Механика. Законы сохранения лабораторный практикум Краснодар 2020
 Скачать 3.18 Mb.
|
|
О ПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ Установка предназначена для измерения скоростей двух подвижных вагонеток до и после их столкновения как упругого, так и неупругого. Общий вид установки в собранном виде представлен на рис. 7.7. Рис. 7.7. Фотография экспериментальной установки 99 Установка состоит из алюминиевого рельса (трека) 1 длиной 1,5 м, в котором есть отверстия для создания воздушной подушки. Воздух поступает в рельс через воздуховод 2 с помощью регулируемой воздуходувки. Рельс устанавливается горизонтально на лабораторном столе с помощью регулировочных опор 3, которые можно поворачивать вокруг своей оси для горизонтирования трека. Вдоль рельса могут скользить две вагонетки 4 на воздушной подушке, обеспечивающей малое трение. Масса каждой вагонетки 0,210 кг. Для измерения скорости на каждой вагонетке сверху прикреплен легкий темный экран 5 длиной 0,1 м. При движении вагонетки экран на какое-то время перекрывает световой поток, идущий от источника к приемнику в фотоэлектрических датчиках 6. Время перекрытия светового потока регистрируется с помощью цифрового измерительного прибора Cobra 3 Basic Unit 7. Массу вагонеток можно менять при помощи набора гирь 8, которые надеваются на стержни, расположенные по бокам вагонеток. Вагонеткам сообщается импульс с помощью спускового устройства 9. Упругое и неупругое соударения вагонеток обеспечиваются с помощью набора насадок 10. В случае упругого удара насадки состоят из упругого шнура и штока, упруго ударяющегося о шнур. В случае неупругого удара насадки состоят из заполненного пластилином цилиндра и иглы, застревающей в пластилине при ударе. Зная скорость вагонетки и массу, легко вычислить ее импульс. Масса вагонетки вычисляется суммированием массы самой вагонетки (0,210 кг) и суммарной массы закрепленных на ней гирь. Модуль скорости первой вагонетки до удара и второй вагонетки после упругого соударения (или обеих в случае неупругого удара) вычисляется следующим образом: 𝑉 = 𝑙 𝑡 ⁄ ‚ (7.21) где 𝑙 – длина темного экрана (0,1 м); 𝑡 – время перекрытия светового потока в фотоэлектрических датчиках, которое считывается в соответствующем окне цифрового измерительного прибора Cobra 3 Basic Unit. 100 П ОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Техника безопасности При запуске, обслуживании и уходе за прибором следует соблюдать меры безопасности, согласно общим правилам по безопасности труда для устройств, в которых имеются напряжения до 250 В. Не допускать перегрева воздуходувки. Для этого необходимо не допускать работу воздуходувки на мощности, близкой к максимальной, более 2 минут. Рекомендованный режим работы воздуходувки – регулятор мощности находится в среднем положении. Вагонетки следует запускать, используя только спусковое устройство. Включение прибора, проведение измерений и любые другие манипуляции с лабораторным оборудованием допускаются только с разрешения преподавателя или лаборанта и только при их личном присутствии в лаборатории. Подготовка установки к работе 1. Собрать установку, как показано на рис. 7.7, с насадками на тележках для упругих соударений. Расстояние между фотоэлектрическими датчиками должно быть около метра, режим работы Cobra 3 Basic Unit: 1⃗⃗⃖⃗ − 3⃖⃗⃗⃗. 2. Поскольку движущиеся тележки могут нанести механические травмы и вызвать порчу лабораторного оборудования, необходимо перед запуском тележек убедиться, что на пути их движения нет посторонних предметов и экраны на тележках могут свободно проходить через фотоэлектрические датчики, не задевая их. 3. Подключить воздуходувку и универсальный цифровой измерительный прибор Cobra 3 Basic Unit к сети и включить их. 4. Установить вагонетки рядом с фотоэлектрическими датчиками. Включить установку и установить среднюю мощность работы. Если вагонетки начинают самопроизвольно перемещаться, необходимо