Рабочая книга социолога. Вторая структура социологического знания общая социологическая теория

• Название: Вторая структура социологического знания общая социологическая теория
• Анкор: Рабочая книга социолога.doc
• Дата: 19.11.2017
• Размер: 3.63 Mb.
• Имя файла: Рабочая книга социолога.doc
• Тип: Глава; #10295
• Категория: Социология. Политология
• страница: 15 из 38

Показатели колеблемости (вариации) значений признаков.

Для характеристики рядов распределения оказывается недостаточным указание только средней величины данного признака, поскольку два ряда могут иметь, к примеру, одинаковые средние арифметические, но степень концентрации (или, наоборот, разброса) значений признаков вокруг средней будет совершенно различной. Характери­стикой такого разброса служат показатели колеблемости — разность между максимальным и минимальным значениями признака в не­которой совокупности (вариационный размах), а также другие по­казатели: среднее абсолютное (линейное) отклонение, среднее квадратическое отклонение и т. п.

Дисперсия. Дисперсией называется величина, равная среднему значению квадрата отклонений отдельных значений признаков от средней арифметической. Обозначается дисперсия s² и вычисляется но формуле,



Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим отклонением и обозначается s.

Геометрически среднее квадратическое отклонение является по­казателем того, насколько в среднем кривая распределения размы­та относительно ее среднего арифметического. Измеряется в тех же единицах, что и изучаемый признак.

При ручном счете для упрощения вычислений дисперсию Ы рассчитывают по формуле методом отсчета от условного нуля. Для интервального ряда с равными интервалами процедура следующая. Сначала вычисляются центры интервалов. Относительно какого-либо отобранного серединного интервала ряда, например А, вверх и вниз выписывается натуральный ряд чисел (а_i) соответственно со знаком «плюс» и «минус»: 0, +1, +2 и т. д.; —1, —2 и т, д. (табл. 4).

В качестве проме­жуточного результата по формуле (7) получаем среднее арифметическое. Величина дисперсии получается подстановкой промежуточных величин из табл. 4 в формулу (8).

Среднее арифметическое находится по формуле¹⁹



Приведенные вычисления показывают, что при среднем возрасте» 40 лет все остальные члены совокупности имеют возраст, который в среднем отклоняется от 40 лет на 7,8 лет, т. е. примерно на 20%.



Среднее абсолютное отклонение. Эта мера вариации представля­ет собой среднее арифметическое из абсолютных величин откло­нений отдельных значений признака от их среднего арифметического, нения часто выражаются через соотнесение в процентах к среднему арифметическому, т. е. в виде относительных величин.

Отношение среднего линейного или среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому называется коэффициен­том, вариации (V):



Очевидно, что тот из рядов имеет большее рассеяние, у которого коэффициент вариации больше.

Рассмотренные выше показатели вариации применимы лишь к количественным признакам, а точнее к признакам, измеренным не ниже чем по интервальной шкале. Применение этих мер для низ­ших уровней, строго говоря, некорректно и требует тщательной ин­терпретации полученных результатов.

Вариации качественных признаков. Если признак имеет k взаи­моисключающих градаций, то для вычисления индекса качествен­ной вариации применяется процедура, поясняемая следующим примером.

Пусть получено следующее распределение ответов (взаимоис­ключающих) па вопросы А, В и С(колонка 1):



Во вторую колонку запишем такие частоты, которые получились бы при равномерном заполнении всех трех вопросов, т. е. 120/3 = 40. Теперь вычислим величину



Этот показатель называется индексом качественной вариации и указывает на степень неоднородности полученных ответов. Если бы все ответы попали лишь в одну градацию, то j = 0, что означа­ло бы полное единство в ответах, хотя, конечно, индекс совершенно не учитывает того, в какую именно градацию попали все эти ответы.

