О
ПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ
Фотография полностью собранной экспериментальной установки с обозначениями представлена на рис. 5.5.
Оборотный маятник 1 представляет из себя цилиндрический стержень из нержавеющей стали длиной 750 мм. На маятник устанавливаются две одинаковые металлические передвижные
69 втулки 2 с фиксирующими винтами. С помощью двух струбцин 3 к полке лабораторного стола крепятся два стержня квадратного сечения 5, третий квадратный стержень закрепляется в устойчивый треножник с отверстием 4.
Рис. 5.5. Фотография экспериментальной установки
70
Опорные призмы
6, являющиеся осью качения маятника, закрепляются на двух квадратных стержнях соответствующими зажимами. Фиксатор
7 устанавливается на третьем стержне квадратного сечения. С помощью фиксатора
7 устанавливают
Cobra 3 фотоэлектрический датчик
8 на необходимой высоте.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫТехника безопасности Не допускать опрокидывания установки. При установке и смене положения металлических передвижных втулок с фиксирующими винтами на металлический стержень необходимо плотно закручивать фиксирующие винты во избежание их перемещения во время работы и падения маятника. При выполнении любых подготовительных работ следует отключить фотоэлектрический датчик Cobra 3 и блок питания от сети. При сборке установки необходимо плотно закручивать все фиксирующие винты.
Не допускать чрезмерной нагрузки на опорные призмы во избежание их повреждения!
Подготовка установки к работе 1.
Собрать установку, как показано на рис. 5.5.
Струбцины необходимо закрепить на полке лабораторного стенда на таком расстоянии, чтобы оборотный маятник с передвижными втулками мог свободно совершать колебания и не соскальзывать с опорных призм при малейшем отклонении влево или вправо от центрального положения.
Опорные призмы должны располагаться строго на одном уровне.
2.
Период малых колебаний (5–10°) маятника определяют с помощью фотоэлектрического датчика Cobra 3 со счетчиком, который необходимо перевести в режим измерения периода
(переключатель сдвинут вправо), устанавливают в точке максимального отклонения маятника. В этом случае время, прошедшее между двумя последовательными положениями маятника,
регистрируется в одинаковой фазе, когда маятник
71 перестает перекрывать инфракрасный луч. Маятник не должен касаться корпуса фотоэлектрического датчика. Поэтому высоту расположения датчика необходимо изменять одновременно с передвижением опорной втулки на соответствующие расстояния.
3.
После всех описанных подготовительных работ подключить фотоэлектрический датчик Cobra 3 к блоку питания, а блок питания включить в сеть. Провести несколько пробных измерений.
Задание 1. Определить приведенную длину оборотного
маятника и вычислить значение ускорения свободного падения
по методу Бесселя.
1.
Закрепить одну передвижную опорную втулку на стержне на расстоянии 8-10 см от его конца (точка подвеса O
1
и ось качания O
1
Z). Другую втулку закрепить на стержне на расстоянии 60 см от первой (точка подвеса O
2
и ось качания O
2
Z).
Положение первой втулки в ходе выполнения данного задания не должно изменяться.
2.
Поместить маятник на ось качания O
1
Z и измерить период 𝑇
1
малых колебаний маятника.
Рис. 5.6. График зависимости 𝑇
2
(𝑙) и 𝑇
1
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
72 3.
Маятник перевернуть так, чтобы на оси качания находилась другая втулка и маятник мог совершать колебания относительно оси O
2
Z.
4.
Определить период 𝑇
2
малых колебаний маятника как функцию расстояния 𝑙 между соответствующими точками подвеса O
1
и O
2
. Изменять расстояние 𝑙 рекомендуется в диапазоне от 60 до 34 см с шагом не более 2 см. Измерения рекомендуется проводить при помощи длинной линейки или рулетки с точностью не менее ± 1 мм.
5.
Все измеренные значения занести в табл. 5.1.
6.
Построить график зависимости периода 𝑇
2
колебаний маятника от расстояния 𝑙 между точками подвеса O
1
и O
2
Типичный вид такого графика приведен на рис. 5.6.