отрегулировать горизонтальность рельса (воздушного трека) с помощью регулировочных опор. 101 5. Провести серию калибровочных экспериментов с вагонетками одинаковых масс для упругих соударений: первую вагонетку установить вплотную к спусковому устройству, вторую установить между фотоэлектрическими датчиками. Провести серию опытов и выяснить, совпадают ли времена (соответственно скорости и импульсы до и после соударения) перекрытия световых потоков в первом и во втором фотоэлектрических датчиках. Если нет, то в последующих опытах учитывать эту поправку. Задание 1. Проверить законы сохранения импульса и кинетической энергии при упругом соударении вагонеток; на основе полученных экспериментальных данных построить графики зависимости импульсов и кинетических энергий от отношения масс вагонеток. 1. Надеть на вагонетки набор насадок для моделирования упругого удара. 2. Надеть 10 гирь, каждая массой по 0,01 кг симметрично на штыри первой вагонетки. 3. Поставить первую вагонетку на левый конец рельса вплотную к пусковому устройству, которое должно передавать ей один и тот же импульс при каждом толчке. Правую тележку установить посередине между световыми барьерами. 4. Сообщить импульс нагруженной гирями (массой 0,21 + 0,1 кг) первой вагонетке, которая в процессе движения должна на время 𝑡 1 заблокировать световой поток в первом фотоэлектрическом датчике до столкновения со второй неподвижной вагонеткой (массой 0,21 кг). После столкновения две тележки должны пройти через первый и второй фотоэлектрические датчики, которые теперь измеряют времена 𝑡 1 ′ и 𝑡 2 ′ блокировок световых потоков после столкновения первой и второй вагонеток соответственно. При необходимости провести эксперимент повторно. 5. Перенести одну гирю с первой вагонетки на вторую. 6. Повторять действия, описанные в пунктах 3–5, пока все гири не окажутся на второй вагонетке. 102 7. По формуле (7.21) вычислить скорость 𝑉 1 первой вагонетки до удара для всех времен, измеренных в экспериментах. Так же вычислить соответствующие импульсы 𝑝 1 и кинетические энергии 𝐸 1 для различных масс первой вагонетки до удара. Они должны быть приблизительно одинаковыми во всех экспериментах. 8. По формуле (7.21) вычислить скорости 𝑉 1 ′ и 𝑉 2 ′ первой и второй вагонеток после соударения для всех времен, измеренных в экспериментах. Вычислить соответствующие импульсы 𝑝 1 ′ и 𝑝 2 ′ , кинетические 𝐸 1 ′ и 𝐸 2 ′ энергии вагонеток после соударения. 9. По формулам (7.6)–(7.9) вычислить теоретические значения импульсов и кинетических энергий вагонеток после упругого соударения. Оценить погрешности полученных величин. Занести полученные значения в табл. 7.1. 10. Нанести полученные значения на графики зависимости импульса/энергии от отношения масс вагонеток при упругом ударе. 11. Провести анализ полученных результатов и сделать выводы. Таблица 7.1 Значения физических параметров вагонеток при упругом ударе Параметр 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝑚 1 / 𝑚 2 𝑝 1 , кг·м/с 𝑝 1 ′ , кг·м/с 𝑝 2 ′ , кг·м/с 𝑝 теор 1 ′ , кг·м/с 𝑝 теор 2 ′ , кг·м/с 𝐸 1 , Дж 𝐸 1 ′ , Дж 𝐸 2 ′ , Дж 𝐸 теор 1 ′ , Дж 𝐸 теор 2 ′ , Дж 103 Задание 2. Проверить закон сохранения импульса при неупругом соударении вагонеток; на основе полученных экспериментальных данных построить графики зависимости импульсов и кинетических энергий от отношения масс вагонеток. 1. Надеть на вагонетки набор насадок для моделирования неупругого удара. 2. Далее ход проведения экспериментов и расчетов скорости, импульса и энергии первой вагонетки до удара аналогичен действиям, описанным в пунктах 2–8 в первом задании, за исключением того, что после неупругого соударения вагонетки будут двигаться вместе, как единое целое. Так как после столкновения две тележки движутся вместе, то один световой поток фотоэлектрического датчика будет поочередно пересекаться двумя экранами на двух тележках. В результате прибор покажет два почти одинаковых времени 𝑡 1 ′ и 𝑡 2 ′ . Для численных расчетов нужно брать среднее значение этих двух времен: 𝑡 ′ = (𝑡 1 ′ + 𝑡 2 ′ ) 2 ⁄ . Затем вычислить скорости 𝑉 ′ , импульсы 𝑝 ′ , кинетические энергии 𝐸 ′ и ее потери для слипшихся вагонеток. 