Совершенно аналогично индекс вычисляется при любом числе градаций. Но для альтернативных признаков вариация обычно подсчитывается по формуле (14). Она отличается от J на константу, называется дисперсией, выражается в абсолютных числах и обо­значается s²:



Другой мерой вариации признака (независимо от уровня изме­рения) может служить так называемая энтропия — мера неопределенности, вычисляемая по формуле



Логарифм в этой формуле может быть взят по любому основанию. Энтропия обладает следующими свойствами:

а) энтропия равна нулю лишь в том случае, если вероятность полу­чения одного из значения x_iпризнака х равна единице (вероятность остальных значений при этом равна нулю). Такой признак не обла­дает неопределенностью, так как достоверно известно одно един­ственно возможное его значение. Во всех остальных случаях, когда имеется та или иная неопределенность в значениях x_i, энтропия является положительной величиной;

б) наибольшей энтропией обладает признак, когда все значения x_iравновероятны. Для признака с k градациями

Отсюда видно, что максимальная энтропия увеличивается с ростом числа градаций в признаке.

 

5. Нормальное распределение. Статистические гипотезы

 

Адекватное применение количественных методов, вошедших в практику социологических исследований, в той или иной степени впирается на предположение, что изучаемый признак (или сово­купность признаков) подчиняется определенному статистическому закону распределения. Таким наиболее часто встречающимся рас­пределением является нормальный закон, представление о котором дано здесь в очень краткой форме.

Вторая группа вопросов, рассмотренных в этом разделе, связана с проверкой гипотез. Можно выделить две функции статистических процедур: во-первых, это описание элементов совокупности, во-вто­рых, помощь исследователю в принятии некоторых решений о них. В предыдущих разделах этой главы их рассмотрение было связано с дескриптивной функцией статистики. Здесь же кратко описаны основные понятия и принципы статистического вывода.

Нормальное распределение. Наиболее широко известным теоре­тическим распределением является нормальное, или гауссовское, распределение. Нормальное распределение признака наблюдается в тех случаях, когда на величину его значений действует множество случайных независимых или слабозависимых факторов, каждый из которых играет в общей сумме примерно одинаковую и малую роль (т. е. отсутствуют доминирующие факторы). Функция плотности гауссовского распределения имеет вид



где s² — дисперсия случайной величины (s² — это теоретическая дисперсия, отличающаяся от s², вычисляемой по выборочным дан­ным); m — среднее значение (математическое ожидание) (рис. 7).

В практических расчетах часто используется так называемое правило трех сигм, которое заключается в том, что лишь 0,26% всех значений нормально распределенного признака лежат вне ин­тервала m± Зs, т. е. почти все значения признака укладываются в интервале из шести сигм (рис. 8).

Статистические гипотезы.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения либо о параметрах известных рас­пределений²⁰. Так, статистической будет гипотеза о том, что пере­менная в генеральной совокупности распределена по нормальному закону. Проверяемую гипотезу называют нулевой (основной) гипоте­зой и обозначают Я₀. Наряду с нулевой рассматривается конкури­рующая гипотеза Я, (альтернативная), которая ей противоречит.

Статистический критерий и проверка гипотез. Для проверки ну­левой гипотезы ₍используется специально подобранная случайная величина, точное либо приближенное распределение которой из­вестно и обычно сведено в таблицы. Эта величина называется ста­тистическим критерием. Обозначим его пока К.

Для критерия К фиксируется так называемая критическая об­ласть, т. е. совокупность значений критерия, при. которых нулевую гипотезу отвергают. Точка К_крназывается критической, если она отделяет критическую область от области принятия гипотезы.

Различают правостороннюю, левостороннюю и двустороннюю критические области.

Принятие или отвержение гипотезы производится на основе со­ответствующего статистического критерия с определенной вероятно­стью. Считают, что нулевая гипотеза справедлива, если вероятность того, что критерий К примет значение, большее К_кр, т. е. попадет в критическую область, равна выбранному значению вероятно­сти a т. е.



Принятая вероятность а называется уровнем значимости.

Практически принятие или отвержение нулевой гипотезы прово­дится следующим образом: выбирается соответствующий критерий (этот вопрос будет обсуждаться далее); вычисляется наблюдаемое значение критерия К_И, исходя из эмпирического распределения; вы­бирается уровень статистической значимости (обычно 0,05 или 0,01).

По таблице распределения критерия К для данного уровня зна­чимости находят критическую точку К_кр. Если К_я > К_К1>, нулевую гипотезу отвергают, если же К_И< К_ку, то ее отвергать нет основа­ния.

Делая такие выводы (т. е. принимая или отвергая гипотезу), можно совершить ошибки двух типов: отвергнуть гипотезу, когда она верна; принять ее, когда она неверна. Поэтому при принятии гипотезы было бы неверным считать, что она тем самым полно­стью доказана. Для большей уверенности необходимо ее проверять другими способами (например, увеличить объем выборки).