Таблица 5.1
Значения измеренных параметров оборотного маятника
№
Расстояние 𝑙, м
Период 𝑇
1
, с
Период 𝑇
2
, с
1 0,600 2
0,580 3
0,560 4
0,540 5
0,520 6
0,500 7
0,480 8
0,460 9
0,440 10 0,420 11 0,400 12 0,380 13 0,360 14 0,340 7.
Используя построенный график, по соответствующим точкам, которые находятся пересечением графиков зависимостей
73
𝑇
2
(𝑙) и 𝑇
1
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, определить приведенную длину 𝑙
пр оборотного маятника.
8.
По формуле (5.13) вычислить значение ускорения свободного падения.
9.
Оценить абсолютную и относительную погрешности полученного значения ускорения свободного падения. Все вычисленные величины занести в табл. 5.2.
10. Проанализировать полученные результаты.
Таблица 5.2 Значения вычисленных параметров с помощью оборотного маятника по методу Бесселя
Приведенная длина 𝑙
пр
, м
Значение ускорения свободного падения 𝑔, м/с
2
Абсолютная погрешность Δ𝑔, м/с
2
Относительная погрешность ε, %
Истинное значение ускорения свободного падения на широте г. Краснодара вблизи поверхности Земли 𝑔
ист
, м/с
2 9,8060
Задание 2.
Определить приведенную длину физического маятника и вычислить значение ускорения свободного падения в асимметричном случае. При определении приведенной длины 𝑙
пр в предыдущем задании не было принято во внимание изменение момента инерции маятника и перенос центра масс в результате смещения второй втулки, поддерживающей маятник на оси качания
O2
Z.
Эта ошибка становится очевидной при контрольном измерении периода 𝑇
1
. В связи с этим возможно с помощью несколько другой методики проведения эксперимента найти приведенную длину маятника и вычислить ускорение свободного падения.
1.
После выполнения действий, описанных в пунктах 1–6 задания 1,
перевернуть маятник так, чтобы точкой подвеса и осью качания были
O1
и
O1
Z соответственно.
74 2.
Определить период 𝑇
1
малых колебаний маятника как функцию расстояния 𝑙 между соответствующими точками подвеса O
1
и O
2
. Изменять расстояние 𝑙 рекомендуется в диапазоне от 34 до 60 см с шагом не более 2 см.
3.
Все измеренные значения занести в табл. 5.3. Значение периода 𝑇 находится графически – по соответствующей точке пересечения графиков зависимостей 𝑇
2
(𝑙) и 𝑇
1
(𝑙).
4.
Построить на одном графике зависимости 𝑇
2
(𝑙) и 𝑇
1
(𝑙).
Типичный вид такого графика приведен на рис. 5.7.
5.
В точке пересечения графиков определить значение периода 𝑇 и приведенную длину 𝑙
пр
= 𝑙
𝑎
оборотного маятника.
6.
Используя полученные значения, по формуле (5.13) вычислить значение ускорения свободного падения.
7.
Оценить абсолютную и относительную погрешности полученного значения ускорения свободного падения. Все вычисленные величины занести в табл. 5.4.
8.
Сравнить полученные результаты со значениями, полученными в первом задании и сделать соответствующие выводы.
Рис. 5.7. График зависимостей 𝑇
2
(𝑙) и 𝑇
1
(𝑙)
75
Таблица 5.3
Значения параметров физического маятника
№
Расстояние 𝑙, м
Период 𝑇
1
, с
Период 𝑇, с
1 0,340 2
0,360 3
0,380 4
0,400 5
0,420 6
0,440 7
0,460 8
0,480 9
0,500 10 0,520 11 0,540 12 0,560 13 0,580 14 0,600
Таблица 5.4
Значения вычисленных параметров с помощью оборотного маятника асимметричным способом
Приведенная длина 𝑙
𝑎
= 𝑙
пр
, м
Значение ускорения свободного падения 𝑔, м/с
2
Абсолютная погрешность Δ𝑔, м/с
2
Относительная погрешность ε, %
Истинное значение ускорения свободного падения на широте г. Краснодара вблизи поверхности Земли 𝑔
ист
, м/с
2 9,8060
Задание 3. Определить радиус инерции физического
маятника.