3. Насадку с пластилином необходимо полностью и равномерно наполнять пластилином после каждого столкновения, чтобы гарантировать неупругий удар между вагонетками. В противном случае это может привести к большим расхождениям экспериментальных данных с теоретическими расчетами. 4. По формулам (7.12)–(7.20) вычислить теоретические значения скоростей, импульсов, кинетических энергий и ее потерь для вагонеток после их неупругого соударения. 5. Оценить погрешности полученных величин. Занести полученные значения в табл. 7.2. 6. Нанести полученные значения на графики зависимости импульса/энергии от отношения масс вагонеток при неупругом ударе. 7. Провести анализ полученных результатов и сделать выводы. 104 Таблица 7.2 Значения физических параметров вагонеток при неупругом ударе Параметр 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝑚 1 / 𝑚 2 𝑝 1 , кг·м/с 𝑝 1 ′ , кг·м/с 𝑝 2 ′ , кг·м/с 𝑝 теор 1 ′ , кг·м/с 𝑝 теор 2 ′ , кг·м/с 𝐸 1 , Дж 𝐸 1 ′ , Дж 𝐸 2 ′ , Дж 𝐸 1 ′ + 𝐸 2 ′ , Дж 𝐸 теор 1 ′ , Дж 𝐸 теор 2 ′ , Дж 𝐸 теор 1 ′ + 𝐸 теор 2 ′ , Дж Δ𝐸, Дж Контрольные вопросы и задания 1. Назовите все фундаментальные виды взаимодействий. Каковы их относительные силы? Каковы их радиусы действий? 2. Сформулируйте принцип суперпозиции сил, действующих на частицу. 3. Назовите все классические законы сохранения. Напишите соответствующие им формулы в векторной и скалярных формах. 4. Для каких систем применимы законы сохранения? 5. Сформулируйте законы Ньютона. Что такое инерциальная система отсчета? 6. Какие системы отсчета называются неинерциальными? Приведите примеры неинерциальных систем. 7. Напишите основное уравнение динамики поступательного движения. 105 8. Напишите основное уравнение динамики вращательного движения. 9. Какая точка называется центром масс? Как определить координаты этой точки? Сформулируйте теорему о движении центра масс. 10. Что понимают под внутренней энергией тела? Зависит ли внутренняя энергия тела от системы отсчета? Почему? 11. Приведите примеры движений тел под действием постоянных сил. Какова в общем случае форма его траектории? 12. Какие законы сохранения выполняются при абсолютно упругом ударе? Напишите эти законы для случая двух сталкивающихся шаров на горизонтальной поверхности. 13. Какой удар называется абсолютно упругим? Абсолютно неупругим? 14. Какие законы сохранения выполняются при неупругом соударении? 15. Какие законы сохранения выполняются при абсолютно неупругом ударе? Напишите эти законы для случая двух сталкивающихся шаров на горизонтальной поверхности. 16. Какими свойствами пространства и времени обуславливается справедливость законов сохранения? 17. Какие силы действуют на вагонетку при ее движении? Куда направлена их векторная сумма? Куда направлено суммарное ускорение вагонетки? 18. Если на горизонтальной поверхности сталкиваются два шара равной массы при условии, что до удара второй шар был неподвижен, а первый шар двигался со скоростью 10 м/с, то чему равны скорости первого и второго шаров после абсолютно неупругого удара? 19. Почему при моделировании абсолютно упругого удара используется резиновый жгут? 20. От каких физических параметров зависит потеря кинетической энергии вагонетками при неупругом ударе? 21. Объясните причину невыполнения закона сохранения кинетической энергии. Объясните возникшее расхождение значений импульсов до и после столкновений. 106 22. Как свести потери энергии в данных экспериментах с вагонетками, движущимися вдоль рельса на воздушной подушке, к минимуму? 23. Как определяются погрешности однократных измерений? 24. Как определяются погрешности многократных измерений? 