Основы физической химии_Ерёмин. Первый закон термодинамики. 28
 Скачать 4.51 Mb.
|
§ 28. Сильно неравновесные системы Состояние равновесных и слабо неравновесных систем однозначно определяется принципами экстремумов максимума энтропии или минимума производства энтропии. Для сильно неравновесных систем общего экстремального принципа нет такие системы развиваются непредсказуемо, при одних и тех же начальных условиях сильно неравновесная система может переходить к разным состояниям. Изменение во времени (динамика) неравновесных систем описывается дифференциальными уравнениями общего вида 408 сящий от условий жизни. В зависимости от значения r, возможны различные сценарии поведения системы (рис. 28.1). периодическое поведение хаос равновесие 3 2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r X Предельные значения логистического отображения (28.3) при различных значениях управляющего параметра r 1. При r < 1 популяция исчезает x ∞ = 0. 2. При 1 < r < 3 численность популяции стремится к единственному предельному значению 1 1 x r ∞ = − , которое устойчиво. 3. При 3 < r < r ∞ = предельного значения нет численность популяции, независимо от начального значения x 0 , колеблется между несколькими значениями, число которых равно 2 k , k = 1, 2, … ∞ в зависимости от r. Такой режим называют периодическим. 4. При r ∞ < r < 4 поведение системы становится полностью хаотическими непредсказуемым. При увеличении n численность популяции может принимать любые значения в интервале от 0 до 1, а набор {x n } имеет свойства случайной последовательности чисел. Таким образом, при изменении параметра r, который определяет роль нелинейных эффектов, состояние системы изменяется от равновесного до хаотического r 1 3 4 Равновесное Поведение Пер иод ическое Ха от ич ес кое Во многих случаях состояния, к которым стремятся неравновесные системы, имеют высоко упорядоченную пространственно-временную Рис. 28.1 ∆T, превышающем некоторое критическое значение ∆T c , жидкость структурируется в виде небольших ячеек – так называемых ячеек Бенара риса. Жидкость в этих ячейках находится в движении – такой режим называют тепловой конвекцией, причем в соседних ячейках направление вращения потоков жидкости противоположно (рис. б. Образование ячеек Бенара – пример самоорганизации в сильно неравновесной системе. Для явлений самоорганизации характерны два основных свойства 1) нарушение симметрии системы – при образовании ячеек Бенара жидкость становится неоднородной, ее симметрия понижается 2) бистабильность – в организованной системе возможно несколько устойчивых стационарных состояний (в ячейках Бенара – с левым или правым вращением потока жидкости, причем выбор между ними происходит случайным образом. Риса Ячейки Бенара. б) Движение жидкости в ячейках Бенара а < б Глава. Элементы неравновесной термодинамики 410 Зависимость стационарных свойств системы от управляющих параметров называют бифуркационной диаграммой. Типичная бифуркационная диаграмма представлена на рис. 28.3. При λ < λ c существует единственное устойчивое стационарное состояние. Эту область изменения λ называют термодинамической ветвью. При переходе через критическое значение происходит бифуркация – устойчивое стационарное состояние становится неустойчивым (показано пунктиром) и образуются еще два устойчивых стационарных состояния бистабильность. К какому из этих двух состояний перейдет система из неустойчивого состояния, определяется случайными флуктуациями. Дальнейшее увеличение разности температур в эксперименте Бенара приведет к разрушению ячеек и возникновению турбулентности, когда свойства потока жидкости станут хаотическими. Таким образом, по мере отклонения от равновесия жидкость проходит через последовательность режимов Равновесие Линейный режим Самоорганизация последовательность является довольно общей для многих видов систем – физических, химических, биологических, социальных. Устойчивость стационарных состояний Принципы анализа устойчивости продемонстрируем на примере двумерной динамической системы ( , ) ( , ) dx f x y dt dy g x Пусть стационарное состояние описывается координатами x = y = 0. Вблизи этого состояния система уравнений (28.4) является линейной 0 0 0 0 x y x y f f dx x y dt x y dy g g x y dt x y = = = = ⎧ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ = + ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎨ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎪ = + Рис. 28.3 (28.4) (28.5) Влияние управляющего параметра λ на стационарное свойство X системы Глава. Элементы неравновесной термодинамики Представив решение в виде x = exp( λ 1 t), y = exp( λ 2 t), сведем систему дифференциальных уравнений (28.5) к системе линейных алгебраических уравнений, нетривиальное решение которой существует при условии 0 0 0 0 0 x y x y f f x y g g x y = = = = ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ − λ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ − Это – квадратное уравнение вида λ 2 – b λ + γ = 0, оно имеет два корня 2 1,2 4 2 b b ± − γ λ Стационарное состояние будет устойчивым, если действительные части обоих корней отрицательны Re{ λ 1,2 } < 0. В этом случае любое отклонение от стационарного состояния со временем экспоненциально затухает. Когда хотя бы один из корней имеет положительную действительную часть, Re{ λ i } > 0, стационарное состояние неустойчиво, малые отклонения со временем экспоненциально растут. Если оба корня – чисто мнимые, то система имеет нейтральную устойчивость и совершает периодическое движение по замкнутой траектории вокруг стационарного состояния. Линейный анализ устойчивости не позволяет описать динамику системы при удалении от неустойчивого стационарного состояния. Для полного понимания надо исследовать нелинейные эффекты (пример 28-2). В нелинейных системах устойчивые стационарные состояния могут представлять собой не только отдельные точки, как в линейном режиме, но и целые траектории или поверхности. Такие состояния называют аттракторами, так как они притягивают к себе все близлежащие траектории в фазовом пространстве. В системах стремя и более измерениями аттракторы могут представлять собой фрактальные объекты дробной размерности, их называют странными аттракторами. Первый странный аттрактор был открыт Э. Лоренцем в 1963 году при исследовании нелинейной системы уравнений, описывающих динамику атмосферы dX Y X dt dY Y rX XZ dt dZ bZ XY dt ⎧ = σ − σ ⎪ ⎪ ⎪ = − + − ⎨ ⎪ ⎪ = − + ⎪⎩ 1 То есть действительная часть равна 0. (28.6) (28.7) (28.8) (28.9) Глава. Элементы неравновесной термодинамики 412 Эта система обладает очень богатым репертуаром различных сценариев поведения, зависящих от управляющих параметров. Один из странных аттракторов для этой системы изображен на рис. 28.4. При увеличении размерности сложность динамических систем стремительно возрастает. Общей теории нелинейных динамических систем, находящихся вдали от положения равновесия, не существует. Сочетание нелинейности и неравновесности может приводить к невероятно сложному динамическому поведению, в котором большую роль играют флуктуации и неустойчивость к начальным условиям. Именно такие системы являются типичными в нашей жизни, и именно поэтому изучение окружающего мира представляет огромный интерес для исследователей. ПРИМЕРЫ Пример 28-1. Модель «хищник-жертва», предложенная Лоткой и Вольтеррой, включает следующие реакции A + X k 1 2X 2Y k 2 X + Y D k 3 Y , где концентрация A – управляющий параметр. Найдите стационарные состояния этой системы и определите их устойчивость в линейном приближении. Решение Система кинетических уравнений для X и Y имеет вид 1 2 2 3 dX k AX k XY dt dY k XY k Приравнивая нулю правые части этой системы, находим два стационарных состояния 1) X 0 = 0, Y 0 = 0; 2) X 0 = k 3 / k 2 , Y 0 = k 1 A / Рис. 28.4 Аттрактор Лоренца при r = 28, σ = 10, b = 8/3 ух Глава. Элементы неравновесной термодинамики Определим их устойчивость. 1) Вблизи X 0 = 0, Y 0 = 0 система уравнений в линейном приближении имеет тривиальный вид 1 dX k AX dt = 3 dY k Y dt = и решение, которое является неустойчивым по координате X: ( ) ( ) 1 3 ( ) (0) exp ( ) (0) exp X t X k At Y t Y k Любая небольшая флуктуация числа жертв – X – будет экспоненциально возрастать со временем, поэтому данное стационарное состояние неустойчиво. 