Механика. Законы сохранения лабораторный практикум Краснодар 2020
 Скачать 3.18 Mb.
|
|
П ОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Техника безопасности Установите нижний кронштейн с прикрепленным к нему фотоэлектрическим датчиком в такое положение, чтобы в самом нижнем положении диск маятника Максвелла перекрывал оптическую ось датчика полностью, но не бился о сам кронштейн. Не допускать опрокидывание установки. При установке, смене положения и снятии исследуемого кольца запрещается сильно тянуть маятник во избежание обрыва нитей. При установке кольца на диск Максвелла необходимо передвинуть кронштейн с фотоэлектрическим датчиком на 1 см вниз. При запуске, обслуживании и уходе за прибором следует 28 соблюдать меры безопасности, согласно общим правилам по безопасности труда для устройств, в которых имеются напряжения до 250 В. Прибор разрешается эксплуатировать только при применении заземления. Подключение установки к блоку электронному ФМ-1/1 разрешается только лаборанту. Включение прибора, проведение измерений и любые другие манипуляции с лабораторным оборудованием допускаются только с разрешения преподавателя и только при его личном присутствии в лаборатории. Подготовка установки к работе 1. Проверить вертикальность и заземление прибора. 2. Включить сетевой шнур в питающую сеть, прибор готов к работе непосредственно после подключения к питающей сети. 3. Нажать клавишу «Сеть», проверяя, произошло ли высвечивание цифровыми индикаторами нулей и засветились ли лампочки фотоэлектрического датчика. 4. Намотать на ось маятника нить подвески, обращая внимание на то, чтобы она намоталась равномерно, виток к витку, поднимая его до самого верхнего положения, и привести в контакт с электромагнитом; убедиться в способности электромагнита удерживать маятник в статичном положении. 5. Нажать кнопку «Сброс» и обнулить все показания. 6. Нажать кнопку «Пуск», внимательно проследив за движением маятника, оно должно происходить вертикально вниз, без вибраций и колебаний. Задание 1. Экспериментально определить момент инерции маятника Максвелла (трубки и диска). 1. Проверить, отвечает ли нижняя кромка кольца в верхнем положении нулю шкалы на колонке. Если нет, отвинтить верхний кронштейн и отрегулировать его высоту. 2. Установить нижний кронштейн так, чтобы нижняя кромка диска находилась примерно на 2 мм ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. 29 3. В нижнем положении по нижней кромке кольца определить высоту спуска маятника. 4. Намотать нить подвеса на ось маятника, укладывая витки вплотную друг к другу. 5. Зафиксировать маятник с помощью электромагнита в самом верхнем положении. 6. Повернуть маятник в направлении его движения на угол около пяти градусов, для снятия натяжения нити при его накручивании. 7. Нажать клавишу «Сброс». 8. Нажать клавишу «Пуск». 9. Считать и записать полученное время падения маятника. 10. Повторить действия, описанные в пунктах 4–9 еще минимум 4 раза. 11. Используя формулу (2.18), определить моменты инерции маятника Максвелла относительно его оси симметрии бесконечного порядка и найти его среднее значение. 12. Определить погрешность вычисленного момента инерции маятника. Задание 2. С помощью маятника Максвелла экспериментально определить моменты инерции колец относительно их осей симметрии бесконечного порядка. 1. На диск маятника надеть одно из колец, прижимая его до упора. Кольцо должно плотно прилегать к диску и не «восьмерить» в процессе движения. 