25. Снаряд, выпущенный вертикально вверх, разорвался в верхней точке траектории. Первый осколок массой 1 кг приобрел скорость 400 м/с, направленную горизонтально. Второй осколок массой 1,5 кг полетел вверх со скоростью 200 м/с. Какова скорость третьего осколка, если его масса равна 2 кг? 26. Вагон массой 𝑚 = 4×10 4 кг, движущийся со скоростью 𝑣 = 2 м/с, в конце запасного пути ударяется о пружинный амортизатор. На сколько он сожмёт пружину амортизатора, жёсткость которой 𝑘 = 2,25∙10 6 Н/м? Рекомендуемая литература Абрамов С.М. Механика: учеб. пособие. 2-е изд., стер. М.: ФЛИНТА, 2018. URL: https://e.lanbook.com/book/116348. Березина Н.А. Теоретическая механика: учеб. пособие. М.: ФЛИНТА, 2015. URL: https://e.lanbook.com/book/70322. Диевский В.А. Теоретическая механика: учеб. пособие. 4-е изд., испр. и доп. СПб.: Лань, 2016. URL: https://e.lanbook.com/book/71745. Иродов И.Е. Механика. Основные законы: учеб. пособие. 13-е изд. М.: Лаборатория знаний, 2017. URL: https://e.lanbook.com/book/94115. Кузнецов С.И., Подзеева Э.В. Физика: учеб. пособие; в 2 ч. Ч. 1: Механика. Механические колебания и волны. Молекулярная физика и термодинамика. URL: https://e.lanbook.com/book/10288. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учеб. пособие для вузов в 10 т.: Механика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. Т. 1. 107 Методы обработки результатов измерений и оценки погрешностей в учебном лабораторном практикуме: учеб. пособие. 2-е изд. Томск: ТПУ, 2017. URL: https://e.lanbook.com/book/106764. Нарыжный В.А. Динамика: учеб. пособие по теоретической механике. М.: Московский инженерно-физический институт, 2012. URL: https://e.lanbook.com/book/75953. Савельев И.В. Курс физики: учеб. пособие; в 3 т.: Механика. Молекулярная физика. 7-е изд., стер. СПб.: Лань. Т. 1. URL: https://e.lanbook.com/book/106894. Учайкин В.В. Механика. Основы механики сплошных сред: учебник. 2-е изд., стер. СПб.: Лань, 2017. URL: https://e.lanbook.com/book/91899. Физические основы механики / Ш.А. Пиралишвили [и др.]. М.: Лань, 2017. URL: https://e.lanbook.com/reader/book/91291/#1. 108 Лабораторная работа № 8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ СТЕРЖНЯ ПО ИЗГИБУ Цель работы – по прогибу стержня вычислить модуль Юнга материала и определить состав, из которого изготовлен стержень. Приборы и принадлежности: установка для определения модуля упругости, индикатор измерения длины часового типа, стержни различной толщины, ширины и диаметра, держатель подвеса (стремя), подвес для гирь, набор гирь с прорезью. К РАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Деформация – это изменение объема или формы тела без изменения его массы под действием внешней силы (или сил). В зависимости от точек приложения внешних сил и их направлений различают разные виды деформации: растяжения (сжатия), сдвига, кручения и изгиба. Однако все возможные виды деформации, как бы они не были сложны, могут быть сведены к той или иной комбинации двух основных деформаций: растяжению (или сжатию) и сдвигу, называемым элементарными деформациями. При деформации растяжения или сжатия под действием внешних сил тело растягивается или сжимается. Деформацию растяжения испытывают тросы, канаты, цепи в подъемных устройствах, сцепки между вагонами и т.д. Деформацию сжатия испытывают колонны, стены, фундаменты зданий. При деформации сдвига под действием внешних сил одна часть тела сдвигается относительно другой. Деформациям сдвига подвержены, например, заклепки и болты, скрепляющие детали. При этих деформациях может произойти разрушения тела – срез. Срез происходит, например, при работе ножниц, долота, зубила, зубьев пилы. Деформации изгиба и кручения принадлежат к числу сложных деформаций. Их можно представить как сочетание элементарных деформаций, происходящих одновременно. При 109 деформации кручения отдельные слои тела остаются параллельными, но поворачиваются друг относительно друга на некоторый угол. Деформациям кручения подвергаются валы машин, сверла, болты при закручивании гаек и т.