2) Вблизи ненулевого стационарного состояния система уравнений приобретает вид 3 1 dx k y dt dy k Ax dt ⎧ = − ⎪⎪ ⎨ ⎪ = ⎪⎩ , где x = X – X 0 и y = Y – Y 0 – отклонения от стационарного состояния. Для этой системы уравнение на собственные значения (28.6) выглядит следующим образом 3 1 0 k k A −λ и имеет чисто мнимые, комплексно сопряженные корни λ 1,2 = Это соответствует нейтральной устойчивости. В стационарном состоянии переменные X и Y испытывают периодические колебания с частотой. При малом возмущении этого состояния система перейдет в другое стационарное состояние с периодическими колебаниями. В этой системе управляющие параметры не влияют на устойчивость стационарных состояний. Ответ Два стационарных состояния – неустойчивое и нейтральное. Пример 28-2. Нелинейная динамическая система Пуанкаре описывается уравнениями 2 2 2 2 ( ) ( ) dx x y x x y dt dy x y y x y dt ⎧ = α + β − + ⎪⎪ ⎨ ⎪ = −β + α − + ⎪⎩ Глава. Элементы неравновесной термодинамики 414 Найдите стационарные состояния этой системы, определите их устойчивость и постройте бифуркационную диаграмму. Решение Заменой переменных x = r cos ϕ, y = r sin ϕ система Пуанкаре приводится к виду 3 dr r r dt d dt ⎧ = α − ⎪⎪ ⎨ ϕ ⎪ = −β ⎪⎩ , откуда непосредственно следует ϕ(t) = ϕ 0 – βt. Приравнивая нулю правую часть первого уравнения, находим стационарные состояния 1) r 0 = 0; 2) r 0 = α (α > 0). При α < 0 имеем единственное устойчивое стационарное состояние r 0 = 0. При α > 0 оно становится неустойчивым, но появляется второе стационарное состояние, в котором система совершает равномерное периодическое движение по окружности. Стационарные состояния такого типа называют предельными циклами. Определим его устойчивость. Придадим окружности небольшое возмущение r = α + δr и посмотрим, как оно изменяется со временем 3 2 3 ( ) ( ) 2 3 ( ) ( ) 2 d r r r r r r r dt δ = α α + δ − α + δ = − αδ − α δ − δ − αδ , ( ) ( ) (0) exp 2 r t r t δ = δ − α . Возмущение экспоненциально затухает, поэтому предельный цикл – устойчивый, он притягивает к себе все соседние траектории. Бифуркационная диаграмма 0 уст. уст. неуст. r 0 α Точка бифуркации α = 0. Ответ При α > 0 имеется устойчивый предельный цикл. ЗАДАЧИ С помощью численного эксперимента определите, в каком диапазоне значений r численность популяции (28.3) колеблется между 4 значениями Глава. Элементы неравновесной термодинамики 415 28-2. Явление бистабильности характерно для автокаталитических реакций. Рассмотрим модель Шлегля автокаталитической реакции вот- крытой системе B + 2X 3X X → C. Запишите кинетическое уравнение для концентрации катализатора X (константы скорости примите равными 1) и постройте бифуркацион- ную диаграмму зависимости стационарной концентрации X от концентрации реагента B. Продемонстрируйте явление бистабильности. 28-3. Для колебательной реакции Белоусова–Жаботинского предложена модель, называемая брюсселятором: A k 1 X Y + D k 2 B + X E k 4 X 2X + Y k 3 3X где концентрации A и B – управляющие параметры, они поддерживаются постоянными. Напишите уравнение суммарной реакции. Найдите стационарное состояние этой системы и определите его устойчивость в линейном приближении. Исследуйте различные сценарии поведения системы вблизи стационарного состояния в зависимости от концентрации. Константы скорости для простоты примите равными единице. 28-4. Для объяснения хиральной асимметрии аминокислот и углеводов Ф. Франк разработал модельную схему реакции с автокатализом S + T k 1 k -1 X L 2X L k -2 k 2 S + T + X L S + T + X D k 2 k -2 2X D X D k -1 k 1 S + T X L + где S и T – реагенты, их концентрации поддерживаются постоянными, X L и X D – энантиомеры. Запишите кинетические уравнения для этой системы в координатах α = ([X L ] – [X D ])/2, β = ([X L ] + [X D ])/2 и найдите стационарные состояния. Покажите, что существует стационарное состояние, в котором [X L ] ≠ [X D ]. ПРИЛОЖЕНИЯ Приложения ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Величина Единица измерения в СИ Связь с другими единицами Масса килограмм (кг) 1 кг = 10 3 г = 10 6 мг Длина метр мм см = 10 9 нм = 10 10 Å Площадь метр мм см 2 Объем метр мм л = 10 6 см 3 Давление паскаль (Па) 1 бар = 10 5 Па = 0.987 атм = 750 Торр 1 атм = 101325 Па (точно) = 760 Торр 1 Торр = 1 мм рт. ст. = 133.32 Па Энергия джоуль (Дж) 1 Дж = 0.2390 кал = 10 –3 кДж 1 кал = 4.184 Дж (точно) Спектроскопические единицы 1 эВ = 8065.5 см = 1.6022 ⋅10 –19 Дж = = 96485 Дж ⋅моль –1 = 23060 кал ⋅моль –1 1 см = 1.2398 ⋅10 –4 эВ = 1.9864 ⋅10 –23 Дж = = 11.963 Дж ⋅моль –1 = 2.8591 кал ⋅моль –1 |