Отвергают гипотезу более категорично, чем принимают.

Примеры статистических гипотез: а) нормальное распределение имеет заданное среднее и дисперсию либо имеет заданное среднее (о дисперсии ничего не говорится); б) распределение нормальное либо два неизвестных распределения одинаковы.

В качестве критериев чаще всего используются случайные ве­личины, распределенные нормально (Z — критерий), по закону «Фи­шера (F — критерий Фишера), по закону Стьюдента (t — критерий Стьюдента), по закону хи-квадрат (критерий c²) и т. д.

В качестве конкретного примера рассмотрим применение крите­рия хи-квадрат для проверки гипотезы о виде распределения изу­чаемого признака.

Критерий хи-квадрат. Популярность критерия хи-квадрат обусловлена главным образом тем, что применение его не требует пред­варительного знания закона распределения изучаемого признака. Кроме того, признак может принимать как непрерывные, так и дискретные значения, причем измеренные хотя бы на номинальном уровне.

Если закон распределения признака неизвестен, но есть основа­ния предположить, что он имеет определенный вид А, то критерий X² позволяет проверить гипотезу: исследуемая совокупность распре­делена по закону А. Для проверки такой гипотезы сравниваются эмпирические (наблюдаемые) и теоретические (вычисленные в пред­положении определенного распределения А) частоты. Выпишем эти частоты:



Как правило, эмпирические и теоретические частоты будут раз­личаться. Возможно, что наблюдаемое различие случайно (стати­стически незначимо) и объясняется либо малым числом наблюде­ний, либо способом их группировки, либо иными причинами. Но возможно, что расхождение частот значимо и объясняется тем, что теоретические частоты вычислены исходя из неверной гипотезы о характере распределения значений рассматриваемых признаков, генеральной совокупности. Критерий c² отвечает на вопрос, случай­но или пет такое расхождение частот. Как любой критерий, c² не доказывает справедливость гипотезы, а лишь с определенной веро­ятностью а устанавливает ее согласие или несогласие с данными

наблюдениями. , Критерий c² имеет вид



Критическая точка распределения c² находится (см. табл. Б прило­жения} по заданному уровню значимости а и числу степеней свободы df. Число степеней свободы находят по формуле

df=k – l – r,

где k — число интервалов вариационного ряда; r— число парамет­ров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки (например, для нормального распределения оценивают два параметра: m и s²).

Рассмотрим пример, когда признак оценивался в терминах «очень низкий», «средний», «очень высокий» и был получен сле­дующий ряд распределения для этих трех категорий:



Проверим гипотезу о том, что в генеральной совокупности зна­чения этого признака распределены равномерно.

Теоретическое распределение для этих групп получим, если предположим, что эти категории независимы, т. е. респондент с одинаковой вероятностью может попасть в любую группу. Очевид­но, ожидаемая (теоретическая) частота будет равна ²⁴/₃ = 8 человек.

Таким образом, имеем следующие эмпирические и теоретические частоты:



Проверяется гипотеза, что число респондентов во всех трех катего­риях одинаково, т. е. отличие распределения от равномерного ста­тистически незначимо.



 

По таблице распределения c², например, для уровня значимости 0,05 и степени свободы, равной df = 3 — 1 = 2, находим критиче­скую точку c² _кр = 5,991. Таким образом, наблюдаемое значение c² меньше c² _кр следовательно, данные наблюдений согласуются с ну­левой гипотезой и не дают оснований ее отвергнуть.

Хи-квадрат критерий применим и для проверки нулевой гипо­тезы об отсутствии связей между признаками в случае, если эмпи­рические данные сгруппированы не по одному, как выше, а гкг не­скольким признакам. Например, пусть имеется выборка в 190 чело­век, чье мнение относительно какого-то определенного вопроса ис­следовалось (табл. 5). Расчленим эту выборку на три независимых категории по возрасту. Рассмотрим следующие гипотезы: — не существует различия мнений относительно этого вопроса среди различных возрастных групп; Н—существует различие. Проверим гипотезу для уровня значимости а = 0,05.



