1. Линейная алгебра Линейное пространство. Базис. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Элементарные матрицы
 Скачать 1.13 Mb.
|
1. Линейная алгебра1.1. Линейное пространство. Базис. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Элементарные матрицы.Линейное пространство. Множество L называется линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо: 1. Каждой паре элементов x и y из L отвечает элемент x + y из L, называемый суммой x и y, причём: x + y = y + x − сложение коммутативно; x + (y + z) = (x + y) + z − сложение ассоциативно; x + 0 = x − существует единственный нулевой элемент 0 ( x + 0 = x для любого x из L); x + (− x) = 0 − для каждого элемента x из L существует единственный противоположный элемент −x ( x + (−x) = 0 для любого x из L). 2. Каждой паре x и α, где α −число, а x элемент из L, отвечает элемент α·x, наываемый произведением α и x, причём: α·(β·x) = (α·β)·x − умножнение на число ассоциативно: ; 1·x = x − для любого элемента x из L. 3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями: α·(x + y) = α·x + α·y − умножнение на число дистрибутивно относительно сложения элементов; (α + β)·x = α·x + β·x − умножнение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел. Базис. Система векторов линейного пространства L образует базис в L если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор из L линейно выражается через векторы системы. Иными словами, линейно независимая упорядоченная система векторов e1, ..., en образует базис в L если любой вектор x из L может быть представлен в виде x = С1·e1+С2·e2+ ...+Сn· en. Линейный оператор. Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y. Говорят, что оператор действует из X в Y. Действие оператора обозначают y = A(x), y — образ x, x — прообраз y. Если каждый элемнт y из Y имеет единственный прообраз x из X, y= A(x), оператор называют взаимно однозначным отображением X в Y или преобразованием X, X — область определения оператора. Пусть X и Y два линейные пространства. Оператор A, действующий из X в Y, называется линейным оператором, если для любых двух элементов u и v из X и любого числа α справедливо: A(u + v) = A(u ) + A(v) , A(α·u) = α· A(u). Матрица линейного оператора. Линейный оператор A действует из n-мерного линейного пространства X в m-мерное линейное пространство Y . В этих пространствах определены базисы e = {e1, ..., en} и f = {f1, ..., fm}. Пусть A(ei ) = a1i·f1 + a2i·f2 + ...+ ami·fm — разложение образа i-го базисного вектора базиса e пространства X по базису f пространства Y, i = 1, 2, ..., n. Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f , A = {aij}= {A(ej )i}:  Координаты образа y = A(x) и прообраза x связаны соотношеннием: y = A· x,   Элементарная матрица. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица, получающаяся из единичной матрицы в результате неособенного элементарного преобразования над строками (столбцами), называется элементарной матрицей, соответствующей этому преобразованию. Так, например, элементарными матрицами второго порядка являются матрицы  где А — любой ненулевой скаляр. Элементарные матрицы обладют следующими свойствами. 1. Определители элементарных матриц не равны нулю и  .2. Элементарные матрицы обратимы и обратные матрицы для элементарных матриц являются элементарными матрицами:  .3. Если матрицу А порядка n умножить слева на элементарную матрицу порядка n, то с матрицей А произойдет элементарное преобразование с помощью которого элементарная матрица получена из единичной матрицы. 1.2. Детерминант квадратной матрицы. Два определения ранга матрицы (в терминах линейной независимости строк и неравенства нулю миноров. |