Числовые системы

• Название: Числовые системы
• Дата: 10.01.2021
• Размер: 1.01 Mb.
• Имя файла: elementarka_vosstanovlen.docx
• Тип: Документы; #166828
• страница: 1 из 7

1. Числа. Числовые системы. Простые и составные числа.

Числовые системы

Числовая система — множество чисел, которое включает в себя множество натуральных чисел и замкнуто относительно операций сложения, умножения и, возможно, некоторых других.

Обычно числовая система предполагает и определенный способ записи чисел (скажем, с помощью арабских цифр 0,1,…,9) или даже несколько возможных ее вариантов для одного числа.

Кроме того, числовая система может быть наделена какой-либо дополнительной структурой, например:

• 
  частичной или полной упорядоченностью (понятиями «больше» или «меньше»),
  
• 
  метрикой (расстоянием между числами),
  
• 
  нормой (модулем числа).
  

1. Простейшую числовую систему представляют собой натуральные числа. Они возникают в процессе счета — и в первую очередь, благодаря возможности перехода от любого натурального числа к следующему. Наиболее строго эту числовую систему, применявшуюся с незапамятных времен, описал Дж. Пеано, причем лишь в XIX веке.

Натуральные числа можно складывать друг с другом, умножать друг на друга, вычитать из большего меньшее, делить с остатком, а иногда и нацело. При этом операции вычитания и деления (нацело) определяются как обратные к сложению и умножению, т.е. позволяющие по известным значениям a и b найти значение x из уравнения a+x=b илиa∙x=b соответственно.

Пополнение натуральных чисел числом ноль, на которое, в отличие от всех остальных натуральных чисел, делить нельзя, даже с остатком, — в принципе возможно, но малосодержательно. Тем не менее, иногда число ноль, по определению, считают тоже натуральным.

2. Далее, с одной стороны, если к натуральным числам добавить дроби (возникающие естественным образом при дележе чего-либо на равные части), то получится множество положительных рациональных чисел. В этой числовой системе можно делить любое число на любое ненулевое (конечно, деление с остатком здесь уже не используется). 

С другой стороны, из тех же натуральных чисел путем добавления к ним нуля и отрицательных целых чисел получаются целые числа. Эта числовая система замечательна тем, что в ней можно вычитать любое число из любого. Кстати, в отличие от дробей, отрицательные числа появились довольно поздно, лишь в средние века: они потребовали от математиков несколько большей абстракции и ознаменовали собой зарождение алгебры.

Если же свести оба упомянутых расширения воедино, то получится множество всех вообще рациональных чисел (и положительных, и неположительных). Оно представляет собой минимальную числовую систему, в которой возможны уже все четыре арифметические операции.

3. Долгое время считалось, что других (кроме рациональных) чисел в природе нет: в них просто не было потребности. Однако после открытия теоремы Пифагора математики пришли к парадоксальному выводу: гипотенуза прямоугольного треугольника с единичными катетами не имеет длины, поскольку ее квадрат должен быть равен 2, а такого рационального числа не существует (об этом древним грекам было уже известно).

Таким образом, первое появление иррациональных чисел связано с операцией возведения в натуральную степень. Точнее, с обратной к ней, уже не арифметической, а алгебраической операцией: извлечением корня натуральной степени a из натурального числа b, т.е. нахождением значения x из уравнения  . Наименьшая числовая система, содержащая все такие корни, — это алгебраические числа.

Кстати, рациональных чисел не хватает и для выполнения другой операции, обратной к возведению в степень, — взятию логарифма по натуральному основанию a≠1 от натурального числа b, т.е. нахождением значения x из уравнения  . Например, логарифм числа 3 по основанию 2 иррационален, поскольку число 2 ни в какой рациональной степени не дает 3.

4. Геометрическая интерпретация чисел, как длин различных отрезков, неизбежно приводит к понятию числовой прямой. Если на прямой заранее задать начало отсчета, направление и единицу длины, то между всеми ее точками и всеми числами (не только положительными) можно установить взаимно однозначное соответствие. В итоге точки прямой будут отождествлены с соответствующими им числами.

Полученная числовая система задает действительные, или вещественные, числа. Числовая прямая содержит все алгебраические числа, но, как оказалось, не только их. В 1873 г. Г. Кантор доказал, что на любом интервале числовой прямой имеется бесконечно много других, так называемых трансцендентных чисел. В том же году Ш. Эрмит привел конкретный пример трансцендентного числа, каковым является число е, а в 1882 г. была доказана также и трансцендентность числа π.

В процессе создания строгой теории действительных чисел математиками (в частности, К. Вейерштрассом, Р. Дедекиндом, Г. Кантором) было, наконец, выявлено свойство полноты числовой прямой.