д. При деформации изгиба тело под действием внешних сил изгибается. При этом одни слои тела растягивается, другие сжимаются, а длина некоторого среднего слоя, который называется нейтральным, не изменяется. На рис. 8.1 схематично изображены элементарные и сложные виды деформации тел. Рис. 8.1. Схемы элементарных и сложных деформаций некоторого тела: а–в ‒ деформации сжатия, растяжения и сдвига соответственно; г–д ‒ кручения и изгиба Упругими называются деформации, исчезающие после снятия внешнего воздействия. Силами упругости называются силы, возникающие при упругих деформациях. Природа этих сил, как и природа сил трения, связана с межмолекулярными взаимодействиями, которые, в свою очередь, объясняются электромагнитной теорией. Во время деформации твердого тела атомы (молекулы или ионы), находящиеся в узлах кристаллической решетки, смещаются из своего положения равновесия. Этому смещению препятствуют силы взаимодействия между частицами, удерживающие эти частицы на определенном расстоянии друг от друга. Поэтому, при любом виде упругой деформации тел в них возникают внутренние силы, препятствующие изменению его формы. На рис. 8.2 схематично изображено появление таких внутренних сил. 110 Рис. 8.2. Схемы, поясняющие возникновение внутренних сил упругости: 1 ‒ расположение атомов (молекул или ионов), находящихся в положении равновесия до приложения силы; 2 ‒ возникновение внутренних сил упругости при смещении атомов (молекул или ионов) под действием внешней силы Силы, возникающие в теле при его упругой деформации и направленные против смещения частиц тела, называются силами упругости. Силы упругости препятствуют изменению размеров и формы тела, действуют в любом сечении деформированного тела, а также в месте его контакта с телом, вызывающим деформацию. Неупругие деформации твердого тела, сопровождающиеся необратимой перестройкой его кристаллической решетки, т.е. сохраняющиеся после прекращения действия сил, называются пластическими (остаточными). В основе пластических деформаций лежат необратимые перемещения атомов на значительные расстояния от исходных положений равновесия. Способность веществ пластически деформироваться называется пластичностью. При пластическом деформировании, например, металла одновременно с изменением формы меняется ряд свойств, в частности, при холодном деформировании повышается прочность. Все твердые тела могут быть деформированы и упруго, и пластически в зависимости от величины приложенных сил. При достаточно малых силах твердые тела деформируются упруго. Очевидно, что в деталях различного рода технических сооружений, машин и других объектов, предназначенных для длительной работы, допускаются только упругие деформации. 111 Для упругих тел между действующими силами и вызванными ими деформациями существует однозначная зависимость (при пластических деформациях такой однозначности нет). Рассмотрим деформацию растяжения на примере однородного и изотропного образца, например, проволоки. Пусть верхний конец проволоки закреплен, а на нижний действует сила 𝐹⃗ (рис. 8.3). В качестве меры деформации растяжения используют абсолютное удлинение Δ𝑙 = 𝑙 − 𝑙 0 или относительное удлинение ε = Δ𝑙/𝑙 0 , где 𝑙 0 – начальная длина проволоки, а 𝑙 – ее длина под действием растягивающей силы. Относительное удлинение ε рассчитывается на единицу начальной длины и поэтому, в отличие от абсолютного удлинения Δ𝑙, от длины проволоки не зависит. Рис. 8.3. Схематичное изображение элемента проволоки с действующими на него силами Из условия равновесия следует, что со стороны соседних частей проволоки на концы рассматриваемого участка действуют равные по величине, но противоположно направленные силы 𝐹⃗. Это силы упругости, возникшие в проволоке в результате ее деформации. Если деформация однородная, то каждая из сил 112 равномерно распределена по поверхности поперечного сечения проволоки 𝑆. Величина