Механика. Законы сохранения лабораторный практикум Краснодар 2020
 Скачать 3.18 Mb.
|
|
П ОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Техника безопасности Внимание! Чтобы не сбить настройку прибора на ноль, запрещается поворачивать рамку на угол больше 40º в любом случае, в том числе и при установке, смене положения и снятии исследуемого образца. Не допускать опрокидывание установки. При установке, смене положения и снятии исследуемого образца запрещается сильно тянуть рамку вниз или вверх во избежание обрыва проволоки или выхода ее из мест креплений. Поэтому, при перемещении средней планки вверх или вниз (после того как откручены фиксирующие винты) нужно давить рукой не только 15 на саму среднюю планку, но и одновременно на верхнюю или, соответственно, на нижнюю планку. При установке, смене положения и снятии исследуемого образца следует выключить электронный блок. Не следует сильно завинчивать винт, в случае заметного проворачивания исследуемого образца относительно рамки для уменьшения проворачивания можно устранить зазор между исследуемым образцом и средней планкой. При запуске, обслуживании и уходе за прибором следует соблюдать меры безопасности, согласно общим правилам по безопасности труда для устройств, в которых имеются напряжения до 250 В. Прибор разрешается эксплуатировать только при применении заземления. Подключение установки к блоку электронному ФМ-1/1 разрешается только лаборанту. Включение прибора, проведение измерений и любые другие манипуляции с лабораторным оборудованием допускаются только с разрешения преподавателя и только при его личном присутствии в лаборатории. Подготовка установки к работе 1. Проверить напряжение стальной проволоки. Если проволока провисает, надо увеличить ее натяжение, предварительно отпустив прижимные винты. 2. Совместить плоскость рамки с плоскостью фотоэлектрического датчика. Для этого надо поворачивать крепления проволоки в верхнем и нижнем кронштейнах. 3. Основание с электромагнитом и сам электромагнит надо расположить так, чтобы электромагнит мог обеспечить начальное отклонение рамки и повороты рамки при крутильных колебаниях были симметричны относительно плоскости фотоэлектрического датчика. 4. Включить вилку шнура в сеть, нажать кнопку «Сеть», проверить, горит ли лампочка фотоэлектрического датчика, высвечивают ли нули индикаторы. 5. Отклонить рамку к электромагниту, убедиться в способности электромагнита удерживать рамку в отклоненном положении. 16 6. Нажать кнопку «Пуск», наблюдать колебания рамки, изменения показаний индикатора. 7. Нажать кнопку «Стоп», произвести отсчет числа периодов колебаний и времени колебаний. Задание 1. Определить момент инерции рамки с помощью пробного цилиндра с известным моментом инерции. 1. Установить электромагнит в положении на платформе не более чем 40 о от положения равновесия рамки и зафиксировать его, затянув гайку. 2. Поворачивая рамку, приблизить ее «флажок» к электромагниту и фиксировать начальное положение из положения равновесия. Нажать кнопку «Пуск». 3. Отследить по индикатору девять полных колебаний пустой рамки и нажать кнопку «Стоп». Записать показания счетчика: 𝑁 число колебаний, 𝑡 – время колебаний. Повторить измерения минимум еще четыре раза. Период 𝑇 колебаний вычислить по формуле: 𝑇 = 𝑡 𝑁 . (1.20) 4. В рамке прибора закрепить пробное тело правильной формы (например, цилиндр), момент инерции которого легко вычислить теоретически. 