2. Установить нижний кронштейн так, чтобы внешняя кромка кольца находилась примерно на 2 мм ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. 3. В нижнем положении по внешней кромке кольца определить новую высоту спуска маятника. 4. Далее следовать указаниям, описанным в пунктах 4–10 задания 1. 5. Проделать аналогичные эксперименты с другим кольцом. 30 6. По формуле (2.18) рассчитать суммарные моменты инерции системы. 7. Используя свойство аддитивности моментов инерции, найти моменты инерции колец относительно их осей симметрии бесконечного порядка. 8. Оценить погрешности проделанных вычислений. Значения физических параметров Параметр 1 2 3 4 5 Среднее значение Абсолютная погрешность 𝑦 о+д , м 0,0005, м 𝑦 о+д+к , м 𝑡 о+д , с 0,005, с 𝑡 о+д+к1 , с 𝑡 о+д+к2 , с 𝒥 о+д , кг ∙ м 2 𝒥 о+д+к1 , кг ∙ м 2 𝒥 к1 , кг ∙ м 2 𝒥 о+д+к2 , кг ∙ м 2 𝒥 к2 , кг ∙ м 2 𝒥 теор к1 , кг ∙ м 2 𝒥 теор к2 , кг ∙ м 2 Задание 3. Вычислить теоретические моменты инерции колец относительно их осей симметрии бесконечного порядка и сравнить их со значениями, полученными на основе экспериментальных данных. 1. Измерить штангенциркулем внешние и внутренние диаметры двух колец в разных местах минимум пять раз и найти их средние значения. 31 2. Взвесить кольца на электронных весах и записать значения их масс. 3. По формуле (2.6) вычислить их моменты инерции. 4. Оценить погрешности проделанных вычислений. 5. Сравнить теоретически полученные значения моментов инерции колец с расчетными значениями, полученными экспериментально. 6. Объяснить полученный результат (позволяет ли сравнение результатов расчета с экспериментом проверить справедливость законов общего движения твердого тела). 7. Заполнить таблицу. Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте теорему о движении центра масс системы материальных точек. 2. Дайте определение момента инерции одной материальной точки, системы материальных точек. 3. Сформулируйте и запишите теорему Штейнера. 4. Сформулируйте закон сохранения энергии. 5. Дайте определения кинетической и потенциальной энергиям. 6. Что называется математическим маятником? 7. Дайте определение угловой скорости и углового ускорения. Сделайте рисунок. Укажите направления этих векторов в процессе движения маятника. 8. Что называется моментом инерции? В каких единицах он измеряется? 9. Что называется физическим маятником? Каким образом из маховика можно получить физический маятник? 10. Что называется моментом силы? Дайте векторную формулу. 11. Запишите уравнения движения маятника Максвелла. 12. Как изменяется ускорение, скорость и сила натяжения нити при движении маятника? 13. Куда направлена угловая скорость для тела, вращающегося в горизонтальной плоскости по часовой стрелке? 32 14. Всегда ли направление угловой скорости совпадает с направлением углового ускорения? 15. Всегда ли совпадает направление углового ускорения и направление момента силы, вызывающего это ускорение? 16. Чему равны периоды малых колебаний математического и физического маятников? 17. Сформулируйте и запишите закон сохранения механической энергии для замкнутой консервативной системы. 18. Как изменяется механическая энергия маятника Максвелла при его движении? 19. Проанализируйте источники возможных погрешностей. 20. Вычислите момент инерции полого тора с радиусом 𝑅 направляющей окружности, радиусом 𝑟 образующей окружности, массой 𝑚 относительно оси перпендикулярной горизонтальной плоскости симметрии тора и проходящей через его центр масс. 21. Вычислите значение момента инерции Земли относительно оси симметрии, проходящей через ее геометрический центр, считая Землю однородным шаром массы 𝑀 З и радиуса 𝑅 З . Сравните полученное значение с табличным. 