Механика. Законы сохранения лабораторный практикум Краснодар 2020
 Скачать 3.18 Mb.
|
|
А.В. СКАЧЕДУБ МЕХАНИКА. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Лабораторный практикум Краснодар 2020 Министерство науки и высшего образования Российской Федерации КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А.В. СКАЧЕДУБ МЕХАНИКА. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Лабораторный практикум Краснодар 2020 УДК 531(076.5) ББК 22.2я73 С 426 Рецензенты: Доктор педагогических наук, профессор Т.Л. Шапошникова Доктор физико-математических наук, профессор Н.М. Богатов Скачедуб, А.В. С 426 ···· Механика. Законы сохранения: лабораторный практикум / А.В. Скачедуб. – Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 2020. – 161 с. – 500 экз. ISBN 978-5-8209-1828-5 Содержит методические указания для выполнения 8 лабораторных работ по механике, в которых рассмотрены законы сохранения, понятие о моментах инерции тела в механике. В каждой работе даны основные теоретические сведения, необходимые для правильного выполнения лабораторных работ, описаны физические законы и явления, приведены расчетные формулы и их вывод, схемы и описания экспериментальных установок, а также методики экспериментов, требования к обработке результатов вычислений, список контрольных вопросов и литература, рекомендованная к изучению. Адресуется студентам направлений подготовки 03.03.02 «Физика», 03.03.03 «Радиофизика», 12.03.04 «Биотехнические системы и технологии». УДК 531(076.5) ББК 22.2я73 ISBN 978-5-8209-1828-5 © Кубанский государственный университет, 2020 © Скачедуб А.В., 2020 3 ВВЕДЕНИЕ Физика – экспериментальная наука, выявленные ею объективные законы природы получены чаще всего в результате экспериментальных исследований. Каждая из лабораторных работ физического практикума ставит своей целью изучение определенного физического явления и связана с измерением той или иной величины, характеризующей данное явление. Работа в лабораториях физического практикума является частью процесса изучения как физических законов, так и методов, применяемых в физике, и занимает центральное место во многих физических курсах, так как наглядная демонстрация опытов способствует лучшему пониманию физического явления. В любом курсе практических работ учащиеся будут иметь дело с такими измерительными приборами, как микрометры, динамометры, электронные осциллографы и др., и опыт работы с ними будет, несомненно, полезен. Задачей любого измерения является не только установление наиболее точного значения измеряемой величины, но и оценка границ возможных погрешностей. При переходе к самостоятельным научным исследованиям обилие приборов, с которыми придется работать, покажется невероятным. И ни один курс практических работ, по- видимому, не сможет научить студентов пользоваться каждым из них. В ходе же лабораторных работ перед обучающимися ставится задача приобрести опыт работы с приборами вообще. У экспериментатора, имеющего дело с приборами, должна быть особая психология, и курс лабораторных работ должен помочь выработать такую психологию. Извлечь из заданий практикума максимальную пользу можно, только относясь к каждой задаче как к небольшой научной работе. Описания задач – только стержни, вокруг которых строится работа. Объем полученных навыков и сведений определится главным образом не описанием, а подходом к выполнению работы. Бесполезно приступать к выполнению заданий без четкого представления об основных понятиях теории изучаемого явления. Не ориентируясь в основных теоретических вопросах, нельзя отделить изучаемое явление от случайных и 4 несущественных помех, и даже обнаружить, что установка