Статика7. 2. статика в статике изучаются условия равновесия твердых тел под действием сил

• Название: 2. статика в статике изучаются условия равновесия твердых тел под действием сил
• Дата: 06.04.2021
• Размер: 1.32 Mb.
• Имя файла: Статика7.doc
• Тип: Документы; #191778
• страница: 1 из 9

2. СТАТИКА

В статике изучаются условия равновесия твердых тел под действием сил. Наиболее общим методом решения задач статики на равновесие является аналитический метод.

Под равновесием твердого тела понимают состояние покоя тела по отношению к окружающим его телам. Уравновешенность сил, приложенных к свободному твер­дому телу, - необходимое, но не достаточное условие равно­весия самого тела. В покое твердое тело будет находиться лишь в том случае, если оно было в покое и до при­ложения к нему уравновешенной системы сил.

Применяя аналитический метод решения, полезно при­держиваться следующего порядка. Прежде всего надо ясно понять смысл задачи: установить, что задано и что требуется определить. Затем следует иллюстрировать за­дачу чертежом. После этого необходимо:

выявить объект (тело или точку), равновесие которого следует рассматривать;

показать на чертеже задаваемые силы, приложенные к этому объекту;

установить связи, непосредственно наложенные на тело, освободить тело от связей и изобразить на чертеже реак­ции отброшенных связей;

проанализировать полученную систему сил (задаваемых и реакций) с точки зрения расположения их линий дей­ствия в пространстве, установив тем самым число урав­нений равновесия;

выявив число неизвестных в задаче, установить ее статическую определимость;

выбрать оси координат и составить уравнения равно­весия рассматриваемого тела под действием всех сил, в том числе и реакций связей;

Уравнения равновесия лучше решать в общем, бук­венном виде. После пересчета всех данных в одну систему единиц можно приступить к числовым расчетам.

В большинстве задач статики нельзя заранее указать не только модуль, но и направление той или иной реак­ции связи. В таких случаях неизвестную реакцию раз­лагают на составляющие, направленные вдоль соответст­вующих осей координат, и вводят в уравнения равнове­сия в качестве неизвестных эти составляющие.

Если в результате решения уравнений величина какой-нибудь из составляющих окажется отрицательной, то это означает, что данная составляющая реакции в действитель­ности направлена в сторону, противоположную положи­тельному направлению оси. В тех случаях, когда истин­ное направление реакции не вызывает сомнения, лучше, не считаясь с принятым направлением оси, направлять реакцию в ту сторону, в которую она действует.

Если по условию задачи требуется определить дейст­вие тела на какую-нибудь связь (давление, натяжение нити, усилие в стержне и т. д.), то в уравнения равно­весия следует вводить по-прежнему реакцию связи. Иско­мая сила будет равна по модулю и противоположна по направлению этой реакции.

В статике приходится иногда решать задачи на равно­весие нескольких тел, каким-либо образом связанных между собой. В данном случае для каждого тела в отдель­ности составляют уравнения равновесия с учетом сил, с которыми действуют друг на друга тела, входящие в систему. Эти силы попарно равны по модулю и противо­положны по направлению.

В некоторых случаях удобно рассматривать равно­весие всей системы связанных между собой тел как еди­ного твердого тела (что возможно на основании принципа затвердевания) и равновесия только некоторых из входя­щих в систему тел.

При определении усилий в стержнях жесткой идеаль­ной конструкции рекомендуется пользоваться методом сечений, предполагая при этом, что перерезанные стержни растянуты. Вследствие этого реакции таких стержней будут направлены в сторону отброшенной части конструк­ции. Если в результате решения задачи модуль какой-нибудь из реакций окажется отрицательным, то это означает, что соответствующий стержень в действитель­ности сжат.

Иногда при решении задачи требуется знать какую-нибудь величину, не заданную условиями задачи, напри­мер угол или длину. В этих случаях данную величину необходимо обозначить какой-нибудь буквой и ввести ее в уравнения равновесия. Если в ходе решения задачи введенная величина не исключается, то ее надо выразить через заданные величины.

2.1. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ

2.1.1. Силы, сходящиеся в одной точке

Уравнения равновесия твердого тела, находящегося под действием сил, сходящихся в одной точке

. (57)

В (57) входят как силы активные, так и реакции свя­зей, наложенных на тело. Если на тело действуют сходя­щиеся силы, лежащие в одной плоскости, то уравнений равновесия будет два. При решении некоторых задач можно использовать теорему о трех силах: Если твердое тело находится в равновесии под дейст­вием трех сил и линии действия двух из этих сил пере­секаются, то линия действия третьей силы проходит через эту точку пересечения и все три силы лежат в од­ной плоскости.

