Механика. Законы сохранения лабораторный практикум Краснодар 2020
 Скачать 3.18 Mb.
|
|
П ОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Техника безопасности Не допускать опрокидывание установки. При установке прямоугольного держателя и металлической трубки с отверстием на металлическом стрежне необходимо плотно закручивать фиксирующие винты. Металлический стержень и вертикальный метр также должны быть плотно зафиксированы винтами в своих устойчивых основаниях. Внимание! Не допускать чрезмерной нагрузки на витые пружины (более 200 г на каждую) во избежание необратимой деформации пружин и потери их упругих свойств! Подготовка установки к работе 1. Собрать установку, как показано на рис. 4.5. Прямоугольный держатель следует закреплять на высоте равной 3/4 от всей длины стержня. 2. Плотно закрутить все фиксирующие винты. 3. С помощью устойчивого тренога отрегулировать вертикальность металлического стержня. Вертикальный метр с передвижными указателями длины должен находиться как можно ближе к пружине, при этом указатели не должны касаться витков пружины. Задание 1. Экспериментально проверить справедливость закона Гука для различных витых пружин и вычислить их жесткость. 1. Закрепить пружину на металлической трубке с отверстием и с помощью передвижных указателей длины измерить длину 𝑙 0 рабочей части витой пружины. 56 2. Зацепить пустой держатель грузов (массой 10 г) за пружину и оценить удлинение Δ𝑙 пружины. 3. Последовательно увеличивать нагрузку на пружину, подвешивая грузики на держатель грузов с шагом в 10 г и заносить данные в табл. 4.1. 4. По формуле (4.2) вычислить жесткость пружины при различных нагрузках. 5. Полностью заполнить табл. 4.1. 6. Построить график зависимости 𝐹 𝑊 (Δ𝑙). Проанализировать полученные результаты. 7. Выполнить пункты 1–6 для второй витой цилиндрической пружины. 8. Вычислить среднюю жесткость пружин. Таблица 4.1 Измеренные и рассчитанные физические параметры цилиндрических витых пружин Пружина № 1 № Нагрузка 𝐹 𝑊 , Н Длина 𝑙 0 пружины без нагрузки, см Удлинение Δ𝑙, см Жесткость 𝑘 1 пружины, Н/м 1 2 3 … 15 Пружина № 2 № Нагрузка 𝐹 𝑊 , Н Длина 𝑙 0 пружины без нагрузки, см Удлинение Δ𝑙, см Жесткость 𝑘 2 пружины, Н/м 1 2 3 … 15 Задание 2. Экспериментально проверить поведение жесткости системы из двух витых пружин при последовательном соединении. 57 1. Соединить две пружины последовательно, затем закрепить их на металлическом стержне с отверстием и с помощью передвижных указателей длины измерить длину 𝑙 0 пружин без нагрузки. 2. Выполнить действия, указанные в пунктах 2–4 задания 1. 3. Вычислить средние значения жесткости для первой и второй пружины из значений, полученных в первом задании, по формуле (4.10) вычислить теоретическую жесткость 𝑘 Т1 системы двух последовательно соединенных витых пружин. Сравнить со значениями, полученными из эксперимента в данном задании. 4. Полностью заполнить табл. 4.2 и проанализировать полученные результаты. 5. Вычислить среднюю жесткость системы и сравнить с теоретическим значением. Таблица 4.2 Измеренные и рассчитанные физические параметры цилиндрических витых пружин, соединенных последовательно № Нагрузка 𝐹 𝑊 , Н Длина 𝑙 0 системы пружин без нагрузки, см Удлинение Δ𝑙, см Жесткость 𝑘 1−2 системы пружин, Н/м Теоретическая жесткость 𝑘 Т1 , Н/м 1 2 3 … 15 Задание 3. Экспериментально проверить поведение жесткости системы из двух витых пружин при параллельном соединении. 1. Соединить две пружины параллельно с помощью двух металлических стрежней с петельками, затем закрепить их на металлическом стержне с отверстием и с помощью передвижных 58 указателей длины измерить расстояние 𝑙 0 между центрами стержней с петельками. 2. Выполнить действия, указанные в пунктах 2–4 задания 1. 3. Вычислить средние значения жесткости для первой и второй пружины из значений, полученных в первом задании и по формуле (4.15) вычислить теоретическую жесткость 𝑘 Т2 системы двух параллельно соединенных витых пружин. Сравнить со значениями, полученными из эксперимента в данном задании. 