не настроена и непригодна к работе. Главное условие успешного выполнения измерений заключается во внимательном и неторопливом ознакомлении с установкой перед измерениями, в ее тщательной проверке и наладке. Прежде чем приступать к систематическим измерениям, нужно выяснить точно, как установка работает. Никогда не следует жалеть времени на эту предварительную стадию эксперимента из опасения не успеть сделать измерения. Эти затраты времени всегда окупаются при дальнейшей работе над задачей. Работу с незнакомыми приборами можно начинать, лишь прочтя до конца инструкции и соблюдая все необходимые предосторожности. Нужно вырабатывать в себе умение бережно обращаться с оборудованием. Цели физического практикума – проверить теоретические положения физики на практике, развить практические навыки работы с физическим оборудованием, измерительными приборами и сформировать интерес к физическим исследованиям. Основой для достижения поставленных целей являются: – знакомство с измерительными приборами и экспериментальным оборудованием; – приобретение опыта проведения экспериментов и овладение знаниями в области методологии физического эксперимента, выработка навыков, необходимых для учета погрешностей и оценки точности полученного результата; – развитие умений делать правильные выводы при анализе экспериментальных данных. Данный практикум составлен автором с учетом многолетней работы в лаборатории механики. Особое внимание в издании уделено техническим моментам, по которым наиболее часто возникали вопросы у студентов. Материал данного практикума способствует повышению мотивации к обучению, лучшему понимаю физических явлений и станет отправной точкой путешествия в удивительный мир физики и физических экспериментов. 5 Лабораторная работа № 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Цель работы – используя законы вращения твердого тела и крутильный маятник, вычислить значения главных моментов инерции стального прямоугольного параллелепипеда и построить его эллипсоид инерции. Приборы и принадлежности: крутильный маятник с прямоугольной рамкой с крепежами, фотоэлектрический датчик для счета числа колебаний и связанный с ним секундомер для отсчета времени, пробный цилиндр известной массы, стальной прямоугольный параллелепипед известных размеров и массы. К РАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ При изучении вращения твердых тел пользуются понятием момента инерции. Момент инерции тела – мера инертности твердых тел при вращательном движении, которая играет такую же роль, что и масса при поступательном движении. Моментом инерции 𝒥 системы (тела) относительно некоторой оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс 𝑛 материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси: 𝒥 = ∑ 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 2 𝑛 𝑖=1 (1.1) Суммирование производится по всем элементарным массам 𝑚 𝑖 , на которые разбивается тело (рис. 1.1). Момент инерции – величина аддитивная: момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей этого тела относительно той же оси. Момент инерции тела зависит от материала, размеров и формы тела, а также от расположения тела относительно оси вращения. 