σ = 𝐹/𝑆 определяет упругую силу, действующую на единицу площадки, перпендикулярной направлению силы. Она называется нормальным напряжением. При однородной деформации нормальное напряжение одинаково в любом поперечном сечении образца. При неоднородной деформации в разных точках неоднородно деформированного образца напряжение 𝜎 разное, поэтому нормальное напряжение следует определить как величину σ = 𝑑𝐹/𝑑𝑆. Здесь площадка 𝑑𝑆 выбирается настолько малой, что в ее пределах деформацию можно считать однородной, а сама площадка должна быть ориентирована перпендикулярно к силе 𝑑𝐹. В пределах упругих деформаций экспериментально установлено, что нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению (закон Гука для деформации растяжения): σ = ε𝐸, (8.1) где 𝐸 ‒ коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости (модулем Юнга) материала образца. Модуль Юнга при продольной деформации численно равен нормальному напряжению, которое возникло бы в теле при его относительном удлинении, равном единице, если бы деформация оставалась упругой, а длина тела увеличилась бы в два раза. Зависимость нормального напряжения σ от относительного удлинения ε изображена на рис. 8.4. При малых деформациях (от 0 до ε 𝑛 ) выполняется закон Гука; это практически линейный участок 𝑂𝑎. Максимальное напряжение σ 𝑛 , соответствующее этому участку, называется пределом пропорциональности. Предел упругости σ 𝑦 ‒ это максимальное напряжение, при котором еще сохраняются упругие свойства тела. На участке 𝑎𝑏 деформация нелинейная, но еще упругая (обычно этот участок очень малый: σ 𝑦 больше σ 𝑛 на доли процента). При напряжениях, больших σ 𝑦 , деформация становится пластической: в теле после снятия нагрузки наблюдается остаточная деформация ε 0 . При напряжениях σ 𝑇 удлинение нарастает практически без 113 увеличения нагрузки. Это область текучести материала (участок 𝑐𝑑). На участке 𝑑𝑒 происходит некоторое упрочение образца. После достижения максимального значения σ 𝑑 – предела прочности – напряжение резко уменьшается, и образец разрушается (точка 𝑓 на графике). Рис. 8.4. Зависимость нормального напряжения σ от относительного удлинения ε Материалы, у которых область текучести 𝑐𝑑 значительна, могут без разрушения выдерживать большие деформации. Если же область текучести материала почти отсутствует, он без разрушения сможет выдержать лишь небольшие деформации. Такие материалы называются хрупкими. Примерами хрупких материалов могут служить стекло, кирпич, бетон, чугун. Найдем теперь аналитическое выражение для вычисления модуля Юнга при упругом прогибе стержня. Деформация стержня при его упругом изгибе характеризуется стрелой прогиба λ, т.е. расстоянием, на которое смещается середина стержня под действием приложенной силы (рис. 8.5). 114 Пусть стержень длины 𝐿 лежит на двух опорах, к середине стержня приложена некоторая нагрузка 𝑃⃗⃗. Из условия равновесия (сумма сил равна 0) и симметрии задачи справедливо записать следующее соотношение: 𝑁 = 𝑁 ′ = 𝑃 2 . (8.2) Рис. 8.5. Схема, показывающая направление сил, действующих на стержень, лежащий на двух опорах, с центральной нагрузкой Рассмотрим малый участок данного изогнутого стержня (рис. 8.6). Легко понять, что при таком изгибе верхние слои стержня будут сжиматься, нижние – растягиваться, а некоторый средний слой, который называют нейтральным слоем, сохранит длину и только претерпит искривление. Пусть длина нейтрального слоя CC' равна 𝑑𝑙 0 . Данный участок представляет собой дугу опирающуюся на радиус кривизны 𝑅 и лежащую напротив малого угла 𝑑α. Тогда можно записать: 𝑑𝑙 0 = 𝑅 𝑑α. (8.3) Длина нижнего слоя 𝐴𝐴 ′ равна: 𝑑𝑙 = (𝑅 + ξ)𝑑α. (8.4) Тогда изменение длины нижнего слоя 𝐴𝐴 ′ под нагрузкой можно записать следующим образом: Δ𝑙 = 𝑑𝑙 − 𝑑𝑙 0 = ξ𝑑α. (8.5) Следовательно, относительное изменение длины слоя можно записать в следующем виде: ε = Δ𝑙 𝑑𝑙 0 = ξ 𝑅 . (8.6) 115 Рис. 8.6. Схема бесконечно малого участка изогнутого стержня: верхний слой BB' подвергся сжатию, нижний слой AA' подвергся растяжению, а слой CC' не изменил своей длины Выражение для нормального напряжения в нижнем слое, с учетом формул (8.1) и (8.6) можно записать следующим образом: σ = 𝐸 ξ 𝑅 . (8.7) Сила, которая действует на поперечное сечение 𝑆 стержня, проходящее через линию, например, ABC, равна: 𝐹 = ∫ σ𝑑𝑆 𝑆 = 𝐸 𝑅 ∫ ξ𝑑𝑆. 