22. Какова в действительности реальная форма Земли? На сколько сильно она деформирована? 23. В силу каких причин форма Земли деформирована? Какова ее внутренняя структура? Рекомендуемая литература Абрамов С.М. Механика: учеб. пособие. 2-е изд., стер. М.: ФЛИНТА, 2018. URL: https://e.lanbook.com/book/116348. Аксенова Е.Н, Калашников Н.П. Методы обработки результатов измерений физических величин: учеб.-метод. пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2016. URL: https://e.lanbook.com/book/119497. Аксенова Е.Н. Общая физика. Механика (главы курса): учеб. пособие. 2-е изд., испр. СПб.: Лань, 2018. URL: https://e.lanbook.com/book/103056. 33 Бугаенко Г.А., Маланин В.В., Яковлев В.И. Механика: учебник для вузов. 2-е изд., испр. и доп. М.: Юрайт, 2018. URL: https://biblio-online.ru/book/B1C28758-8D33-487F-9032-4882C5039672. Доронин Ф.А. Теоретическая механика: учеб. пособие. СПб.: Лань, 2018. URL: https://e.lanbook.com/book/101840. Иродов И.Е. Механика. Основные законы: учеб. пособие. 13-е изд. М.: Лаборатория знаний, 2017. URL: https://e.lanbook.com/book/94115. Кузнецов С.И., Подзеева Э.В. Физика: учеб. пособие; в 2 ч. Ч. 1: Механика. Механические колебания и волны. Молекулярная физика и термодинамика. URL: https://e.lanbook.com/book/10288. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учеб. пособие для вузов в 10 т.: Механика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. Т. 1. Практикум по решению задач общего курса физики. Механика: учеб. пособие / Н.П. Калашников [и др.]. М.: Лань, 2018. URL: https://e.lanbook.com/reader/book/106870/#1. Савельев И.В. Курс физики: учеб. пособие; в 3 т.: Механика. Молекулярная физика. 7-е изд., стер. СПб.: Лань. Т 1. URL: https://e.lanbook.com/book/106894. Стрелков С.П. Механика: учебник. 6-е изд., стер. СПб.: Лань, 2019. URL: https://e.lanbook.com/book/115197. 34 Лабораторная работа № 3 МАЯТНИК ОБЕРБЕКА Цель работы – вычислить момент инерции маятника Обербека относительно его неподвижной оси вращения при различных положениях грузов. Приборы и принадлежности: крутильный маятник Обербека с 4 передвижными грузами, линейка, перегрузки с известной массой, секундомер, фотоэлектрический датчик ФМ-1/1. К РАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Вращательным движением твердого тела называется движение, при котором все точки тела, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, перпендикулярной к плоскости этих окружностей и называемой осью вращения. Момент силы 𝑀 ⃗⃗⃗ относительно неподвижной оси (или вращательным моментом силы) называется векторное произведение радиус 𝑟⃗ вектора на силу 𝐹⃗ (рис. 3.1): 𝑀 ⃗⃗⃗ = [𝑟⃗ × 𝐹⃗]. (3.1) Рис. 3.1. Поясняющая схема к определению момента силы 35 Момент силы 𝑀 ⃗⃗⃗ перпендикулярен к плоскости, в которой лежат радиус-вектор 𝑟⃗ и сила 𝐹⃗, и образует с ними правую тройку (при наблюдении с конца вектора 𝑀 ⃗⃗⃗ видно, что вращение по кратчайшему пути от 𝑟⃗ к 𝐹⃗ происходит против часовой стрелки). Единица момента силы в СИ – Н∙м (ньютонметр). Модуль вектора 𝑀 ⃗⃗⃗, согласно определению векторного произведения, равен: 𝑀 = 𝑟 𝐹 𝑠𝑖𝑛(𝑟⃗𝐹⃗) = 𝐹 𝑟 𝑠𝑖𝑛 α = 𝐹 𝑙. (3.2) Кратчайшее расстояние 𝑙 от оси вращения до линии действия силы 𝐹⃗, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения и вызывающей вращение тела, называется плечом силы. Если