6 Рис. 1.1. Схема к определению момента инерции тела и системы тел В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу: 𝒥 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝑚 = ∫ ρ𝑟 2 𝑑𝑉 , (1.2) где учтено, что элементарная масса 𝑑𝑚 = ρ𝑑𝑉 (ρ – плотность тела в данной точке, в которой взят элементарный объем 𝑑𝑉; 𝑟 – расстояние этого объема от оси, относительно которой вычисляется момент инерции). При переходе от уравнений динамики твердого тела к уравнениям динамики вращательного движения этого же тела ускорение 𝑎⃗ заменяется угловым ускорением β⃗⃗, сила 𝐹⃗ моментом силы 𝑀 ⃗⃗⃗, масса тела 𝑚 моментом инерции 𝒥, второй закон Ньютона – основным уравнением динамики вращательного движения (см. табл. 1.1). Если ось вращения не проходит через центр масс тела или если ось вращения проходит через центр масс, но не является осью симметрии тела, то при вращении центробежные силы инерции оказывают давление на ось вращения. Можно показать, что для тела любой формы и с произвольным распределением массы существуют три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр масс тела оси, при вращении тела вокруг которой на ось не действуют центробежные силы инерции. Такие оси называются свободными осями. 7 Таблица 1.1 Соответствующие физические характеристики твердого тела при поступательном и вращательном движениях, которые являются аналогами при разных видах движений Поступательное движение Вращательное движение Масса (инертная): 𝑚, кг Момент инерции: 𝒥, кг∙м 2 Импульс: 𝑃⃗⃗ = 𝑚 𝑣⃗, кг∙м/с Момент импульса: 𝐿⃗⃗ = 𝒥 ω ⃗⃗⃗, кг∙м 2 /с Сила: 𝐹⃗ = 𝑑𝑃⃗⃗ 𝑑𝑡 = 𝑚𝑎⃗, Н Момент силы: 𝑀 ⃗⃗⃗ = 𝑑𝐿 ⃗⃗ 𝑑𝑡 = 𝒥 β ⃗⃗, Н∙м Кинетическая энергия: 𝑇 пост. = 𝑚𝑣 2 2 , Дж Кинетическая энергия: 𝑇 вращ. = 𝒥ω 2 2 , Дж Ось, положение которой в пространстве остается неизменным при вращении вокруг нее тела в отсутствие внешних сил, называется свободной осью тела. Также они называются главными центральными осями инерции тела. У однородного прямоугольного параллелепипеда главными осями инерции будут оси O 1 O 1 , O 2 O 2 и O 3 O 3 проходящие через центры противоположных граней (рис. 1.2). Рис. 1.2. Схема расположения трех главных центральных осей инерции прямоугольного параллелепипеда 8 Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции тела. В общем случае эти моменты различны: 𝒥 1 ≠ 𝒥 2 ≠ 𝒥 3 Найдем моменты инерции прямоугольного параллелепипеда относительно произвольной оси в прямоугольной декартовой системе координат: 𝒥 = ∫ 𝑟 1 2 𝑑𝑚 = ∫(𝑟 2 − 𝑟 11 2 )𝑑𝑚 . (1.3) Здесь 𝑟 11 = (𝑟⃗𝑆⃗) = 𝑥𝑆 𝑥 + 𝑦𝑆 𝑦 + 𝑧𝑆 𝑧 , где 𝑆⃗ – единичный вектор вдоль выбранной оси, то есть 𝑆 𝑥 2 + 𝑆 𝑦 2 + 𝑆 𝑧 2 = 1. Тогда выражение для момента инерции 𝒥 перепишем в следующем виде: 𝒥 = 𝒥 𝑥𝑥 𝑆 𝑥 2 + 𝒥 𝑦𝑦 𝑆 𝑦 2 + 𝒥 𝑧𝑧 𝑆 𝑧 2 + 2𝒥 𝑥𝑦 𝑆 𝑥 𝑆 𝑦 + + 2𝒥 𝑦𝑧 𝑆 𝑦 𝑆 𝑧 + 2𝒥 𝑧𝑥 𝑆 𝑧 𝑆 𝑥 . (1.4) В выражении (1.4) введены следующие обозначения: 𝒥 𝑥𝑥 = ∫(𝑦 2 + 𝑧 2 ) 𝑑𝑚; 𝒥 𝑥𝑦 = − ∫ 𝑥𝑦 𝑑𝑚; 𝒥 𝑥𝑧 = − ∫ 𝑥𝑧 𝑑𝑚; 𝒥 𝑦𝑥 = − ∫ 𝑦𝑥 𝑑𝑚; 𝒥 𝑦𝑦 = ∫(𝑧 2 + 𝑥 2 ) 𝑑𝑚; 𝒥 𝑦𝑧 = − ∫ 𝑦𝑧 𝑑𝑚; 𝒥 𝑧𝑥 = − ∫ 𝑧 𝑥𝑑𝑚; 𝒥 𝑧𝑦 = − ∫ 𝑧 𝑦𝑑𝑚; 𝒥 𝑧𝑧 = ∫(𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑑𝑚. Величины 𝒥 𝑥𝑥 , 𝒥 𝑦𝑦 , 𝒥 𝑧𝑧 имеют смысл моментов инерции тела относительно координатных осей 𝑥, 𝑦, 𝑧 соответственно. Совокупность девяти величин: ( 𝒥 𝑥𝑥 𝒥 𝑥𝑦 𝒥 𝑥𝑧 𝒥 𝑦𝑥 𝒥 𝑦𝑦 𝒥 𝑦𝑧 𝒥 𝑧𝑥 𝒥 𝑧𝑦 𝒥 𝑧𝑧 ) называют тензором инерции относительно точки 𝑂, находящейся в начале координат, а сами эти величины – компонентами этого тензора. Введем обозначения 𝑥 = 1, 𝑦 = 2, 𝑧 = 3, тогда компоненты тензора инерции будут обозначаться 𝒥 11 , 𝒥 12 … 𝒥 33 , направляющие – 𝑆 1 , 𝑆 2 , 𝑆 3 . Тогда можно записать: 𝒥 𝑖𝑗 = 𝒥 𝑗𝑖 , 𝑖, 𝑗 = 1; 2; 3. Это условие означает, что тензор инерции 9 симметричен. Поэтому он полностью определяется заданием шести координат (три из шести линейно зависимы). Формулу (1.4) можно теперь записать в более краткой, симметричной форме: 𝒥 = ∑ ∑ 𝒥 𝑖𝑗 𝑆 𝑖 𝑆 𝑗 3 𝑗=1 3 𝑖=1 (1.5) Формула (1.5) допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Проведем через начало координат O прямые во всевозможных направлениях и на них отложим отрезки длиной 𝜌 = 1/√𝒥. Под 𝒥 в этом выражении принимается момент инерции относительно проведенного