Механика. Законы сохранения лабораторный практикум Краснодар 2020
 Скачать 3.18 Mb.
|
|
О ПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ В работе используется колебательная система с затуханием – физический маятник, совершающий колебания в среде, обладающей сопротивлением (в воздухе). Схема установки приведена на рис. 6.2. Маятник представляет собой металлическую штангу 1, на нижнем конце которой располагается указатель амплитуды 2. Верхний конец штанги 1 закреплен в шарнире 3, который располагается на неподвижной стандартной опоре. Также на нижнем конце штанги 1 есть крепление 4, на которое нанизываются и фиксируются с 84 помощью гайки металлические диски различных диаметров. Диски предназначены для создания средой (воздухом) сопротивления движению маятника, т.е. для создания затухающих колебаний различной добротности. Плоскость диска и плоскость колебаний маятника должны быть взаимно перпендикулярны. Рис. 6.2. Схема лабораторной установки Отклонение φ маятника визуально определяется по дугообразной шкале 5, расположенной в непосредственной близи указателя амплитуды 2. В процессе совершения колебаний, максимальное отклонение маятника от положения равновесия будет уменьшаться. П ОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Техника безопасности Не допускать опрокидывание установки. При установке металлических дисков различных диаметров и масс необходимо плотно зажимать их фиксирующими гайками. На маятнике 85 должно всегда находиться не более одного диска. Не фиксируйте на дугообразной шкале амплитуды положения маятника ручкой или любым другим нестираемым маркером. Для одновременного наблюдения амплитуды маятника и записи значений в тетрадь рекомендуется эту часть работы выполнять с помощником. Подготовка установки к работе 1. С помощью регулировочного винта (находится на дальней ноге штатива) отрегулировать горизонтальность установки. 2. Установить указатель амплитуды параллельно горизонтальной плоскости. 3. Перед отклонением маятника от положения равновесия необходимо убедиться, что на пути его движения нет посторонних предметов. 4. Провести несколько пробных запусков маятника без дисков. В процессе колебаний указатель амплитуды должен находиться на одном и том же расстоянии от дугообразной шкалы, т.е. совершать колебания в плоскости, параллельной плоскости дугообразной шкалы. Задание 1. Построить графики зависимости амплитуды от числа совершенных колебаний маятника с металлическими дисками различных диаметров и масс. 1. Отклонить маятник без дисков от положения равновесия на максимально допустимое значение амплитуды ( φ = 30 о ). 2. Каждые три полных колебания записывать значение максимального отклонения маятника от положения равновесия. Отследить не менее тридцати полных колебаний. 3. Произвести аналогичные измерения с последовательно закрепленными на маятнике дисками различных масс и диаметров (использовать не менее трех различных дисков). 4. Заполнить табл. 6.1. 86 5. Построить на одном графике зависимости амплитуды от числа колебаний для маятника, совершающего затухающие колебания с дисками и без. Заранее продумать масштаб осей для построения графиков, чтобы кривые были достаточно хорошо разрешены. 