Если на покоящееся тело наложены связи с трением, то к уравнениям равновесия с учетом сил трения следует присоединить дополнительное условие

F_тр = fN,(58)

где f - коэффициент трения скольжения при покое; N - модуль нормальной реакции.

Задачи на равновесие твердого тела под действием системы сходящихся сил можно решать геометрическим и аналитическим методами.

Первым методом удобно пользоваться лишь для пло­ской системы сил и особенно в тех случаях, когда общее число сил, действующих на тело, равно трем. При равно­весии тела треугольник, построенный на этих силах, дол­жен быть замкнутым.

Аналитическим методом можно пользоваться также и для пространственной системы сил при любом числе сил. При этом следует иметь в виду, что общее число неиз­вестных в задаче должно быть не больше трех для про­странственной системы сходящихся сил и не больше двух для плоской системы сходящихся сил.

Пример 1. Груз M весом Р (рис. 178,а) подвешен на гибком нерастяжимом тросе ОМ₁, отклоненном от верти­кали на угол α, и удерживается в равновесии с помощью другого гибкого нерастяжимого троса М₁АМ₂ охватываю­щего идеальный блок А и несущего на свободном конце груз М₂. Считая, что при равновесии участок троса М₁А горизонтален, определить вес Q груза M₂ и натяжение троса ОМ₁. Размерами груза М₁ и весом тросов пре­небречь.

Решение. Рассмотрим равновесие груза M₁. Активными силами являются вертикально направленная сила и горизонтально направленная сила , равная весу груза Q, так как идеальный блок A изменяет только направление силы.

На груз М₁ наложена связь, осуществляемая тросом OM₁. Осво­бодим его от связи. Реакция связи направлена по тросу вверх. Таким образом, груз M₁ находится в равновесии под действием плоской сходящейся системы трех сил: , и причем T₂ = Q(рис. 178,б).

Решим эту задачу двумя способами: геометрическим и аналити­ческим.

Рис. 178

Геометрический способ. Так как точка M₁ находится в равновесии под действием трех сил, то силовой треугольник, по­строенный на этих силах, должен быть замкнутым (рис. 178, в). Построение силового треугольника следует начинать с заданной силы .

Изобразив вектор , проводим через его начало и конец прямые, параллельные направлениям сил и . Точка пересечения этих прямых определит третью вершину силового треугольника. Ориен­тация всех векторов должна быть такова, чтобы силовой треуголь­ник был замкнутым. Это дает возможность проверить правильность направления неизвестных реакций.

Из силового треугольника находим

T₂ = P tg α; T₁= P/cos α.

Таким образом, вес Qгруза М₂, равный , будет

Q = P tg α,

а натяжение троса OM₁ численно равно Т₁ = P/cos α.

Аналитический способ. Выберем оси координат так, чтобы уравнения равновесия имели наипростейший вид. Этого можно добиться, проводя оси перпендикулярно неизвестным силам, при этом они могут оказаться не ортогональными (оси M₁y и М₁у'). Обычно пользуются ортогональными осями. Проведем ось М₁у перпендику­лярно неизвестной силе а ось М₁х - горизонтально.

Система приложенных сил , , - плоская сходящаяся система, для которой существуют два уравнения равновесия. В за­даче две неизвестные величины: Т₁ и Т₂, т. е. задача статически определима.

Составим уравнения равновесия в форме (1):





Отсюда находим

T₁ = P/cos α; T₂ = T₁ sin α = P tg α..

Если воспользоваться осями М₁у и М₁у', то получим





В каждое из этих уравнений входит только по одному неизвест­ному, что упрощает их нахождение.

Пример 2. Однородный цилиндр A весом Р и радиу­сом r(рис. 179, а) опирается на гладкую поверхность ци­линдра В радиусом R и удерживается в равновесии с помощью нити CD длиной l, расположенной в попереч­ной плоскости симметрии. Определить натяжение нити и реакцию цилиндрической поверхности.

Решение. Рассмотрим равновесие цилиндра A. На него действует сила , направленная вертикально вниз. Связями являются гладкая цилиндрическая поверхность В и нить CD. Освободимся от связей.