направления. Геометрическим местом концов таких отрезков будет некоторая поверхность. Радиус-вектор и координаты точек на поверхности тогда можно записать 𝜌⃗ = 𝑆⃗/√𝒥 и 𝑥 𝑖 = 𝑆 𝑖 /√𝒥 соответственно. Используя новые обозначения, выражение (1.5) перепишем в следующем виде: ∑ ∑ 𝒥 𝑖𝑗 𝑥 𝑖 𝑥 𝑗 3 𝑗=1 3 𝑖=1 = 1. (1.6) Это уравнение поверхности эллипсоида. Поверхность эта называется эллипсоидом инерции относительно точки O. Вид уравнения и компоненты тензора зависят от выбора начала координат и направления координатных осей. Если координатные оси направить по свободным осям, то в уравнении (1.6) пропадают члены, содержащие произведения координат, и уравнение эллипсоида принимает более простой вид: ∑ 𝒥 𝑖𝑖 3 𝑖=1 𝑥 𝑖 2 = 1. (1.7) Поэтому свободные оси называются также главными осями тензора инерции, 𝒥 11 = 𝒥 1 = 𝒥 𝑥 ; 𝒥 22 = 𝒥 2 = 𝒥 𝑦 ; 𝒥 33 = 𝒥 3 = 𝒥 𝑧 – моменты инерции относительно главных осей тензора инерции. Зная моменты инерции относительно главных осей, можно определить моменты инерции 𝒥 относительно произвольной оси: 10 𝒥 = 𝒥 𝑥 𝑆 𝑥 2 + 𝒥 𝑦 𝑆 𝑦 2 + 𝒥 𝑧 𝑆 𝑧 2 , (1.8) где 𝑆 𝑥 ; 𝑆 𝑦 ; 𝑆 𝑧 направляющие косинусы этой оси. Поверхность эллипсоида инерции дает ясное представление о величине всех возможных моментов инерции относительно осей, проходящих через центр масс. Самая короткая ось эллипсоида инерции направлена по оси наибольшего момента инерции, самая длинная – по оси наименьшего (см. рис. 1.3). Рис. 1.3. Схематическое изображение эллипсоида инерции произвольного асимметричного волчка Вид эллипсоида инерции подобен форме тела, которое он изображает. На рис. 1.3 показан эллипсоид инерции прямоугольного параллелепипеда с ребрами различной длины, видно, что 𝒥 1 ≠ 𝒥 2 ≠ 𝒥 3 . Такое твердое тело называется асимметрическим волчком. Если тело имеет две взаимно перпендикулярные главные оси с одинаковыми моментами инерции (цилиндр, стержень с квадратным сечением), т.е. 𝒥 1 = 𝒥 2 ≠ 𝒥 3 , то такое твердое тело называется симметричным волчком. Твердое тело, у которого 𝒥 1 = 𝒥 2 = 𝒥 3 (например, куб), называется шаровым волчком, а его эллипсоид инерции – сферой. Момент инерции твердого тела можно измерить следующим образом: подвесим тело на стальной проволоке, чтобы оно могло совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью проволоки. 11 Упругий момент проволоки по закону Гука для деформации кручения пропорционален углу закручивания: 𝑀 = −𝐷φ, где 𝐷 модуль кручения проволоки, а знак минус указывает, что момент действует противоположно направлению увеличения угла закручивания φ. Дифференциальное уравнение крутильных колебаний имеет следующий вид: 𝒥 𝑑 2 φ 𝑑𝑡 2 = −𝐷φ. (1.9) Если известен закон изменения угла закручивания φ(𝑡), угловое ускорение ε = 𝑑 2 φ 𝑑𝑡 2 , тогда после подстановки в уравнение (1.9) и преобразований перепишем это уравнение в следующем виде: 𝑑 2 φ 𝑑𝑡 2 + 𝐷 𝒥 φ = 0. (1.10) Обозначив 𝐷 𝒥 = ω 0 2 , окончательно получим: 𝑑 2 φ 𝑑𝑡 2 + ω 0 2 φ = 0. (1.11) Уравнение (1.11) является однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Из курса дифференциальных уравнений известно, что его решение, которое является уравнением гармонических колебаний и уравнением движения крутильного маятника, имеет вид: φ = φ 0 𝑠𝑖𝑛 ω 0 𝑡. (1.12) Циклическая (круговая) частота связана с периодом колебаний соотношением: ω 0 = 2π 𝑇 = √ 𝐷 𝒥 . (1.13) Тогда окончательно получаем выражение для периода колебаний крутильного маятника: 𝑇 = 2π√ 𝒥 𝐷 . (1.14) 12 Для определения модуля кручения проволоки и собственного момента инерции рамки воспользуемся свойством аддитивности моментов инерции различных тел. Для этого необходимо взять тело, момент инерции которого относительно оси вращения известен или