5. Начиная с XVI века, задолго до построения строгой теории действительных чисел, в трудах Дж. Кардано, А. де Муавра, Л. Эйлера и многих других математиков было начато построение новой числовой системы, в которой возможно было извлечение квадратного корня из отрицательных чисел.

Появились комплексные числа, для наглядного изображения которых потребовалось перейти с числовой прямой в числовую комплексную плоскость. При этом произошла потеря линейной упорядоченности чисел. Зато добавилась новая операция над ними — комплексное сопряжение, нашлась изящная геометрическая интерпретация их произведения, а также проявилась их природная связь с преобразованиями плоскости, тригонометрией и обнаружился целый ряд совершенно замечательных функциональных свойств.

Дальнейшие попытки расширения полученной числовой системы оказались не столь успешными. Они привели У. Гамильтона к созданию в 1843 г. теории кватернионов, правда, с вынужденной потерей свойства коммутативности (перестановочности) произведения.

Простые и составные числа

Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными числами.

Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на простые и составные.
Простых чисел – бесконечное множество. Ниже приведены простые числа, не превосходящие 200:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Основная теорема арифметики простых чисел. Любое составное натуральное число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел (порядок сомножителей при этом не принимается во внимание).

Арифметика простых чисел

• 
  Если n составное число, то среди его простых делителей есть хотя бы один делитель p такой, что p2≤np2≤n.
  
• 
  Числа a и b называются взаимно простыми, если наибольший общий делитель этих чисел равен 1.
  
• 
  Для любых натуральных чисел a и b справедлива формула HOD(a;b)⋅HOK(a;b)=a⋅bHOD(a;b)⋅HOK(a;b)=a⋅b.
  
• 
  Количество делителей числа n=pl11⋅pl22⋅pl33⋅...⋅plkkn=p1l1⋅p2l2⋅p3l3⋅...⋅pklk , где p1,p2,p3,...,pkp1,p2,p3,...,pk - простые числа, находится по формуле γ=(l1+1)(l2+1)(l3+1)...(lk+1)γ=(l1+1)(l2+1)(l3+1)...(lk+1).
  

2. Признаки делимости чисел на 3, 4, 8, 9, 11.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА «2» Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8) Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА «3» Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3 Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА «4» Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4 Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА «5» Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5 Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА «6» Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3 Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА «8» Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8 Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА «9» Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9 Пример: Число 2916 кратно 9, поскольку сумма цифр равна 18 и она делится на 9. А число 831 не делится на 9 нацело, поскольку сумма цифр числа равна 12 и она не делится на 9.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА «10» Число делится нацело на 10, если оно заканчивается на 0 Пример: Число 39590 делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается на 0. А число 5964 не делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается не на 0.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА «11» Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах или суммы должны отличаться на 11 Пример: Число 3762 делится нацело на 11, поскольку 3 + 6 = 7 + 2 = 9. А число 2374 на 11 не делится, поскольку 2 + 7 = 9, а 3 + 4 = 7.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА «25» Число делится нацело на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75 Пример: Число 4950 кратно 25, поскольку оно заканчивается на 50. А 4935 не делится на 25, поскольку заканчивается на 35.

5. Основная теорема арифметики.

Основная теорема арифметики утверждает возможность разложения любого целого числа, которое больше единицы, на простые множители. Прежде чем сформулировать и доказать ее, рассмотрим две вспомогательные теоремы.

Теорема.

Любое целое положительное и отличное от единицы число a либо делится на простое число p, либо a и p – взаимно простые числа.

Доказательство.

Наибольший общий делитель чисел a и p делит p. Так как p – простое число по условию, то его положительными делителями являются лишь 1 и p, следовательно, НОД(a, p) равен либо 1, либо p. В первом случае НОД(a, p)=1, откуда следует, что числа a и p – взаимно простые. Во втором случае НОД(a, p)=p, а так как a делится на НОД(a, p), то a делится на p.

Теорема.

Если произведение нескольких целых положительных и отличных от единицы множителей делится на простое число p, то хотя бы один множитель делится на p.

Доказательство.

Каждый из множителей согласно предыдущей теореме либо взаимно прост с числом p, либо делится на p. Если бы все множители были взаимно просты с p, то произведение этих множителей было бы взаимно просто с p в силу свойств взаимно простых чисел. Поэтому, хотя бы один из множителей делится на p.

Теперь мы обладаем необходимым арсеналом знаний, позволяющим провести доказательство основной теоремы арифметики.

Теорема.

Любое целое число, которое больше 1, можно разложить на произведение простых множителей, причем это разложение единственно, если не учитывать порядок следования множителей.

Доказательство.

Пусть a – целое число, большее единицы.

Сначала докажем возможность разложения числа a на простые множители.