𝑆 (8.8) Очевидно, что суммарная сила равна нулю. Модуль вращающего момента относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку 𝐶, равен: 116 𝑀 = ∫ ξ𝑑𝐹 = 𝐸 𝑅 ∫ ξ 2 𝑑𝑆 𝑆 = 𝐸 𝑅 𝐼, (8.9) где величину 𝐼 называют моментом инерции поперечного сечения. Сама эта величина имеет только геометрический смысл. Отсечем мысленно часть стержня до произвольной точки 𝑥 (рис. 8.7). Тогда на эту часть стержня будет действовать сила, в соответствии с формулой (8.2), равная 𝑃/2, направленная вниз, которая создает вращающий момент: 𝑀 = 𝑃𝑥/2. (8.10) Рис. 8.7. Поясняющая схема к расчету величины стрелы прогиба Сравнивая формулы (8.9) и (8.10), получаем следующие соотношения: 1 𝑅 = 𝑃 2𝐸𝐼 𝑥. (8.11) Из курса математического анализа известно, что для плоской кривой 𝑦 = 𝑓(𝑥), заданной аналитически, радиус кривизны можно определить как: 𝑅 = (1 + 𝑓 ′2 ) 3/2 |𝑓 ′′ | . (8.12) Если считать, что 𝑓 ′ (𝑥) ≪ 1, то уравнение (8.12) можно упростить и переписать в следующем виде: 𝑅 = 1 |𝑓 ′′ | . (8.13) 117 Тогда окончательно получаем дифференциальное уравнение второго порядка: 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 = ℎ𝑥, (8.14) где введена величина ℎ = 𝑃/2𝐸𝐼. Это уравнение имеет решение в следующем общем виде: 𝑦 = ℎ 𝑥 3 6 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 1 𝑥 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 2 . (8.15) Из рис. 8.5 и 8.7 видно, что 𝑦(0) = 0, т.е. при 𝑥 = 0, следовательно, 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 2 = 0. При 𝑥 = 𝐿/2 функция имеет минимум, тогда первая производная функции в этой точке обращается в ноль. Откуда 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 1 = −ℎ𝐿 2 /8. Таким образом, можно записать уравнение линии изгиба стержня в явном виде: 𝑦 = ℎ 𝑥 3 6 − ℎ 𝐿 2 8 𝑥. (8.16) При 𝑥 = 𝐿/2, т.е. в центре стержня и, соответственно, в точке приложения силы, уравнение (8.16) можно переписать в следующем виде: 𝑦 = ℎ 𝐿 3 48 − ℎ 𝐿 3 16 = −ℎ 𝐿 3 24 . (8.17) Модуль величины в выражении (17) и есть так называемая стрела прогиба (рис. 8.7): λ = 𝑃𝐿 3 48𝐸𝐼 . (8.18) На рис. 8.8 представлена схема поперечного сечения стержня прямоугольной формы. Пусть толщина и ширина стержня равны соответственно 𝑎 и 𝑏, тогда момент инерции поперечного сечения равен: 𝐼 = ∫ ξ 2 𝑑𝑆 𝑆 = ∫ ∫ 𝑦 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑏/2 −𝑏/2 𝑎/2 −𝑎/2 = 𝑎 3 𝑏 12 . (8.19) 118 Рис. 8.8. Поясняющая схема к вычислению момента инерции поперечного сечения прямоугольного стержня Подставив найденное значение момента инерции поперечного сечения для прямоугольного стержня в формулу (8.18), найдем формулу связи стрелы прогиба прямоугольного стержня от его геометрических размеров и физических параметров: λ = 𝑃𝐿 3 4𝐸𝑎 3 𝑏 . (8.20) Из формулы (8.20) легко получить выражение для вычисления значения модуля Юнга: 𝐸 = 𝑃𝐿 3 4λ𝑎 3 𝑏 . (8.21) Если же стержень в поперечном сечении является круглым (рис. 8.9), то для круглого сечения радиуса 𝑟 или диаметра 𝐷 момент инерции поперечного сечения равен: 𝐼 = ∫ ξ 2 𝑑𝑆 𝑆 = ∫ ∫ ξ 2 𝑟𝑑𝑟𝑑φ = = ∫ 𝑟 3 𝑑𝑟 ∫ 𝑠𝑖𝑛 2 φ𝑑φ 2π 0 𝑟 0 = 𝑟 4 4 π = 𝐷 4 64 π. (8.22) Здесь ξ = 𝑟𝑠𝑖𝑛φ. Тогда величина стрелы прогиба для стержня круглого сечения вычисляется по следующей формуле: λ = 4𝑃𝐿 3 3π𝐸𝐷 4 . (8.23) 119 Рис. 8.9. Поясняющая схема к вычислению момента инерции поперечного сечения круглого стержня Из формулы (8.23) легко получить выражение для вычисления значения модуля Юнга: 𝐸 = 4𝑃𝐿 3 3πλ𝐷 4 . (8.24) По формулам (8.21) и (8.24) вычисляют значения модуля Юнга для стержней соответствующих геометрических размеров и форм. |