его легко рассчитать. Обычно используют металлический сплошной однородный цилиндр, который можно устанавливать на рамку. Пусть масса цилиндра равна 𝑚 ц , радиус цилиндра – 𝑟 ц , тогда период колебаний рамки с цилиндром будет описываться следующим выражением: 𝑇 р+ц = 2π√ 𝒥 р + 𝒥 ц 𝐷 , (1.15) где 𝑇 с – период колебаний рамки с установленным цилиндром; 𝒥 р – момент инерции пустой рамки; 𝒥 ц = 0,5 𝑚 ц 𝑟 ц 2 – момент инерции цилиндра, вращающегося вокруг вертикальной оси. Считая момент инерции цилиндра известным, а также измерив периоды колебаний рамки с цилиндром 𝑇 р+ц и без него 𝑇 р , легко получить выражения для модуля кручения проволоки 𝐷 и момента инерции пустой рамки 𝒥 р : 𝐷 = 4π 2 0,5 𝑚 ц 𝑟 ц 2 𝑇 р+ц + 𝑇 р , (1.16) 𝒥 р = 0,5𝑚 ц 𝑟 ц 2 ( 𝑇 р+ц 𝑇 р ) 2 − 1 . (1.17) Если в пустую рамку установить исследуемый образец, момент инерции которого 𝒥 о нужно найти, то период колебаний 𝑇 р+о такого крутильного маятника будет равен: 𝑇 р+о = 2π√ 𝒥 р + 𝒥 ц 𝐷 . (1.18) Экспериментально определив периоды колебаний 𝑇 р+о и 𝑇 р , можно подсчитать момент инерции 𝒥 р пустой рамки, а также рассчитать модуль кручения 𝐷 проволоки. Тогда, определив экспериментально период колебаний 𝑇 р+о рамки с исследуемым 13 образцом, можно найти момент инерции𝒥 о исследуемого образца любой формы с помощью следующего выражения: 𝒥 о = 𝒥 р (( 𝑇 р+о 𝑇 р ) 2 − 1). (1.19) О ПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ Общий вид лабораторной установки для определения моментов инерции твердых тел показан на рис. 1.4. Установка включает в свой состав следующие элементы: основание 1, вертикальную стойку 2, верхний 3 и нижний 4 кронштейны, средний кронштейн 5, пробный цилиндр известной массы и размеров, прямоугольный параллелепипед известной массы. Основание 1 снабжено четырьмя регулируемыми опорами 6 и винтом-барашком 7 для фиксации стойки. Вертикальная стойка 2 выполнена из металлического прутка. Верхний 3 и нижний 4 кронштейны предназначены для крепления узлов подвески и натяжения торсиона 8 (стальной проволоки), с которым связана металлическая рамка 9 с фиксирующими винтами 10, на которой установлен флажок 11. Конструкция рамки позволяет закреплять твердые тела различных размеров и формы. Грузы крепятся при помощи подвижной планки, которую можно перемещать по направляющим внутри рамки. При колебаниях рамки флажок 11 пересекает луч фотоэлектрического датчика 12, предназначенный для определения периода колебаний металлической рамки с исследуемыми образцами и без них. Фотоэлектрический датчик и электромагнит соединены с блоком управления и измерения. При колебаниях рамки световой поток в фотоэлектрическом датчике прерывается металлическим флажком 12, в электронной схеме возникают электрические импульсы, которые подводятся к миллисекундомеру. На индикаторе высвечивается число периодов и время колебаний. На среднем кронштейне 5 расположены: спусковое устройство 14, предназначенное для освобождения рамки от фиксации (при этом возникают крутильные колебания рамки вокруг вертикальной оси) электромагнитом 15, который предназначен для удерживания рамки в исходном положении и ее освобождения. 14 Некоторые технические данные: масса цилиндра – 170 г, диаметр – 34,5 мм; масса параллелепипеда – 1840,5 г, размеры – 40 60 100 мм; рабочая погрешность измерения времени – 0,02 %; электрическое питание: 220 В, 50 Гц. Рис. 1.4. Схемы установки с обозначениями ключевых элементов На лицевой панели электронного блока размещены следующие элементы: «Сеть» – включатель сети; «Сброс» – установка счетчиков на нуль, команда на начало измерений; «Пуск» – выключатель электромагнита; «Стоп» – команда на прекращение измерений. |