момент силы отличен от нуля, то тело вращается с угловым ускорением ε⃗. Угловое ускорениеε⃗ – это величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости тела и равная первой производной угловой скорости по времени: ε⃗ = 𝑑ω ⃗⃗⃗ 𝑑𝑡 . (3.3) Пусть некоторое тело состоит из 𝑁 материальных точек соответствующих масс 𝑚 𝑖 , кратчайшее расстояние до каждой точки 𝑙 𝑖 и на каждую действует некоторая сила величины 𝐹 𝑖 , тогда суммарный момент сил, действующий на тело, равен алгебраической сумме отдельных моментов: 𝑀 = ∑ 𝑀 𝑖 𝑁 𝑖=1 = ∑ 𝑙 𝑖 𝐹 𝑖 𝑁 𝑖=1 = ∑ 𝑙 𝑖 𝑎 𝑖 𝑚 𝑖 𝑁 𝑖=1 = ∑ 𝑙 𝑖 𝑑 𝑖 𝑑𝑡 𝑚 𝑖 , 𝑁 𝑖=1 (3.4) где 𝑎 𝑖 и 𝑖 – соответствующие ускорения и скорости материальных точек. Моментом инерции 𝒥 материальной точки относительно некоторой оси называется скалярная величина, равная произведению массы 𝑚 этой материальной точки на квадрат расстояния 𝑙 от этой точки до оси вращения: 𝒥 = 𝑚𝑙 2 . (3.5) 36 Момент инерции относительно оси вращения характеризует инертность тела при вращении вокруг этой оси, т.е. является величиной, аналогичной массе тела, которая является мерой инертности тела при его поступательном движении. Момент инерции зависит не только от массы всего тела и ее распределения в теле, но также от его ориентации относительно оси вращения и является величиной аддитивной. Аддитивность – свойство физических, геометрических и других величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям, при любом разделении объекта на части. Тогда для некоторого тела, состоящего из 𝑁 материальных точек, момент инерции относительно той же оси равен: 𝒥 = ∑ 𝒥 𝑖 𝑁 𝑖=1 = ∑ 𝑚 𝑖 𝑙 𝑖 2 𝑁 𝑖=1 (3.6) При непрерывном распределении массы относительно оси вращения момент инерции равен: 𝒥 = lim 𝑚 𝑖 0 𝑁 ∞ ∑ 𝑚 𝑖 𝑙 𝑖 2 𝑁 𝑖=1 = ∫ 𝑙 2 𝑑𝑚 𝑚 0 = ∫ 𝑙 2 𝑑𝑉. 𝑉 (3.7) Тогда для бесконечно малого элемента объема массы 𝑑𝑚 модуль момента силы 𝑑𝑀 будет определяться следующим выражением: 𝑑𝑀 = 𝑙 𝑑𝐹 = 𝑙 𝑎 𝑑𝑚 = 𝑙 𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝑚. (3.8) Так как величина 𝜐 = ω𝑙, то формулу (3.8) можно переписать следующим образом: 𝑑𝑀 = 𝑙 2 𝑑ω 𝑑𝑡 𝑑𝑚. (3.9) Продифференцировав формулу (3.5) для суммарного момента инерции, получим момент инерции для элементарной массы: 𝑑𝒥 = 𝑙 2 𝑑𝑚. (3.10) 37 Учитывая формулы (3.7) и (3.9) и интегрируя по всем элементам массы тела, находим: 𝑀 ⃗⃗⃗ = 𝒥 ε⃗. (3.11) Уравнение (3.11) называется основным законом динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: момент внешних сил, вращающих тело вокруг неподвижной оси, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловое ускорение тела. О ПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ Маятник Обербека, применяемый в установке, представляет собой инерционное колесо в виде крестовины. На четырех стержнях могут перемещаться четыре подвижных груза массой 𝑚 гр (192 г) каждый. На горизонтальной оси крестовины имеется двухступенчатый диск, на который наматывается нить. Один конец нити прикреплен к диску, а на втором конце нити подвешено несколько грузов общей массой 𝑚 п . Под влиянием веса падающего груза нить разматывается с диска и вызывает вращательное равномерно ускоренное движение крестовины. Общий вид маятника Обербека показан на рис. 3.2–3.3. На вертикальной колонне 1, установленной на основании 2, прикреплены два кронштейна: нижний неподвижный 3, верхний подвижный 4 и две неподвижные втулки: нижняя 5 и верхняя 6. Основание 2 снабжено регулируемыми ножками 7, обеспечивающими горизонтальную установку прибора. На верхней втулке 6 посредством основания 8 закреплен подшипниковый узел диска 9 и малый диск 10. Через диск 10 перекинута нить 11. Один конец нити прикреплен к двухступенчатому диску 12, а на втором конце закреплены грузы 13. На нижней втулке 5 посредством основания 14 прикреплен тормозной электромагнит 15, который после включения напряжения питания удерживает с помощью фрикционной муфты систему крестовины вместе с грузами в состоянии покоя. 