Для нахождения ожидаемой (теоретической) частоты в любой клетке таблицы необходимо просто перемножить соответствующие маргинальные частоты и разделить произведение на итоговую сум­му. Например, ожидаемая частота для клетки (а) равна



 

Для нашего примера df= (4 — 1)(3 — 1) = 6. По табл. Б прило­жения находим, что c² _кр = 16,812. Следовательно, нужно отвергнуть гипотезу о том, что нет различий в мнении среди неодинаковых возрастных групп, т. е. можно предположить, что существует зна­чимая статистическая взаимосвязь между тем, к какой возрастной группе принадлежит респондент, и тем мнением, которое он высказывает. Однако величина c² не говорит о силе связи между переменными, а лишь указывает на вероятность существования такой свя­зи. Для Определения интенсивности связи необходимо использовать Соответствующие меры связи.

Для корректного применения методов, основанных на c², иссле­дователь должен обеспечить выполнение следующих условий. Вы­борку необходимо получить из независимых наблюдений. Данные могут быть измерены на любом уровне, но ни одна из ожидаемых частот не должна быть слишком мала (минимум 5). Если же часто­ты оказываются менее 5, то необходимо либо уменьшить степень дробности группировки признаков, объединив соседние категории, либо обратиться к другому критерию²¹.



 

6. Статистические взаимосвязи и их анализ

 

Понятие о статистической зависимости. Исходя из известного положения исторического материализма о всеобщей взаимозависимо­сти и взаимообусловленности явлений общественной жизни, социо­лог-марксист не может ограничиться изучением отдельно взятого явления изолированно от других процессов и событий, а должен стремиться по возможности охватить весь комплекс явлений, отно­сящихся к тому или иному социальному процессу и изучить суще­ствующие между ними зависимости.

Различают два вида зависимостей: функциональные (примером которых могут служить законы Ньютона в классической физике) и статистические.

Закономерности массовых общественных явлений складываются под влиянием Множества причин, которые действуют одновременно и взаимосвязанно. Изучение такого рода закономерностей в стати­стике и называется задачей о статистической зависимости. В этой задаче полезно различать два аспекта: изучение взаимозависимости между несколькими величинами и изучение зависимости одной или большего числа величин от остальных. В основном первый аспект связан с теорией корреляции (корреляционный анализ), второй — с теорией регрессии (регрессионный анализ). Основное внимание в этом параграфе уделено изучению взаимозависимостей нескольких признаков, а основные принципы регрессионного анализа рассмотре­ны очень кратко.

В основе регрессионного анализа статистической зависимости ряда признаков лежит представление о форме, направлении и тес­ноте (плотности) взаимосвязи.

В табл. 7 приведено эмпирическое распределение заработной пла­ты рабочих в зависимости от общего стажа работы (условные

данные) для выборки в 25 человек, а на рис. 9 эти численные данные представлены в виде так называемой диаграммы рассеяния, или разброса. Вообще говоря, визуально не всегда можно определить, су­ществует или нет значимая взаимосвязь между рассматриваемыми признаками и насколько она значима, хотя очень часто уже на диаграмме просматривается общая тенденция в изменении значе­ний признаков и направление связи между изучаемыми признаками. Уравнение регрессии. Статистическая зависимость одного или большего числа признаков от остальных выражается спомощью уравнений регрессии. Рассмотрим две величины х и у, такие, например, как на рис. 9. Зафиксируем какое-либо значение пере­менной х, тогда у принимает целый ряд значений. Обозначим у среднюю величину этих значений у при данном фиксированном х. Уравнение, описывающее зависимость средней величины у_хот xназывается уравнением регрессии у по х:

Аналогичным образом можно дать геометрическую интерпрета­цию регрессионному уравнению²²

Уравнение регрессии описывает числовое соотношение между величинами, выраженное в виде тенденции к возрастанию (или убыванию) одной переменной величины при возрастании (убывании) другой. Эта тенденция проявляется на основе некоторого чис­ла наблюдений, когда из общей, массы выделяются, контролируют­ся, измеряются главные, решающие факторы.

Характер связи взаимодействующих признаков отражается в ее форме. В этом отношении полезно различать линейную и нелиней­ную регрессии. На рис. 10, 11 приведены графики линейной и кри­волинейной форм линий регрессии и их диаграммы разброса для случая двух переменных величин.

Направление и плотность (теснота) линейной связи между дву­мя переменными измеряются с помощью коэффициента корреляции.