Пусть p₁ – наименьший положительный и отличный от 1 делитель числа a. В силу теоремы, доказанной в разделе таблица простых чисел, число p₁ – простое. Тогда по определению делимости существует такое целое число a₁, что a=p₁·a₁. Если a₁ больше единицы, то существует его наименьший простой делитель p₂, откуда a₁=p₂·a₂ и a=p₁·p₂·a₂. Если a₂ больше единицы, то существует его наименьший простой делитель p₃, поэтому a₂=p₃·a₃, откуда a=p₁·p₂·p₃·a₃. И так продолжаем этот процесс, пока не получим a_n=1, что неизбежно, так как a, a₁, a₂, … - последовательность убывающих целых положительных чисел. Итак, мы всегда можем получить разложение числа a на простые множители вида a=p₁·p₂·…·p_n (при n=1 имеем a=p₁, это разложение соответствует случаю, когда число a простое).

Осталось доказать единственность полученного разложения.

Предположим, что помимо разложения a=p₁·p₂·…·p_n существует еще одно разложение числа a на простые множители q₁, q₂, …, q_m вида a=q₁·q₂·…·q_m. Тогда должно быть справедливо равенство p₁·p₂·…·p_n=q₁·q₂·…·q_m. Покажем, что при n≠m это равенство невозможно, a при n=m произведения p₁·p₂·…·p_n и q₁·q₂·…·q_m тождественно равны.

Правая часть последнего равенства делится на q₁, тогда в силу предыдущей теоремы хотя бы один из множителей p₁, p₂, …, p_n должен делиться на q₁. Допустим, на q₁ делится p₁, но так как числа p₁ и q₁ простые, то p₁ делится на q₁ только тогда, когда q₁=p₁. Это позволяет нам сократить обе части равенства p₁·p₂·…·p_n=q₁·q₂·…·q_m на q₁=p₁, получаем p₂·…·p_n=q₂·…·q_m. Рассуждая аналогично про p₂ и q₂, придем к равенству p₃·…·p_n=q₃·…·q_m. И так действуем дальше, пока в какой-либо части равенства не сократятся все множители. При n≠m мы получим или равенство 1=q_n+1·…·q_m, или равенство p_m+1·…·p_n=1, которые невозможны для простых чисел q_n+1, …, q_m и p_m+1, …, p_n. Если же n=m, то мы получим тождество 1=1, которое указывает на тождественное равенство разложений a=p₁·p₂·…·p_n и a=q₁·q₂·…·q_m. Этим доказана единственность разложения числа на простые множители.

В заключение отметим, что основную теорему арифметики часто называют теоремой о разложении чисел на простые множители.
25. Геометрические фигуры. Точка. Прямая. Определения. Аксиомы.

Геометрическая фигура- множество точек на поверхности (зачастую на плоскости), которое образует конечное количество линий.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точкаипрямаялиния. Отрезок, луч, ломаная линия — самые простые геометрические фигуры на плоскости.

Точка— мельчайшая геометрическая фигура, являющаяся основой других фигур во всяком изображении либом чертеже.

Каждая более сложная геометрическая фигура есть множество точек, которые обладают определенным свойством, характерное только для этой фигуры.

П рямая линия, либопрямая –это бесконечное множество точек, расположенных на 1-ой линии, которая не имеет начала и конца. На листе бумаги можно увидеть лишь часть прямой линии, т.к. она не имеет предела.

П рямую изображают так:

Ч асть прямой линии, которая ограничена с 2-х сторон точками, называют отрезком прямой, либо отрезком. Его изображают так:

 Луч— это направленная полупрямая, имеющая точку начала и у которой нет конца. Луч изображают так:

  Если на прямой поставить точку, то эта точка будет разбивать прямую на 2 противоположно направленных луча. Эти лучи называют дополнительными.

  Ломаная линия — несколько отрезков, которые соединены друг с другом таким образом, что конец 1-го отрезка оказывается началом 2-го отрезка, а конец 2-го отрезка — началом 3-го отрезка и так далее, причем соседние (которые имеют 1-ну общую точку) отрезки располагаются на разных прямых. Когда конец последнего отрезка не совпадает с началом 1-го, значит, эта ломаная линия будет называться незамкнутой:

 Когда конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом 1-го, значит, эта ломаная линия будет замкнутой. Пример замкнутой ломаной - это всякий многоугольник:

Ч етырехзвенная замкнутая ломаная линия — четырехугольник (прямоугольник):

Т рехзвенная замкнутая ломаная линия — треугольник:

  Плоскость, как и прямая, — это исходное понятие, у которого нет определения. У плоскости, как и у прямой, не возможно увидеть ни начала, ни конца. Всегда рассматривается лишь часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией.