1.
Снять обе передвижные втулки с металлического стержня.
76 2.
Найти середину (центр инерции) металлического стержня, поставив соответствующую отметку.
3.
На расстоянии 2–4 см от отметки закрепить одну металлическую втулку.
4.
Поместить маятник на опорные призмы и измерить соответствующий период малых колебаний маятника.
5.
С шагом не более 2 см постепенно отдалять втулку от центра инерции маятника, проводя соответствующие измерения периодов малых колебаний.
6.
Заполнить табл. 5.5.
7.
Построить график зависимости периода 𝑇 малых колебаний маятника от расстояния 𝑠. Типичный вид такого графика приведен на рис. 5.2.
8.
По построенному графику найти величину 𝑠
0
радиуса инерции для данного физического маятника.
Таблица 5.5
Значения измеренных параметров оборотного маятника
Расстояние
𝐿
от края стержня до центра инерции, м
Расстояние 𝑠 от точки подвеса до центра инерции маятника, м
Период 𝑇, с
0,350 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100
…
0,300
Контрольные вопросы и задания
1.
Какие процессы называются колебательными?
Что такое колебательное движение?
2.
Какое движение называется равноускоренным?
Что называют свободным падением?
77 3.
Зависит ли значение ускорения свободного падения от места на земном шаре, в котором пытаются его измерить?
4.
Дайте физически корректное определение понятию инертной массы тела.
5.
Какие виды колебаний существуют?
6.
Какие колебания называются гармоническими?
7.
Дайте определение периода колебаний. Какую величину называют частотой колебаний?
8.
Какая физическая величина называется амплитудой колебаний?
9.
Что называют фазой колебаний?
10. Как
определить периоды колебаний физического, математического и пружинного маятников?
11. Что такое момент инерции? Является ли эта величина аддитивной?
12. Сформулируйте теорему Штейнера и запишите соответствующие математические выражения.
13. Зависит ли период колебаний физического маятника от его массы?
14. Почему важным условием в данной работе являются малые углы отклонения физического маятника от положения равновесия?
15. Что называют приведенной длиной данного физического маятника?
16. Какое расстояние называют радиусом инерции данного физического маятника?
17. В чем состоит свойство взаимности оси качаний и центра качаний?
18. Напишите решение дифференциального уравнения, описывающего свободные колебания физического маятника в отсутствии затухания и при наличии сил вязкого трения.
19. Какие силы, действующие на маятник, не учитываются в данной работе? Почему?
20. Объясните, в чем состоит суть определения ускорения свободного падения по методу Бесселя?
21. Получите формулы для периодов колебаний следующих систем:
78 а) тонкое кольцо массы 𝑚 и диаметра 𝐷, подвешенное на гвоздь; б) тонкий стержень массы 𝑚 и длины 𝐿, подвешенный за край.
Рекомендуемая литература
Аксенова Е.Н., Калашников Н.П. Методы обработки результатов измерений физических величин: учеб.-метод. пособие.
М.:
НИЯУ
МИФИ,
2016.
URL: https://e.lanbook.com/book/119497.
Аксенова Е.Н. Общая физика. Колебания и волны (главы курса): учеб. пособие. 2-е изд., испр. СПб.: Лань, 2018.
URL: https://e.lanbook.com/book/103055.
Аксенова Е.Н. Общая физика. Механика (главы курса): учеб. пособие.
2-е изд., испр.
СПб.:
Лань,
2018.
URL: https://e.lanbook.com/book/103056.
Бугаенко Г.А. Механика: учеб. для вузов. 2-е изд., испр. и доп.
М.:
Юрайт,
2018.
URL: https://biblio- online.ru/book/B1C28758-8D33-487F-9032-4882C5039672.