5. Отследить по индикатору девять полных колебаний рамки с цилиндром и нажать кнопку «Стоп». Записать показания счетчика. Повторить измерения минимум еще четыре раза. По формуле (1.20) рассчитать период колебаний рамки с цилиндром 𝑇 р+ц 6. По формуле (1.17) вычислить момент инерции пустой рамки 𝒥 р и оценить погрешность полученной величины. Задание 2. Определить главные моменты инерции стального прямоугольного параллелепипеда относительно осей вращения, проходящих через его центр масс. 1. В рамке прибора закрепить и жестко зафиксировать исследуемый стальной прямоугольный параллелепипед. 17 2. Определить периоды крутильных колебаний исследуемого параллелепипеда при различных положениях в рамке вдоль главных осей моментов инерции и других возможных направлений вдоль осей, проходящих через противоположные вершины и середины ребер. Для каждой оси вращения производить измерения минимум пять раз. 3. Для каждой оси по формуле (1.19) вычислить соответствующие моменты инерции исследуемого параллелепипеда относительно осей вращения. Оценить погрешности полученных значений. 4. Считая прямоугольный параллелепипед стержнем, вычислить теоретические моменты инерции для соответствующих главных моментов инерции и сравнить с полученными экспериментальными значениями. 5. Занести полученные результаты в табл. 1.2. Таблица 1.2 Значения измеренных и вычисленных параметров Параметр 1 2 3 4 5 Среднее значение Погрешность 𝑡 р , с 0,005 с 𝑇 р , с 𝑡 р+ц , с 𝑇 р+ц , с 𝒥 ц , кг∙м 2 𝒥 р , кг∙м 2 𝑡 (р+о)1 , с 0,005 с 𝑇 (р+о)1 , с 𝑡 (р+о)2 , с 𝑇 (р+о)2 , с 𝑡 (р+о)3 , с 𝑇 (р+о)3 , с 𝒥 о1 , кг∙м 2 𝒥 о2 , кг∙м 2 𝒥 о3 , кг∙м 2 𝒥 теор1 , кг∙м 2 𝒥 теор2 , кг∙м 2 𝒥 теор3 , кг∙м 2 18 Задание 3. Построить эллипсоид инерции металлического прямоугольного параллелепипеда относительно осей, проходящих через центр масс. 1. По формуле 𝑥 𝑖 = 𝑆 𝑖 /√𝒥 вычислить координаты точек поверхности эллипсоида инерции прямоугольного параллелепипеда. Здесь 𝑆 𝑖 – соответствующие единичные направление вдоль координатных осей. 2. По этим данным построить плоскости сечения эллипсоида инерции. 3. Соединить полученные сечения плавными линиями. Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определение момента инерции тела. 2. В чем физический смысл момента инерции тела? 3. Сформулируйте закон сохранения момента импульса, момента силы и напишите соответствующие формулы. 4. Какие оси вращения называются свободными? 5. Сформулируйте теорему Штейнера и используйте ее для нахождения моментов инерции стержня и пластин относительно произвольных осей. 6. Подсчитайте момент инерции однородного стержня длины 𝐿 и массы 𝑚 относительно перпендикулярной оси, проходящей через середину стержня. 7. Какие Вы знаете экспериментальные методы определения момента инерции тел? 8. Какие колебания называются гармоническими? Сформулируйте условия, при которых совершаются гармонические колебания. Дайте определение амплитуды, фазы и начальной фазы колебаний. 9. Что называют крутильными колебаниями? 10. От чего зависит угловое ускорение твердого тела при его движении вокруг закрепленной оси? 11. От каких параметров системы зависит период крутильных колебаний в данной лабораторной работе? Каким образом можно регулировать период крутильных колебаний в лабораторной установке? 19 12. От чего зависит кинетическая и потенциальная энергия при гармонических колебаниях? Рассмотрите фазовые соотношения между кинетической и потенциальной энергией. 13. Какие колебания называются затухающими? Дайте определение фактора затухания и логарифмического декремента затухания. 