38 Подвижный кронштейн 4 можно перемещать вдоль колонны 1 и фиксировать его в любом положении, определяя таким образом длину пути падения грузов. С целью определения этой длины на колонне 1 нанесена миллиметровая шкала 16. Рис. 3.2. Схема маятника Обербека (профиль) 39 На подвижном кронштейне 4 закреплен фотоэлектрический датчик 17. На неподвижном кронштейне 3 закреплен фотоэлектрический датчик 18, фиксирующий конец времени измерения и включающий тормозной электромагнит. К кронштейну 3 прикреплен кронштейн 19 с резиновыми амортизаторами, ограничивающими движение грузов. Рис. 3.3. Схема маятника Обербека (фронт) 40 В основании прибора имеется жестко скрепленный с ним миллисекундомер. Клавиша «Сеть» при нажатии включает (или выключает) напряжение сети. Клавиша «Сброс» – устанавливает миллисекундомер на нулевое деление. Клавиша «Пуск» – отключает тормозной электромагнит и вызывает движение грузов с одновременным началом счета времени движения. Значение времени дается в секундах с точностью до третьего знака. При изменении расстояния перемещаемых грузов от оси крестовины данной лабораторной установки модуль углового ускорения ε крестовины тем меньше, чем больше момент инерции тела 𝒥 относительно оси вращения; из (3.11) имеем: ε = 𝑀 𝒥 . (3.12) Величина углового ускорения ε связана с линейным ускорением 𝑎 падающего груза следующим соотношением: ε = 𝑎 𝑙 , (3.13) где 𝑙 – радиус двухступенчатого диска. При равномерно ускоренном движении величина 𝑎 связана с высотой ℎ падения грузов и временем 𝑡 их падения: ℎ = 𝑎𝑡 2 2 . (3.14) Модуль вращательного момента силы 𝑀, приложенной к крестовине, равен: 𝑀 = 𝐹𝑙 = 𝑚 п (𝑔 − 𝑎)𝑙, (3.15) где 𝑔 – модуль ускорения свободного падения (на широте Краснодара – 𝑔 ≈ 9,81 м/с 2 ). Используя формулы (3.12)–(3.15), находим экспериментальное значение момента инерции крестовины с грузами: 𝒥 экс = 𝑚 п 𝑙 2 ( 𝑔𝑡 2 2ℎ − 1). (3.16) Теоретическое значение момента инерции 𝒥 теор : 𝒥 теор = 𝒥 0 + 4𝒥 𝑎 + 4𝑚 гр 𝑙 𝑖 2 , (3.17) 41 где 𝒥 0 – суммарный момент инерции маховика без грузов; 𝒥 𝑎 – момент инерции подвижного груза относительно оси, проходящей через его центр масс и параллельной оси вращения крестовины; 𝑙 𝑖 – расстояние от оси вращения до центра масс груза, 𝑚 гр – масса каждого подвижного груза (192 г). Величина 𝒥 𝑎 + 𝑚 гр 𝑙 𝑖 2 в (3.17) есть не что иное, как момент инерции подвижного груза относительно оси вращения крестовины. Согласно теореме Штейнера: момент инерции тела относительно оси вращения равен моменту инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями. Поэтому, если произвести измерения для двух разных значений 𝑙 𝑖 , например, для наибольшего из возможных значений 𝑙 1 и наименьшего значения 𝑙 2 , то легко найти теоретическое значение разности моментов инерции: Δ𝒥 теор = 4𝑚 гр ∙ (𝑙 1 2 − 𝑙 2 2 ). (3.18) Следовательно, все четыре подвижных груза всякий раз находятся на одинаковых расстояниях 𝑙 1 или 𝑙 2 от оси вращения крестовины. Эти расстояния должны отсчитываться от центра масс (фактически от середины) подвижного груза, а не от его переднего или заднего края. |