Динамика: учеб. пособие по теоретической механике /
В.А. Нарыжный [и др.]. М.: Московский инженерно-физический институт, 2012. URL: https://e.lanbook.com/book/75953.
Иродов И.Е. Механика. Основные законы: учеб. пособие.
13-е изд.
М.:
Лаборатория знаний,
2017.
URL: https://e.lanbook.com/book/94115.
Кузнецов С.И., Подзеева Э.В. Физика: учеб. пособие; в 2 ч.
Ч. 1: Механика. Механические колебания и волны. Молекулярная физика и термодинамика. URL: https://e.lanbook.com/book/10288.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учеб. пособие для вузов в 10 т.: Механика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018.
Т. 1.
Савельев И.В. Курс физики: учеб. пособие; в 3 т.: Механика.
Молекулярная физика. 7-е изд., стер. СПб.: Лань. Т. 1.
URL: https://e.lanbook.com/book/106894.
Стрелков С.П. Механика: учебник. 6-е изд., стер. СПб.:
Лань, 2019. URL: https://e.lanbook.com/book/115197.
79
Лабораторная работа № 6 ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ Цель работы – определить параметры колебательной системы с помощью физического маятника с прикрепленными к нему дисками различного диаметра.
Приборы и принадлежности: маятник с указателем амплитуды, амплитудная линейка, сменные диски, секундомер.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯКолебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости через равные промежутки времени. Такие процессы называются периодическими. Система, совершающая колебания, называется колебательной.
Наименьший промежуток времени 𝑇, спустя который значения физических параметров принимают одни и те же значения, называется периодом колебаний. Полным колебанием называется минимальная часть периодического процесса, которая полностью повторяется. При периодических колебаниях зависимость колеблющейся величины φ от времени 𝑡 удовлетворяет условию
φ(𝑡 + 𝑇) = φ(𝑡). Частотой периодических колебаний называется величина
𝜈 =
1
𝑇
,
равная числу полных колебаний, совершающихся за единицу времени. Циклической (круговой) частотой периодических колебаний называется величина
ω = 2πν =
2π
𝑇
, равная числу полных колебаний, совершающихся за 2π единиц времени.
Свободными или собственными являются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения равновесия.
Примером могут служить колебания математического маятника, вертикального пружинного маятника.
Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия.
80
Математический маятник – это материальная точка, обладающая конечной массой, подвешенная на идеальной
(невесомой и нерастяжимой) нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.
Малые колебания будут гармоническими, если сила, действующая на материальную точку, пропорциональна смещению из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению. Такие силы носят названия упругих или квазиупругих сил. Так, в случае колебаний математического маятника роль квазиупругой силы будет играть сила тяжести.
Во всякой реальной колебательной системе всегда имеются силы сопротивления и трения, действие которых приводит к уменьшению механической энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, то колебания будут затухающими. Закон убывания амплитуды зависит от
характера сил трения и сопротивления среды, действующих на маятник.
Рассмотрим свободные затухающие колебания реального маятника, находящегося в воздухе. Ограничимся рассмотрением малых колебаний. Скорость системы будет также малой, а в этом случае можно принять момент сил трения (тормозящий момент) пропорциональным скорости движения (число Рейнольдса
𝑅𝑒1):
𝑀
тр
= −𝑟
тр
𝑑φ
𝑑𝑡
, (6.1)
где 𝑟
тр
– коэффициент трения;
φ – угловое смещение маятника;
𝑑φ
𝑑𝑡
– скорость изменения углового смещения маятника с течением времени.
Запишем линейное дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний для движения маятника в случае малых колебаний:
𝐼
𝑧
𝑑
2
φ
𝑑𝑡
2
= −𝑟
тр
𝑑φ
𝑑𝑡
− 𝑚𝑔𝑙φ, (6.2) где 𝐼
𝑧
– момент инерции маятника относительно оси вращения;
𝑀 = 𝑚𝑔𝑙φ – значение момента квазиупругой силы, т.е. момента
81 силы, создаваемого силой тяжести, относительно оси вращения маятника; 𝑚 – масса маятника; 𝑔 – ускорение свободного падения; 𝑙 – расстояние от центра масс маятника до оси вращения 𝑍.