14. Объясните, каким образом экспериментально определяется крутильная жесткость проволоки? В чем заключается физический смысл этого параметра и какова его размерность? 15. Получите формулу для расчета моментов инерции тонкого стержня и диска относительно их центра масс. 16. Какие тела называются асимметричным волчком, симметричным волчком, шаровым волчком? 17. Что такое тензор моментов инерции тела? Чем характеризуется этот тензор? 18. Какой тензор будет называться симметричным? Определите главные и центробежные моменты инерции. 19. Что подразумевается под эллипсоидом инерции? В чем практическая ценность построенного эллипсоида инерции тела? 20. Как определить момент инерции относительно любой оси, используя эллипсоид инерции? Рекомендуемая литература Абрамов С.М. Механика: учеб. пособие. 2-е изд., стер. М.: ФЛИНТА, 2018. URL: https://e.lanbook.com/book/116348. Аксенова Е.Н., Калашников Н.П. Методы обработки результатов измерений физических величин: учеб.-метод. пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2016. URL: https://e.lanbook.com/book/119497. Аксенова Е.Н. Общая физика. Колебания и волны (главы курса): учеб. пособие. 2-е изд., испр. СПб.: Лань, 2018. URL: https://e.lanbook.com/book/103055. Березина Н.А. Теоретическая механика: учеб. пособие. М.: ФЛИНТА, 2015. URL: https://e.lanbook.com/book/70322. 20 Диевский В.А. Теоретическая механика: учеб. пособие. 4-е изд., испр. и доп. СПб.: Лань, 2016. URL: https://e.lanbook.com/book/71745. Иродов И.Е. Механика. Основные законы: учеб. пособие. 13-е изд. М.: Лаборатория знаний, 2017. URL: https://e.lanbook.com/book/94115. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учеб. пособие для вузов; в 10 т.: Механика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. Т. 1. Нарыжный В.А. Динамика: учеб. пособие по теоретической механике. М.: Московский инженерно-физический институт, 2012. URL: https://e.lanbook.com/book/75953. Сивухин Д.В. Общий курс физики: учеб. пособие; в 5 т.: Механика. 4-е изд., стер. М.: ФИЗМАТЛИТ. Т. 1. URL: https://e.lanbook.com/book/2313. Стрелков С.П. Механика: учебник. 6-е изд., стер. СПб.: Лань, 2019. URL: https://e.lanbook.com/book/115197. 21 Лабораторная работа № 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ КОЛЕЦ ПРИ ПОМОЩИ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА Цель работы – на основе экспериментальных данных, полученных с помощью маятника Максвелла, вычислить моменты инерции металлических колец относительно их осей симметрии бесконечного порядка. Приборы и принадлежности: маятник Максвелла с жестким закреплением диска на трубке постоянного круглого сечения, массы которых известны, съемные кольца с известными массами. К РАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Моментом инерции материальной точки массы 𝑚 относительно некоторой оси вращения называют величину 𝒥 = 𝑚𝑟 2 , где 𝑟– расстояние от материальной точки до оси вращения. Для системы материальных точек момент инерции относительно некоторой оси можно вычислить как сумму моментов инерции, составляющих материальное тело: 𝒥 = ∑ 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 2 𝑖 , (2.1) где 𝑚 𝑖 – масса некоторой материальной точки, являющейся частью тела; 𝑟 𝑖 – соответствующее расстояние от материальной точки до оси вращения. Если вещество в твердом теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла: 𝒥 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝑚. (2.2) Здесь 𝑟– расстояние