  Пример плоскости - это пол, столешница, всякая гладкая поверхность. Плоскость изображают заштрихованной геометрической фигурой:
26. Ломаная. Выпуклые многоугольники.

Ломаная — это фигура, которая состоит из определенного количества точек и отрезков, последовательно их соединяют.

Точки называются вершинами ломаной, а отрезки — звеньями ломаной.

Длина ломаной — сумма длин ее звеньев.

Замкнутая ломаная — ломаная, в которой совпадают конце.

М ногоугольник — это простая замкнутая ломаная. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, звенья ломаной — сторонами многоугольника.

Выпуклые многоугольники

Ломаная называетсязамкнутой, если у нее концы совпадают. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой (рис. 276). Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной — сторонами многоугольника.

Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольник, называются диагоналями. Многоугольник с n вершинами, а значит, и с n сторонами называется n-угольником. Плоским многоугольником или многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником (рис. 277).

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости. На рисунке 278, о изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 278, б — невыпуклый. Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.
Теорема 13.2. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°-(n-2).

Доказательство. В случае n = b теорема справедлива. Пусть A₁A₂ ... A_n —данный выпуклый многоугольник и n>b (рис. 279). Проведем n — b диагонали: А₁А₃, А₁А₄, ...A₁A_n-1. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n —2 треугольника:  А₁А₂А₃,  А₁А₃А₄, ... ....  A₁A_1-nA_n. 

Сумма углов многоугольника А₁А₂...А_n совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а число этих треугольников есть n — 2. Поэтому сумма углов выпуклого n-угольника А₁А₂...А_n равна 180°-(n —2). Теорема доказана.

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине.

Задача (9). Чему равна сумма внешних углов выпуклого п-угольника, взятых по одному при каждой вершине?

Решение. Сумма внутреннего угла многоугольника и смежного с ним внешнего равна 180°. Поэтому сумма всех внутренних и внешних углов равна 180° • n. Но сумма всех внутренних углов равна 180°•(n — 2). Значит, сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна 180°• n-180°-(n-2) =360°.
27. Правильные многоугольники.

П равильными называют многоугольники, у которых равны все стороны и все углы.

В рисунке видны некоторые правильные многоугольники: треугольник, четырёхугольник (квадрат), пятиугольник и шестиугольник.

Если в правильных выпуклых многоугольниках провести диагонали, то образуются правильные вогнутые многоугольники:

и з диагоналей пятиугольника получается пентаграмма, из диагоналей шестиугольника гексаграмма, а из диагоналей семиугольника даже две разные гептаграммы:

Если провести все диагонали из одной вершины, любой n-угольник можно поделить в n−2 треугольника, таким образом сумма всех внутренних углов определяется по формуле 180°⋅(n−2).

Так как все углы правильного n-угольника равны, то величина одного внутреннего угла равна 180°⋅(n−2)n.

О коло любого правильного многоугольника можно описать и вписать в него окружность, при этом совпадают центры обоих окружностей, и эту точку называют центром многоугольника.

Вписанная окружность касается всех сторон, описанная окружность проходит через все вершины. 

∡AOH=360°n;∡AOK=360°2n=180°n

В треугольнике AOK связаны сторона a (половина стороны AK ), радиус описанной окружности OA=R и радиус вписанной окружности OK=r.

a2=R⋅sin180°n;a=2R⋅sin180°n;R=a2sin180°na2=r⋅tg180°n;a=2r⋅tg180°n;r=a2tg180°nr=R⋅cos180°n;R=rcos180°n

Так как n-угольник состоит из n треугольников равных AOH, то

Sn−уг.=n⋅SAOH=n⋅AH⋅r2=p⋅r2

Для правильного треугольника и квадрата дополнительно в силе все формулы, которые были рассмотрены в курсе геометрии.
2 8. Длина окружности (вывод формулы).

К руг- геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше, чем заданное ненулевое.

Окружность- замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая. Также круг можно определить, как часть плоскости, ограниченную окружностью.

Формула площади круга

Площадь геометрической фигуры - часть поверхности, ограниченная замкнутым контуром данной фигуры. Величина площади круга выражается числом заключающихся в него квадратных единиц.

1) Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи (3.1415).

2) Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус. S= S- площадь круга π- число пи (3.1415) r- радиус круга

Формула периметра круга (длины окружности)

Периметр геометрической фигуры - суммарная длина границ плоской геометрической фигуры. Периметр имеет ту же размерность величин, что и длина.

P  - Периметр круга (длина окружности) π - число пи (3.1415) r - радиус круга (окружности)
29. Замечательные точки в треугольнике.

П ервая замечательная точка треугольника Точка пересечения биссектрис (рис. 1).

Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности и всегда находится внутри треугольника.