4. Полностью заполнить табл. 4.3 и проанализировать полученные результаты. 5. Вычислить среднюю жесткость системы и сравнить с теоретическим значением. Таблица 4.3 Измеренные и рассчитанные физические параметры цилиндрических витых пружин, соединенных параллельно № Нагрузка 𝐹 𝑊 , Н Длина 𝑙 0 системы пружин без нагрузки, см Удлинение Δ𝑙, см Жесткость 𝑘 1‖2 системы пружин, Н/м Теоретическая жесткость 𝑘 Т2 , Н/м 1 2 3 …. 15 Задание 4. Измерить основные и вычислить зависимые параметры двух цилиндрических витых пружин. 1. С помощью штангенциркуля измерить основные геометрические параметры цилиндрических витых пружин. 2. По формулам, указанным в начале данной лабораторной работы, вычислить зависимые параметры цилиндрических витых пружин. 59 3. Для того чтобы найти значение модуля сдвига 𝐺, который зависит только от материала, из которого изготовлена пружина, необходимо сравнить все полученные значения параметров с табличными значениями и найти соответствующий материал, из которого изготовлена пружина. Максимальная сила сжатия или растяжения пружины не зависит от количества рабочих витков. Это означает, что если взять, например, цилиндрическую пружину сжатия, а затем разрезать ее на две неравные по длине части, то максимальное усилие при растяжении (или сжатии)обеих образовавшихся пружин будет одинаковым. Более того, максимальная сила останется такой же, как у исходной пружины. 4. Заполнить табл. 4.4. Таблица 4.4 Значения основных и зависимых параметров цилиндрических витых пружин Параметр Пружина № 1 Пружина № 2 1 2 3 Среднее значение 1 2 3 Среднее значение Диаметр 𝑑 проволоки, мм Средний диаметр 𝐷 пружины, мм Число 𝑛 рабочих витков, шт. Длина 𝑙 0 рабочей части, мм Модуль сдвига 𝐺, ГПа Шаг витков 𝑇, м/шт. Угол α подъема винтовой линии, градус Индекс пружины 𝑐 Жесткость 𝑘, Н/м Чувствительность 𝑠, м/Н 60 Контрольные вопросы и задания 1. Что называют деформацией твердого теля? Какую деформацию называют упругой? Какие деформации твердых тел являются пластическими? 2. Чем объясняется отличие значений теоретических и экспериментальных жесткостей пружин? 3. Как вычисляются абсолютная и относительная погрешности определения коэффициента жесткости пружины в лабораторных условиях? 4. Объясните схему возникновения продольных и поперечных деформаций в образце при действии растягивающей (или сжимающей) силы. 5. Перечислите все механические характеристики витых пружин. 6. От каких параметров и характеристик зависит коэффициент жесткости витых пружин? 7. Как изменится коэффициент жесткости пружины при увеличении диаметра проволоки, из которой состоит пружина? 8. Укажите основные источники погрешностей результатов испытаний. Объясните различия (если таковые имеются) в значениях жесткостей для систем пружин, вычисленных на основе экспериментальных данных и с использованием формул (4.10) и (4.15). 9. Перечислите возможные погрешности в расчете значений жесткости. 10. Во сколько раз жесткость системы из трех одинаковых витых пружин при параллельном соединении больше, чем жесткость системы при их последовательном соединении? 11. Как изменится жесткость винтовой пружины, если диаметр проволоки увеличить в 2 раза при сохранении прочих размеров и характеристик пружины неизменными? 12. Зависит ли точность определения жесткости пружины от того, как измеряют величину ее деформации: при малых нагрузках или при высоких? 61 13. Как изменится жесткость винтовой пружины, если диаметр проволоки 𝑑 и диаметр пружины 𝐷 увеличить в 2 раза при сохранении прочих размеров и характеристик неизменными? 14. В результате неправильной термообработки жесткость пружины оказалась равной 0,4 Н/мм и меньше расчетной на 20%. Характеристики пружины таковы: 𝐷 = 20 мм, 𝑑 = 1 мм, число витков – 25. Сколько витков должна иметь такая пружина при том же режиме термообработки, чтобы получить расчетное значение жесткости? 15. Определить жесткость соединения пружин, изображенных на рисунках. Рекомендуемая литература Аксенова Е.Н., Калашников Н.