от элементарной массы, занимающей бесконечно малый объем 𝑑𝑉, до оси вращения. Интегрирование производится по всей массе тела, распределенной по всему объему твердого тела. 22 Рассчитаем теоретический момент инерции кольца (полого цилиндра) относительно его оси симметрии бесконечного порядка OO'. Разобьем цилиндр радиуса 𝑅на концентрические слои толщиной 𝑑𝑟 (рис. 2.1). Рис. 2.1. Схема разбиения цилиндра на бесконечно тонкие цилиндрические слои Пусть радиус какого-то слоя – 𝑟, тогда масса 𝑑𝑚, заключенная в этом слое, равна: 𝑑𝑚 = ρ𝑑𝑉 = 2πρ𝑟ℎ𝑑𝑟, (2.3) где 𝑑𝑉– объем слоя; ℎ– высота кольца (цилиндра); ρ – плотность вещества кольца. Вся масса слоя 𝑑𝑚 находится на расстоянии 𝑟 от оси симметрии OO', следовательно, момент инерции этого слоя относительно этой оси равен: 𝑑𝒥 = 𝑟 2 𝑑𝑚 = 2πρ𝑟 3 ℎ𝑑𝑟. (2.4) Полный момент инерции кольца найдем, проведя интегрирование по всем слоям таким цилиндрическим слоям, заключенными между внутренним слоем с радиусом 𝑅 1 и внешним слоем с радиусом 𝑅 2 : 𝒥 = 2πρℎ ∫ 𝑟 3 𝑑𝑟 𝑅 2 𝑅 1 = 2πρℎ ( 𝑅 2 4 4 − 𝑅 1 4 4 ). (2.5) Масса однородного полого цилиндра (кольца или трубки) 𝑚 = 2πρℎ(𝑅 2 2 − 𝑅 1 2 ), тогда момент инерции относительно оси бесконечного порядка, проходящей через его центр, равен: 23 𝒥 = 1 2 𝑚(𝑅 2 2 + 𝑅 1 2 ). (2.6) Следует отметить, что аналитическое вычисление интеграла (2.5) возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы. Для тел неправильной геометрической формы или для тел, в которых плотность является некоторой функцией, зависящей от расстояния, такие интегралы находят численно, либо используют экспериментальные методы определения момента инерции тела. Любое сложное движение можно представить как сумму простых, при этом скорость общего движения определяется суммой скоростей простых движений. В случае общего движения твердого тела оно может быть разделено на поступательное и вращательное. В то же время общее движение твердого тела можно рассматривать как вращательное движение относительно мгновенной оси (прямой, проходящей через точку твердого тела, которая в данный момент оказывается неподвижной). Мгновенная ось с течением времени непрерывно перемещается как в теле, так и в пространстве. Такое описание общего движения обосновывается теоремой Эйлера. Рассмотрим силы, действующие на маятник Максвелла, и запишем уравнения динамики для опускающегося маятника вертикально вниз, например, вдоль оси 𝑦 (рис. 2.2). Рис. 2.2. Схема маятника Максвелла 24 Для описания движения маятника Максвелла выберем систему отсчета, связанную с центром масс системы. Под действием силы тяжести центр масс опускается вниз с постоянным ускорением 𝑎⃗, тогда уравнение движения имеет следующий вид: 𝑚𝑎⃗ = 𝑚𝑔⃗ + 𝑇 ⃗⃗, (2.7) где 𝑇⃗⃗ – результирующая сила натяжения обеих нитей; 𝑚 – масса маятника. В процессе движения вниз маятник совершает вращательное движение вокруг горизонтальной оси OO', проходящей через центр масс системы. Вращение вызвано действием сил натяжения нитей на плечо силы 𝑟, намотанных на трубчатую ось маятника. Здесь 𝑟 = 𝐷 2 + 𝑑 и ведены следующие обозначения: 𝐷 – диаметр оси, 𝑑 толщина нити бифилярной подвески (0,5 мм). Основное уравнение вращательного движения маятника Максвелла имеет вид: 𝑀 ⃗⃗⃗ = 𝒥ε⃗ = [𝑟⃗ × 𝑇 ⃗⃗], (2.8) где 𝑀 ⃗⃗⃗ – суммарный момент сил, действующих на маятник; ε⃗ – угловое ускорение вращения маятника; 𝒥 – введенный ранее момент инерции маятника относительно оси OO'. Так как поступательное движение происходит только вдоль вертикальной оси, то для решения