счетов и находит, что их выборочная средняя составила 1100 денежных единиц со средним квадратическим отклонением 287 денежных единиц. Постройте 90%-ный доверительный интервал для генеральной дисперсии суммы оплаченных счетов. 12. В результате выборочного обследования получены следующие данные о составе строительных бригад:
С надежностями 0,95; 0,99; 0,999 найти доверительные интервалы, в которые попадает генеральная дисперсия. 13. Сколько лиц в возрасте от 20 до 30 лет надо опросить выборочно, чтобы установить среди них процент студентов с точностью до 0,5%, гарантируемой с вероятностью 0,9999? 14. По случайной выборке измерений роста 20 студентов первого курса вычислена несмещенная оценка генеральной дисперсии равная 0,002. Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего квадратического отклонения роста всех студентов первого курса, если распределение роста нормальное. 15. Каким должен быть объем выработки, отобранной по схеме случайной повторной выборки из партии, содержащей 8000 деталей, чтобы с вероятностью 0,994 можно было утверждать, что доли первосортных деталей в выборке и во всей партии отличаются не более чем на 0,05 (по абсолютной величине)? Задачу решить для случаев: а) о доле первосортных деталей во всей партии ничего не известно; б) их не более 80%. 16. Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью p появления события A в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности p с надежностью γ = 0,95, если в n = 60 испытаниях событие A появилось m = 15 раз. 17. Решить предыдущую задачу при γ = 0,95; n = 10; m = 2. 18. Из большой партии по схеме случайной повторной выработки было проверено 150 изделий с целью определения процента влажности древесины, из которой изготовлены эти изделия. Получены следующие результаты:
Считая, процент влажности изделия – случайная величина, распределенная по нормальному закону, найти: а) вероятность того, что средний процент влажности заключен в границах от 12,5 до 17,5; б) границы, в которых с вероятностью 0,95 будет заключен средний процент влажности изделий во всей партии. 19. По данным 9 измерений некоторой величины найдена средняя результатов измерений хср = 30 и выборочная дисперсия s2 = 36. Найти границы, в которых с надежностью 0,99 заключено истинное значение измеряемой величины. 20. Произведено 12 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой величины, имеющей нормальное распределение, причем дисперсия случайных ошибок измерений оказалась равной 0, 36. а) Найти границы, в которых с надежностью 0,95 заключено среднее квадратическое отклонение случайных ошибок измерений, характеризующих точность прибора; б) решить задачу при n = 50 измерениях. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей 1. По двум независимым выборкам, объемы которых n1 = 11 и n2 = 14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии  = 0,76 и  = 0,38. При уровне значимости = 0,05, проверить нулевую гипотезуH0: D(X) = D(Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе H1: D(X) > D(Y).2. По двум независимым выборкам, объемы которых n1 = 9 и n2 =16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии = 34,02 и = 12,15. При уровне значимости 0,01, проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе H1: D(X) D(Y).3. По двум независимым выборкам, объемы которых n1 = 14 и n2 = 10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии = 0,84 и = 2,52. При уровне значимости = 0,1, проверить нулевую гипотезуH0: D(X) = D(Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе H1: D(X) D(Y).4. По двум независимым выборкам, объемы которых n1 = 9 и n2 = 6, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные дисперсии  = 14,4 и  = 20,5. При уровне значимости 0,1, проверить нулевую гипотезуH0: D(X) = D(Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе H1: D(X) > D(Y).5. Двумя методами проведены измерения одной и той же физической величины. Получены следующие результаты: а) в первом случае x1 = 9,6; x2 = 10,0; x3 = 9,8; x4 = 10,2; x5 = 10,6; б) во втором случае y1 = 10,4; y2 = 9,7; y3 = 10,0; y4 = 10,3. Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность измерений, если принять уровень значимости = 0,1? Предполагается, что результаты измерений распределены нормально и выборки независимы. 6. Для сравнения точности двух станков-автоматов взяты две пробы (выборки), объемы которых n1 = 10 и n2 = 8. В результате измерения контролируемого размера отобранных изделий получены следующие результаты: xi1,08 1,10 1,12 1,14 1,15 1,25 1,36 1,38 1,40 1,42 yi1,11 1,12 1,18 1,22 1,33 1,35 1,36 1,38 Можно ли считать, что станки обладают одинаковой точностьюH0: D(X) =D(Y), если принять уровень значимости = 0,1 и в качестве конкурирующей гипотезы H1: D(X) D(Y)? 7. На двух токарных станках обрабатывают втулки. Отобраны две пробы: из втулок, обработанных на первом станке, взято 12 шт., из втулок, обработанных на втором станке, - 18 шт. По данным этих выборок рассчитаны исправленные выборочные дисперсии: = 0,75(для первого станка) и = 0,38(для второго станка). При уровне значимости = 0,01 проверить гипотезу о том, что станки обладают одинаковой точностью. Размеры втулок подчиняются нормальному закону.8. Двумя методами проведены измерения одной и той же величины. Получены следующие результаты: а) первым методом: x1 = 12,3; x2 = 12,5; x3 = 12,8; x4 = 13,0; x5 = 13,5; б) вторым методом: y1 = 12,2; y2 = 12,3; y3 = 13,0. При уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о том, что оба метода измерения обеспечивают одинаковую точность измерений. Результаты измерений предполагаются распределенными по нормальному закону. 9. Для определения качества продукции на двух электроламповых заводах взяли на выборку по 10 электроламп и проверили срок их службы:
При уровне значимости 0,05 проверить существенность различия колеблемости горения ламп на заводах, считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей. 10. Для определения качества продукции на двух электроламповых заводах взяли на выборку по 10 электроламп и проверили срок их службы. При этом получили характеристики колеблемости продолжительности горения электроламп: на первом заводе выборочная дисперсия = 0,17; на втором заводе = 0,25. При уровне значимости 0,05 проверить существенность различия колеблемости продолжительности горения ламп на заводах, считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей X и Y.11. На двух токарных станках обрабатывают детали. Взято выборочно 12 деталей, отобранных на первом станке, и 13 деталей – на втором. По данным этих выборок рассчитаны исправленные выборочные дисперсии: = 0,76(для первого станка) и = 0,52 (для второго станка). При уровне значимости = 0,01 проверить гипотезу о том, что станки обладают одинаковой точностью. Размеры деталей подчиняются нормальному закону.12. Для исследования влияния двух удобрений на урожайность пшеницы было засеяно по 10 опытных участков. Исправленные выборочные дисперсии, характеризующие вариацию урожайности на участках, соответственно, равны = 0,25и = 0,49. Считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей X и Y, проверить при уровне значимости = 0,01, зависит ли вариация урожайности пшеницы от типа внесенных удобрений.13. Сравнили точность измерения диаметра детали двумя методами. При этом проконтролировано 10 деталей. Предполагается, что результаты измерения диаметра распределены нормально. По результатам контроля получены исправленные выборочные дисперсии: = 0,00064 (для первого метода), = 0,00039 (для второго метода). При = 0,05 проверить гипотезу о том, что оба метода обладают одинаковой точностью.14. Расход сырья на единицу продукции составил:
Предположив, что генеральные совокупности X и Yимеют нормальное распределение, при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о равенстве дисперсий расхода сырья по старой и новой технологиям. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||