П. Методы обработки результатов измерений физических величин: учеб.-метод. пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2016. URL: https://e.lanbook.com/book/119497. Аксенова Е.Н. Общая физика. Механика (главы курса): учеб. пособие. 2-е изд., испр. СПб.: Лань, 2018. URL: https://e.lanbook.com/book/103056. Березина Н.А. Теоретическая механика: учеб. пособие. М.: ФЛИНТА, 2015. URL: https://e.lanbook.com/book/70322. 62 Иродов И.Е. Механика. Основные законы: учеб. пособие. 13-е изд. М.: Лаборатория знаний, 2017. URL: https://e.lanbook.com/book/94115. Куликов Ю.А. Сопротивление материалов. Курс лекций: учеб. пособие. СПб.: Лань, 2017. URL: https://e.lanbook.com/book/91882. Молотников В.Я. Курс сопротивления материалов: учеб. пособие. 2-е изд., стер. СПб.: Лань, 2016. URL: https://e.lanbook.com/book/71756. Практикум по решению задач общего курса физики. Механика: учеб. пособие / Н.П. Калашников и [и др.]. М.: Лань, 2018. URL: https://e.lanbook.com/reader/book/106870/#1. Савельев И.В. Курс физики: учеб. пособие; в 3 т.: Механика. Молекулярная физика. 7-е изд., стер. СПб.: Лань. Т. 1. URL: https://e.lanbook.com/book/106894. Физические основы механики / Ш.А. Пиралишвили [и др.]. М.: Лань, 2017. URL: https://e.lanbook.com/reader/book/91291/#1. Филатов Ю.Е. Введение в механику материалов и конструкций: учеб. пособие. СПб.: Лань, 2017. URL: https://e.lanbook.com/book/93704. 63 Лабораторная работа № 5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА Цель работы – с помощью оборотного маятника определить значение ускорения свободного падения. Приборы и принадлежности: физический оборотный маятник с двумя передвижными втулками, две полочные струбцины с зажимами, две опорные призмы, три стержня квадратного сечения, устойчивый треножник с отверстием, фиксатор, фотоэлектрический датчик Cobra 3, блок питания. К РАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести тела. Т.е. физический маятник – это твердое тело, подвешенное на горизонтальной оси в поле силы тяжести. Физический маятник (рис. 5.1) отличается от математического тем, что его колеблющаяся масса не находится в одной точке, а распределена в пространстве. Рис. 5.1. Схематичное изображение физического маятника 64 Запишем основное уравнение динамики вращательного движения физического маятника, совершающего колебания вокруг неподвижной оси вращения. Потенциальная энергия 𝐸 пот физического маятника в гравитационном поле связана с отклонением маятника от положения равновесия, т.е. центра тяжести от вертикальной оси: 𝐸 пот = 𝑚[𝑠⃗ × 𝑔⃗] = −𝑚𝑠𝑔 𝑠𝑖𝑛θ, (5.1) где 𝑚 ‒ масса маятника; 𝑠⃗ ‒ вектор, направленный от точки подвеса к центру тяжести мятника; 𝑔⃗ ‒ вектор ускорения свободного падения; θ ‒ угол отклонения от вертикальной оси. Кинетическая энергия 𝐸 кин физического маятника равна сумме кинетических энергий его частиц: 𝐸 кин = ∑ 1 2 𝑚 𝑖 𝑣 𝑖 2 𝑖 = ∑ 1 2 𝑚 𝑖 𝑖 (ω 𝑖 𝑟 𝑖 ) 2 , (5.2) где ω 𝑖 ‒ угловая скорость i-й частицы, которая в случае с твердым телом одна и та же для всех частиц маятника; 𝑟 𝑖 ‒ расстояние от оси вращения до i-й частицы. Перепишем выражение (5.2), используя выражение для момента инерции твердого тела: 𝐸 кин = θ̇ 2 2 ∑ 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 2 𝑖 = 1 2 θ̇ 2 𝒥 0 , (5.3) где θ̇ 2 = ( 𝑑θ 𝑑𝑡 ) 2 = ω 2 ; 𝒥 0 ‒ момент инерции твердого тела, совершающего колебания относительно оси, проходящей через центр тяжести. Согласно теореме Штейнера, момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями. Тогда выражение (5.3) для кинетической энергии оборотного маятника, будет иметь следующий вид: 𝐸 кин = 1 2 θ̇ 2 𝐽 = 1 2 θ̇ 2 (𝒥 0 + 𝑚𝑠 2 ). (5.4) 65 Учитывая закон сохранения энергии, выражение для полной энергии физического маятника, совершающего колебания без трения вокруг неподвижной оси в поле сил тяжести, будет иметь следующий вид: 𝐸 = 𝐸 кин + 𝐸 пот = 1 2 θ̇ 2 (𝒥 0 + 𝑚𝑠 2 ) − 𝑚𝑠𝑔 𝑠𝑖𝑛θ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. (5.5) Выражение (5.5) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка, которое в случае малых колебаний ( 