6. Провести анализ полученных результатов. Таблица 6.1 Значения амплитуд маятника в зависимости от числа совершенных колебаний с дисками и без № Без диска φ 𝑚 о Диск 1 φ 𝑚 о Диск 2 φ 𝑚 о Диска 3 φ 𝑚 о 𝑁 0 30 30 30 30 𝑁 3 𝑁 6 𝑁 9 𝑁 12 𝑁 15 𝑁 18 … 𝑁 30 Задание 2. Определить физические параметры колебательной системы, совершающей затухающие колебания. 1. С помощью секундомера произвести измерения полных периодов 𝑇 колебаний маятника для каждой из рассматриваемых систем. 2. Воспользовавшись значением амплитуд через 𝑁и 𝑁 + 𝑘 колебаний из табл. 6.1, найти логарифмический декремент затухания для каждой из рассматриваемых систем в задании 1 по следующей формуле: λ = 1 𝑘 𝑙𝑛 φ 𝑚 𝑁 φ 𝑚 𝑁+𝑘 , (6.10) 87 где φ 𝑚 𝑁 – амплитуда 𝑁-го колебания; φ 𝑚 𝑁+𝑘 – амплитуда спустя 𝑘 колебаний, считая от выбранного 𝑁. 3. По формуле 𝑁 𝑒 = 1/λ вычислить число колебаний, при котором амплитуда уменьшается в 𝑒раз для каждой из систем. 4. По формуле τ = 𝑁 𝑒 𝑇 найти времена релаксации колебательных систем. 5. По формуле (6.9) вычислить добротность различных колебательных систем. 6. Оценить погрешности полученных физических величин, заполнить табл. 6.2 и произвести анализ полученных результатов. Таблица 6.2 Значения физических параметров колебательных систем Параметр Без диска Диск 1 Диск 2 Диск 3 λ Δλ 𝑁 𝑒 Δ𝑁 𝑒 τ, с Δτ, с 𝑄 Δ𝑄 Контрольные вопросы и задания 1. Что такое колебательное движение? 2. Какие виды колебаний существуют? 3. Дайте определение периода колебаний. 4. Какие параметры затухающих колебаний маятника меняются со временем? 5. Чем отличаются физический и математический маятники? 6. Какие колебания совершает физический маятник при небольших углах отклонения в отсутствии сил сопротивления? 88 7. Почему амплитуда собственных колебаний физического маятника убывает со временем? 8. Как определить период затухающих колебаний, от чего он зависит? 9. Какие величины характеризуют затухание системы? 10. Как сдвинуты по фазе перемещение и скорость точки при свободных колебаниях? 11. Что называется логарифмическим декрементом затухания, временем релаксации, добротностью колебательной системы? 12. Какой физический смысл имеют логарифмический декремент затухания и коэффициент затухания? 13. Дайте определение добротности маятника. Как она связана с коэффициентом затухания? 14. Какой из двух способов определения логарифмического декремента затухания и добротности вы считаете более точным? Почему? 15. Как зависит логарифмический декремент от массы и площади дисков? 16. Как изменяется колебания маятника, если его поместить в жидкость, в вакуум? 17. Что такое резонанс? От чего зависит резонансная частота? 18. От каких факторов зависят случайные погрешности в данной экспериментальной работе? Рекомендуемая литература Аксенова Е.Н. Общая физика. Колебания и волны (главы курса): учеб. пособие. 2-е изд., испр. СПб.: Лань, 2018. URL: https://e.lanbook.com/book/103055. Бугаенко Г.А., Маланин В.В., Яковлев В.И. Механика: учеб. для вузов. 2-е изд., испр. и доп. М.: Юрайт, 2018. URL: https://biblio-online.ru/book/B1C28758-8D33-487F-9032-4882C5039 672. 89 Диевский В.А. Теоретическая механика: учеб. пособие. 4-е изд., испр. и доп. СПб.: Лань, 2016. URL: https://e.lanbook.com/book/71745. Кузнецов С.