Если обозначить 𝑚𝑔𝑙/𝐼
𝑧
= ω
0 2
и
𝑟
тр
/𝐼
𝑧
= 2β, то уравнение
(6.2) можно переписать в следующем виде:
𝑑
2
φ
𝑑𝑡
2
+ 2β
𝑑φ
𝑑𝑡
+ ω
0 2
φ = 0, (6.3) где β = 𝑟
тр
/2𝐼
𝑧
– коэффициент затухания, показывающий, какая доля энергии теряется при каждом полном колебании;
ω
0
= √𝑚𝑔𝑙/𝐼
𝑧
– собственная циклическая частота колебаний маятника, физический смысл которой заключается в том, что она
представляет собой частоту, с которой совершались бы свободные колебания маятника в отсутствие сопротивления среды и сил трения.
Решение этого дифференциального уравнения имеет следующий вид:
φ(𝑡) = φ
𝑚
𝑐𝑜𝑠(ω𝑡 + γ) = φ
𝑚
0
𝑒
−β𝑡
𝑐𝑜𝑠(ω𝑡 + γ), (6.4) где φ
𝑚
0
начальная амплитуда;
γ начальная фаза;
ω = √ω
0 2
− β
2
циклическая частота свободных затухающих колебаний.
Колебания, описываемые общим решением (6.4), не являются строго гармоническими. Амплитуда таких колебаний уменьшается экспоненциально с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затухания β. Затухание также нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к ним не применимо понятие периода или частоты. Однако, если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 6.1). Тогда (условный) период затухающих колебаний с учетом формулы равен:
𝑇 =
2π
ω
=
2π
√ω
0 2
− β
2
. (6.5)
82
График функции (6.4) для затухающих колебаний маятника представлен на рис. 6.1.
Рис. 6.1. График зависимости амплитуды и периода колебаний от времени затухающих колебаний маятника
Из выражения (6.5) видно, что при малом коэффициенте затухания (β ≪ ω
0
) период колебаний практически равен
𝑇
0
= 2π/ω
0
. С увеличением коэффициента затухания период колебаний увеличивается.
Экспоненциальный закон убывания амплитуды со временем позволяет ввести безразмерный параметр – логарифмический
декремент затухания λ, который равен натуральному логарифму отношения значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период:
λ = 𝑙𝑛
φ(𝑡)
φ(𝑡 + 𝑇)
= β𝑇. (6.6)
С учетом выражения (6.6) закон убывания амплитуды со временем можно записать в следующем виде:
φ(𝑡) = φ
𝑚
0
𝑒
−
λ
𝑇 𝑡
. (6.7)
83
Промежуток времени τ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в 𝑒 раз, называется
временем релаксации. За время τ система успевает совершить
𝑁
𝑒
= τ/𝑇 колебаний, а из условия 𝑒
−
λ
𝑇
𝑡
= 𝑒
−1
получается, что
λ = 1/𝑁
𝑒
. Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в 𝑒раз, и показывает скорость затухания колебаний в системе.
Наряду с логарифмическим коэффициентом затухания λ при анализе колебательных систем широко используется понятие добротности системы.
Добротность характеризует относительную убыль энергии колебаний за период:
𝑄 = 2π
𝐸
𝐴
тр
, (6.8) где 𝐸 – энергия системы в данный момент времени; 𝐴
тр
– работа против сил трения и сопротивления среды за период колебаний.
При экспоненциальном законе убывания энергии со временем добротность 𝑄 оказывается постоянной величиной:
𝑄 =
π
λ
= π𝑁
𝑒
. (6.9)
Из выражения (6.9) видно, что
добротность затухающей колебательной системы, как и логарифмический декремент затухания λ, можно легко оценить по числу колебаний.
Скачать 3.18 Mb.