𝑠𝑖𝑛θ ≈ θ) можно переписать в следующем виде: 1 2 θ̇ 2 − 𝑚𝑠𝑔 (𝒥 0 + 𝑚𝑠 2 ) θ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. (5.6) Общее решение уравнения (5.6) имеет следующий вид: θ(𝑡) = θ 0 𝑠𝑖𝑛(ω𝑡 + φ), (5.7) где θ 0 – амплитуда колебаний; φ – фаза колебания; ω = √ 𝑚𝑠𝑔 (𝒥 0 +𝑚𝑠 2 ) – круговая частота колебаний. Тогда формула для периода колебаний физического маятника будет иметь следующий вид: 𝑇 = 2π√ (𝒥 0 + 𝑚𝑠 2 ) 𝑚𝑠𝑔 . (5.8) График зависимости периода колебаний 𝑇 от расстояния 𝑠 представляет характерную кривую, которая имеет минимум (рис. 5.2). Решив уравнение 𝑑𝑇/𝑑𝑠 = 0 относительно 𝑠, найдем, что в точке минимума имеет место следующее выражение: 𝑠 𝑚 = √ 𝒥 0 𝑚 = 𝑠 0 , (5.9) где величина 𝑠 0 называется радиусом инерции маятника относительно оси, проходящей через центр инерции. Подставив значение для 𝑠 0 в формулу (5.8), найдем выражение для минимального периода колебаний маятника: 𝑇 𝑚 = 2π√ 2 𝑔 √ 𝒥 0 𝑚 = 2π√ 2𝑠 0 𝑔 . (5.10) 66 Рис. 5.2. График зависимости периода колебаний маятника от расстояния между точкой подвеса и центром инерции Таким образом: 1) если маятник колеблется относительно оси, проходящей на расстоянии радиуса инерции 𝑠 0 от центра инерции, то период колебаний маятника будет наименьшим из всех возможных; 2) если ось подвеса удаляется от центра инерции, то период колебаний будет увеличиваться до бесконечности; 3) при приближении оси подвеса к центру инерции период колебаний маятника также будет неограниченно возрастать. Прямая 𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (рис. 5.3), проведенная на графике, пересечет кривую 𝑇 = 𝑇(𝑠) в двух точках 𝑙 1 и 𝑙 2 , т.е. существуют такие две точки подвеса по одну сторону от центра инерции, периоды колебаний которых совпадают. Рис. 5.3. График зависимости 𝑇 = 𝑇(𝑠) и 𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 67 Физический маятник, у которого существуют две параллельные оси качания, называется оборотным. Схема оборотного маятника, совершающего колебания в поле сил тяжести вокруг оси O 1 Z (направлена на нас), изображена на рис. 5.4. Для определения значения ускорения свободного падения 𝑔 на практике с помощью оборотного маятника необходимо измерение двух величин: периода колебаний 𝑇 и некоторой величины 𝑙 пр , называемой приведенной длиной. Длину математического маятника, имеющего такой же период колебаний, что и данный оборотный маятник, называют приведенной длиной этого маятника. Период колебаний оборотного маятника определяется непосредственным измерением. Что касается величины 𝑙 пр , то ее можно либо вычислить, зная размеры и массу маятника, либо непосредственно определить, используя особое свойство оборотного маятника. Рис. 5.4. Схема оборотного маятника, совершающего колебания в поле сил тяжести 68 Особенностью оборотного маятника является свойство сопряженности центра качания и точки подвеса. Это свойство заключается в следующем: во всяком оборотном маятнике можно найти две такие точки, что при последовательном подвешивании маятника за ту или другую из них период колебаний его остается одним и тем же. Расстояние между этими точками определяет собой приведенную длину данного маятника. Пусть период колебаний маятника, совершающего колебания вокруг оси O 1 Z, равен 𝑇 1 = 2π √ 𝒥 0 +𝑚𝑠 1 2 𝑚g𝑠 1 , если же колебания совершаются вокруг оси O 2 Z, то период колебаний равен 𝑇 2 = 2π √ 𝒥 0 +𝑚𝑠 2 2 𝑚g𝑠 2 . Решая совместно эти уравнения, имеем: 𝑇 2 2 𝑔𝑠 1 − 𝑇 2 2 𝑔𝑠 2 = 4π 2 (𝑠 1 2 − 𝑠 2 2 ). (5.11) Для величины ускорения свободного падения из формулы (5.11) после преобразований получаем уравнение, данное Бесселем: 𝑔 = 4π 2 (𝑠 1 2 − 𝑠 2 2 ) 𝑇 1 2 𝑠 1 − 𝑇 2 2 𝑠 2 = 4π 2 (𝑠 1 − 𝑠 2 )𝑙 пр 𝑇 1 2 𝑠 1 − 𝑇 2 2 𝑠 2 . (5.12) Если периоды колебаний равны между собой (𝑇 1 = 𝑇 2 = 𝑇), уравнение (5.12) примет вид: 𝑔 = 4π 2 𝑙 пр 𝑇 2 . (5.13) Формула Бесселя позволяет достаточно просто и с высокой точностью определить величину ускорения при приближенном равенстве периодов колебаний. По данной методике необходимо вычислить значение ускорения падения. |