И., Подзеева Э.В. Физика: учеб. пособие; в 2 ч. Ч. 1: Механика. Механические колебания и волны. Молекулярная физика и термодинамика. URL: https://e.lanbook.com/book/10288. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учеб. пособие для вузов в 10 т.: Механика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. Т. 1. Методы обработки результатов измерений и оценки погрешностей в учебном лабораторном практикуме: учеб. пособие. 2-е изд. Томск: ТПУ, 2017. URL: https://e.lanbook.com/book/106764. Нарыжный В.А. Динамика: учеб. пособие по теоретической механике. М.: Московский инженерно-физический институт, 2012. URL: https://e.lanbook.com/book/75953. Стрелков С.П. Механика: учебник. 6-е изд., стер. СПб.: Лань, 2019. URL: https://e.lanbook.com/book/115197. Учайкин В.В. Механика. Основы механики сплошных сред: учебник. 2-е изд., стер. СПб.: Лань, 2017. URL: https://e.lanbook.com/book/91899. 90 Лабораторная работа № 7 ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВОЗДУШНОЙ ДОРОЖКИ Цель работы – проверить законы сохранения импульса и энергии при упругом и неупругом столкновении вагонеток, передвигающихся по воздушной дорожке. Приборы и принадлежности: воздушная дорожка (трек), воздуходувка, пусковое устройство, вагонетки со световыми барьерами и креплениями для гирь, насадки для упругого и неупругого ударов, набор гирь, фотодатчики, цифровые измерители времени. К РАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Силы взаимодействия между сталкивающимися твердыми телами столь велики по своей величине, а время взаимодействия мало, что внешними силами, действующими на них во время взаимодействия, можно пренебречь. При движении вагонеток на воздушной подушке вдоль трассы сила трения скольжения сводится к минимуму, и ей можно пренебречь. Это позволяет систему тел в процессе их движения и соударения приближенно рассматривать как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения. Различают два предельных типа удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий. Абсолютно упругий удар – столкновение тел, при котором механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия вначале переходит в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга: потенциальная энергия упругой деформации переходит в кинетическую энергию. После удара тела разлетаются со скоростями, модуль и направление которых определяются двумя условиями: сохранением механической энергии и сохранением полного импульса системы тел. Пример абсолютно упругого удара изображен на рис. 7.1. 91 Рис. 7.1. Схема столкновения при абсолютно упругом центральном ударе двух шаров На рис. 7.1 приняты следующие обозначения: 𝑚 1 и 𝑚 2 – соответствующие массы первого и второго шаров; 𝑉⃗⃗ 1 и 𝑉 ⃗⃗ 2 – соответствующие скорости первого и второго шаров до удара; 𝑉 ⃗⃗ 1 ′ и 𝑉 ⃗⃗ 2 ′ – соответствующие скорости первого и второго шаров после удара. Тогда, согласно закону сохранения импульса 𝑝⃗, учитывая, что общая кинетическая энергия (𝐸) системы тел до и после удара одинакова, можно записать: 𝑝⃗ 1 + 𝑝⃗ 2 = 𝑝⃗ 1 ′ + 𝑝⃗ 2 ′ , (7.1) 𝑚 1 𝑉 ⃗⃗ 1 + 𝑚 2 𝑉 ⃗⃗ 2 = 𝑚 1 𝑉 ⃗⃗ 1 ′ + 𝑚 2 𝑉 ⃗⃗ 2 ′ , (7.2) где 𝑝⃗ 1 = 𝑚 1 𝑉 ⃗⃗ 1 и 𝑝⃗ 2 = 𝑚 2 𝑉 ⃗⃗ 2 , 𝑝⃗ 1 ′ = 𝑚 1 𝑉 ⃗⃗ 1 ′ и 𝑝⃗ 2 ′ = 𝑚 2 𝑉 ⃗⃗ 2 ′ – импульсы первого и второго шаров до и после удара соответственно. 