уравнений (2.7) и (2.8) перейдем от векторной формы записи к проекциям на эту ось (вертикальная ось 𝑦): 𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 − 𝑇, (2.9) 𝑀 = 𝒥ε. (2.10) В процессе движения центр масс маятника опускается настолько, насколько раскручивается нить с металлической трубки, поэтому перемещение центра масс вдоль оси 𝑦 связано с углом поворота φ соотношением: 𝑦 = 𝑟φ. (2.11) Дифференцируя выражение (2.11) дважды по времени, получим связь между линейным ускорением центра масс маятника и его угловым ускорением: 25 𝑎 = 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑡 2 = 𝑟 𝑑 2 φ 𝑑𝑡 2 = 𝑟ε. (2.12) С учетом выражений (2.10) и (2.12) выражение (2.8) может быть записано в следующем виде: 𝑟𝑇 = 𝒥 𝑎 𝑟 , (2.13) или 𝑇 = 𝒥 𝑎 𝑟 2 . (2.14) Решая совместно систему уравнений (2.9) и (2.14), получим: 𝑎 = 𝑚𝑔 𝑚 + 𝒥 𝑟 2 , (2.15) 𝑇 = 𝑚𝑔 1 + 𝑚𝑟 2 𝒥 . (2.16) Из уравнений (2.15) и (2.16) следует, что в процессе движения маятника, его ускорение и сила натяжения нитей постоянны. Следовательно, при движении маятника вниз, положение центра масс можно отсчитывать от точки его закрепления в начальный момент времени и его положение меняется по закону: 𝑦 = 𝑎𝑡 2 2 . (2.17) Подставляя (2.17) в (2.16), получим выражение для экспериментального момента инерции маятника Максвелла: 𝒥 = 𝑚𝑟 2 ( 𝑔𝑡 2 2𝑦 − 1), (2.18) где 𝑟 = 𝐷/2 + 𝑑 – плечо силы; 𝐷 – внешний диаметр трубки (оси), на которую наматывается нить; 𝑑 – диаметр нити (0,5 мм); 𝑡 – время движения маятника от самой верхней точки до самой нижней точки; 𝑦 – соответствующее пройденное расстояние вдоль вертикальной оси; 𝑚 – полная масса маятника, равная сумме масс отдельных компонент – трубки, диска и кольца (если надето). 26 О ПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ Общий вид установки с маятником Максвелла показан на рис. 2.3. Основание 11 оснащено регулируемыми ножками 12, которые позволяют произвести горизонтирование прибора. В основании закреплена колонка 2, к которой прикреплен неподвижный верхний кронштейн 3 и подвижный нижний кронштейн 1, электронный секундомер 11. На верхнем кронштейне находится электромагнит 6, фотоэлектрический датчик 4 и вороток 5 для закрепления и регулирования длины бифилярной подвески маятника. Рис. 2.3. Схема установки с маятником Максвелла 27 Нижний кронштейн вместе с прикрепленным к нему фотоэлектрическим датчиком 9 можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в произвольно выбранном положении. Диск Максвелла 8, закрепленный бифилярным подвесом, позволяет менять момент инерции при помощи сменных колец 7. Диск с наложенным кольцом удерживается в верхнем положении электромагнитом. Длина маятника определяется по миллиметровой шкале на колонке прибора (от нижней кромки кольца 7 в верхнем положении диска Максвелла, до нижней кромки кольца в нижнем положении диска). С целью облегчения этого измерения нижний кронштейн оснащен указателем. Некоторые технические данные установки: 𝑚 о – масса оси (34,0 г); 𝐷 – диаметр оси (10,0 мм); 𝑚 д – масса диска (125,6 г); 𝑚 к – соответствующая масса выбранного кольца (указана на кольце в граммах); 𝑑 толщина нити бифилярной подвески (0,5 мм); рабочая погрешность измерения времени – 0,02 %; электрическое питание: 220 В, 50 Гц. На лицевой панели электронного блока размещены следующие элементы: «Сеть» – включатель сети; «Сброс» – установка счетчиков на нуль, команда на начало измерений; «Пуск» – выключатель электромагнита; «Стоп» – команда на прекращение измерений. |