𝐸 1 + 𝐸 2 = 𝐸 1 ′ + 𝐸 2 ′ , (7.3) 𝑚 1 𝑉 1 2 2 + 𝑚 2 𝑉 2 2 2 = 𝑚 1 𝑉 1 ′2 2 + 𝑚 2 𝑉 2 ′2 2 , (7.4) 𝑝 1 2 2𝑚 1 + 𝑝 2 2 2𝑚 2 = 𝑝 1 ′2 2𝑚 1 + 𝑝 1 ′2 2𝑚 2 . (7.5) Здесь 𝐸 1 = 𝑚 1 𝑉 1 2 2 = 𝑝 1 2 2𝑚 1 и 𝐸 2 = 𝑚 2 𝑉 2 2 2 = 𝑝 2 2 2𝑚 2 , 𝐸 1 ′ = 𝑚 1 𝑉 1 ′2 2 = 𝑝 1 ′2 2𝑚 1 и 𝐸 2 ′ = 𝑚 2 𝑉 2 ′2 2 = 𝑝 2 ′2 2𝑚 2 – кинетические энергии первого и второго шаров до и после удара соответственно. С учетом условий осуществления эксперимента можно провести прямую аналогию между идеализированной моделью в случае абсолютно упругого центрального удара двух шаров и 92 реальных двух вагонеток, движущихся по треку на воздушной подушке. Для нахождения импульсов первой и второй вагонеток после удара запишем их импульсы в проекциях на выбранную ось 𝑥, в случае упругого соударения при 𝑝 2 = 0 легко получить следующие соотношения: 𝑝 теор 1 ′ = 𝑚 1 − 𝑚 2 𝑚 1 + 𝑚 2 𝑝 1 = − 1 − 𝑚 1 𝑚 2 1 + 𝑚 1 𝑚 2 𝑝 1 , (7.6) 𝑝 теор 2 ′ = 2𝑚 2 𝑚 1 + 𝑚 2 𝑝 1 = 2 1 + 𝑚 1 𝑚 2 𝑝 1 . (7.7) Знак минус указывает на то, что после столкновения первая вагонетка, если ее масса меньше массы второй вагонетки, будет двигаться в противоположную сторону. Рис. 7.2. График зависимостей импульсов вагонеток от отношения их масс при упругом ударе Аналогично и для кинетических энергий вагонеток после упругого удара, учитывая, что импульс 𝑝 и кинетическая энергия 𝐸 связаны соотношением 𝐸 = 𝑝 2 2𝑚 ⁄ , можно написать: 93 𝐸 теор 1 ′ = ( 1 − 𝑚 1 𝑚 2 1 + 𝑚 1 𝑚 2 ) 2 𝐸 1 , (7.8) 𝐸 теор 2 ′ = 4 (1 + 𝑚 1 𝑚 2 ) 2 𝑚 1 𝑚 2 𝐸 1 . (7.9) Зависимости импульсов и энергий от отношения масс вагонеток после упругого соударения вагонеток для случая 𝑝 2 = 0 изображены на рис. 7.2–7.3. Теоретические непрерывные кривые построены для значений импульсов вагонеток с использованием формул (7.6)–(7.7) при начальном импульсе первой вагонетки 𝑝 1 = 0,16 кг∙м/с (изображен пунктирной линией на рис. 2). Рис. 7.3. Графики зависимостей энергий вагонеток от отношения их масс при упругом ударе С использованием формул (7.8)–(7.9) для значений кинетических энергий вагонеток при начальной кинетической 94 энергии первой вагонетки 𝐸 1 = 0,0425 Дж (пунктирная прямая на нижнем графике) также построены непрерывные кривые значений кинетических энергий вагонеток. Точками изображены возможные результаты экспериментальных значений соответствующих величин. Возможные отклонения полученных экспериментально значений импульсов и кинетических энергий вагонеток связаны со случайными и систематическими погрешностями, возникающими в процессе проведения экспериментов. Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Происходит неупругая деформация тел и их слипание. Кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столкнувшиеся тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса, закон же сохранения механической энергии не соблюдается: имеет место закон сохранения суммарной энергии различных видов – механической и внутренней. Схема абсолютно неупругого центрального удара двух шаров изображена на рис. 7.4. Рис. 7.4. Схема столкновения при абсолютно неупругом центральном ударе двух шаров При неупругом центральном столкновении двух шаров (вагонеток) сохраняется только импульс. После удара шары (вагонетки), объединившись, двигаются со скоростью 𝑉⃗⃗ ′ : 𝑝⃗ 1 + 𝑝⃗ 2 = 𝑝⃗ ′ , (7.10) 95 𝑚 1 𝑉 ⃗⃗ 1 + 𝑚 2 𝑉 ⃗⃗ 2 = (𝑚 1 + 𝑚 2 )𝑉 ⃗⃗ ′ , (7.11) где 𝑝⃗ ′ = (𝑚 1 + 𝑚 2 )𝑉 ⃗⃗ ′ – импульс объединившихся тел. Для практических расчетов удобнее использовать проекции импульсов и скоростей на выбранную ось 𝑥. Из условия равенства скоростей вагонеток после неупругого соударения имеем следующее соотношения для модулей импульсов вагонеток: 𝑝 1 ′ = 𝑚 1 𝑚 2 𝑝 2 ′ . (7.12) Тогда, учитывая, что 𝑝 2 = 0, имеем следующие выражения для модулей импульсов вагонеток, движущихся с одинаковой скоростью: 𝑝 теор 1 ′ = 1 1 + 𝑚 2 𝑚 1 𝑝 1 , (7.13) 𝑝 теор 2 ′ = 1 1 + 𝑚 1 𝑚 2 𝑝 1 . (7.14) Кинетические энергии вагонеток до и после неупругого удара заданы следующими соотношениями: 𝐸 = 𝐸 1 + 𝐸 2 = 𝑚 1 𝑉 1 2 2 + 𝑚 2 𝑉 2 2 2 , (7.15) 𝐸 ′ = 𝐸 1 ′ + 𝐸 2 ′ = (𝑚 1 + 𝑚 2 ) 2 𝑉 ′2 , (7.16) где 𝐸 и 𝐸 ′ – суммарные кинетические энергии вагонеток до и после неупругого соударения соответственно. Используя формулу (7.11) в проекциях на выбранную ось 𝑥, рассчитаем потери кинетической энергии вагонеток, равные работе деформации в процессе неупругого удара: Δ𝐸 = 𝐸 − 𝐸 ′ = 𝑚 1 𝑚 2 2(𝑚 1 + 𝑚 2 ) (𝑉 1 − 𝑉 2 ) 2 . (7.17) Если вторая вагонетка была неподвижна (𝑉 2 = 0), то кинетические энергии вагонеток после неупругого столкновения равны соответственно: 96 𝐸 теор 1 ˊ = ( 1 1 + 𝑚 1 𝑚 2 ) 2 𝐸 1 , (7.18) 𝐸 теор 2 ˊ = ( 1 1 + 𝑚 1 𝑚 2 ) 2 𝑚 1 𝑚 2 𝐸 1 . (7.19) Потеря кинетической энергии вагонетками при неупругом столкновении в случае 𝑉 2 = 0: Δ𝐸 = 𝑚 2 𝑚 1 + 𝑚 2 𝐸 1 = 1 1 + 𝑚 1 𝑚 2 𝐸 1 . (7.20) Зависимости импульсов от отношения масс вагонеток после неупругого соударения вагонеток для случая 𝑝 2 = 0 изображены на рис. 7.5. Рис. 7.5. Графики зависимостей импульсов вагонеток от отношения их масс при неупругом ударе 97 Теоретические непрерывные кривые построены для значений импульсов вагонеток с использованием формул (7.13)–(7.14) при начальном импульсе первой вагонетки 𝑝 1 = 0,16 кг∙м/с (изображен пунктирной линией на верхнем графике). Зависимости кинетических энергий от отношения масс вагонеток после неупругого соударения для случая 𝑉 2 = 0 изображены на рис. 7.6. С использованием формул (7.15)–(7.20) для значений кинетических энергий вагонеток при начальной кинетической энергии первой вагонетки 𝐸 1 = 0,0425 Дж (пунктирная прямая на графике) построены непрерывные кривые значений кинетических энергий вагонеток. Рис. 7.6. Графики зависимостей кинетических энергий вагонеток от отношения их масс при неупругом ударе 98 Штрихпунктирная кривая характеризует потери кинетической энергии вагонетками в зависимости от отношения их масс при неупругом ударе. Точками изображены возможные результаты экспериментальных значений соответствующих величин. Из рис. 7.6 видно, что потери кинетической энергии вагонетками находятся в сильной зависимости от отношения их масс. Если масса второй вагонетки много больше массы первой, потери кинетической энергии практически достигают 100%. Если массы вагонеток равны, то потери составляют около 50%, и с увеличением значения отношения 𝑚 1 /𝑚 2 масс вагонеток потери кинетической энергии уменьшаются. |