шпоры. Шпора. 1. Матрицы. Определение и действия над ними. Матрицатаблица элементов любой природы. Под матрицей понимается
 Скачать 0.74 Mb.
|
|
1.Матрицы. Определение и действия над ними. Матрица-таблица элементов любой природы. Под матрицей понимается таблица элементов, состоящая из m-строк и n-столбцов, при этом говорят, что матрица имеет размер mхn. Произвол. эл.мат-цы, стоящ. на пересеч. i и j обознач аij. Матрицы могут обозначаться () или []. Часто м-we обозначают одной буквой А Виды матриц: 1)строки=столбцы (+про главную и побочную диагональ) -квадратная (в диагонали наход. эл. а11, а22, а33…) -диагональная( ве элементы равны 0 кроме тех, что наход в диагонали) A = diag(a11; a22; : : : ; ann): -единичные матрицы(по диагонали 1, а остальные нули) обознач Е -нулевые м-цы (все элементы равны 0) обознач О 2)-матрица-строка (размер 1хп) -матрица столбец (размер мх1) 3) Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Причем матрица вида (a11 a12 . . . a1n) (0 a22 . . . a2n) (. . . . . . . . . . . .) (0 0 . . . ann) - называется верхней треугольной, а матрица вида (a11 0 . . . 0) (a21 a22 . . . 0) (. . . . . . . . . . . .) (an1 an2 . . . ann)– нижней треугольной матрицей. Действия над ними: 1)сложение(суммой матриц А и В называется такая матрица С, равная А+В рамера мхп, элементы которой cij = aij + bij, i = 1, m, j = 1, n) Свойства операции сложения матриц: 1. A + B = B + A 2.(A + B) + C = A + B + C 3. A + O= A 2)Умножение матриц на число (Произведением числа α на матрицу A называется матрица C=αА размера мхп размеры которой определяются cij = α*aij, i = 1, m, j = 1, n) Свойства операции умножения матриц на числа: 1. α(βA) = (αβ)A 2. (α + β)A = αA + βA; 3. α(A + B) = αA + αB 3)Под разностью двух матриц А-В понимают А+(-1)В Матрицы(-1)А противоположна по отношению к А, обознач –А. Cв-ва матриц: А+(-А)=0 0*А=0 1*А=А 4) умножение матриц (Произведением матрицы A = (aij) размеров mхn на матрицу B = (bij) размеров nхl называется матрица C = (cij) размеров mхl,элементы которой опред. а11*в11+а12*в21 и т.д.) Матрица A можно умножать с матрицей B, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B Свойства умножения матриц: 1.АВ=/ВА 2. (AB)C = A(BC) 3. Aм AП= Aм+п 4.(А*В)П=АП*ВП 5.Е*А=АФ2 А*Е=АФ3 6.А(В+С)=АВ+АС 7.0*А=0 А*0=0 Сравнение бесконечно малых функций 2.Перестановки Упорядоченное расположение элементов множества M, т.е. расположение, при котором указано какой из элементов первый, второй и т.д. называется перестановкой (1,2,3,…,п). п! (эн факториал) 5!=1*2*3*4*5=120 Теорема. Количество всех различных перестановок из n чисел равно n!. Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем метод математической индукции. Для n = 1 кол-во перестановок равно 1 (1!). Множ из к элементовдопуск. к! перестоново. Покаже, что множество к+1 допуск (к+1)! {1,2,3, … 3к+1} множество 1. (1,2,3,…,к+1)перестановка подчеркнут. часть можно представ. к! способами 2. (2,1,3,…,к+1) подчеркнутая часть к! ………………….. к+1. (к+1,1,…,к) получ.всего перестановок: к!(к+1)=(к+1)! Говорят, что в данной перестановке числа i, j образуют инверсию, если i > j, но i стоит в перестановке раньше j. Перестановка называется четной, если ее числа составляют четное число инверсий, и нечетной в противном случае. Теорема. Всякая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную. 3.Определение определителя п-ого порядка Определитель-числовая характеристика матрицы Определитель можно определить только для квадратной матрицы |a11 a12 . . . a1n| |a21 a22 . . . a2n| |. . . . . . . . . . . . . .| |an1 an2 . . . ann| , |A|, det A, ∆ ∑(−1) ν(γ1,γ2,...,γn) a1γ1 . . . anγn (суммирование производится по перестановкам) (γ1,γ2,...,γn) 4.Частные виды определителя detA =(a11 a12) (a21 a22)= (−1)ν(1,2)a11a22 + (−1)ν(2,1)a12a21 = a11a22 − a12a21 Для вычесления определителя 3-го порядка использ правило треугольников detA =(a11 a12 a13) (a21 a22 a23) (a31 a32 a33) = (a11a22a33 + a12a23a31+ +a13a21a32) − (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33) единичные ∆=1 диагональные ∆= произведению элементов диагонали 5.Свойства определителей 1)detA = detAT Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A = (aij), а AT = (aТij). Так как det A и det AT имеют равное число членов n!, то достаточно показать, что любой член det A является членом det AT и наоборот. Так как при транспонировании матрицы столбцы становятся строками и наоборот, то из свойства 1 следует, что все утверждения, которые верны для строк, верны и для столбцов. 2) Если матрица B получена из матрицы A умножением некоторой строки на число α, то detB = adetA 3) Определитель матрицы, содержащей нулевую строку, равен нулю. Д о к а з а т е л ь с т в о. Положив в предыдущем свойстве α = 0, получим требуемое. 4) Если матрица B получается из матрицы A перестановкой двух каких-либо ее строк, то detB = −detA. 5) Определитель, содержащий две одинаковые строки равен нулю. Д о к а з а т е л ь с т в о. Переставляя эти две одинаковые строки местами и используя свойство 4 определителя имеем равенство detA = −detA. Откуда следует, что 2detA = 0, а следовательно, detA = 0. 6) Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю. 7) Определитель не изменится, если к одной строке определителя прибавить другую строку этого же определителя, умноженную на произвольное число. Д о к а з а т е л ь с т в о. Новый определитель ∆1 есть сумма двух слагаемых: исходного определителя ∆ и определителя с пропорциональными строками. Последний равен нулю, поэтому ∆1 = ∆. 8) Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда ее строки линейно зависимы. 6. Вычисление определителей n-го порядка Теорема. Если в матрице A все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю за исключением, быть может, одного, то определитель этой матрицы равен произведению этого ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение. Теорема(о разложении определителя по строке или столбцу). Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е. верны равенства det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . . + ainAin, 1<= i<=n det A = a1jA1j + a2jA2j + . . . + anjAnj, 1<= j <=n 7. Обратная матрица и ее свойства. Вычисление обратной матрицы Матрица X называется обратной к матрице A если AX = XA = En Обратная матрица к матрице A обозначается A−1. Из равенств имеем AA−1 = A−1A = E Квадратная матрица называется невырожденной (или неособенной), если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной (или особенной) в противном случае. Теорема (о единственности обратной матрицы). Если для матрицы A существует обратная матрица, то она единственна. Лемма. Для матрицы A и присоединенной к ней матрицы B выполняются равенства AB = BA = (detA)En. Теорема (о существовании обратной матрицы). Для того чтобы для матрицы A существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной. Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная матрица A−1. Тогда из равенств, ввиду теоремы , получаем detA · detA−1 = detEn ⇒ detA · detA−1 = 1 ⇒ detA = 0. Достаточность. Пусть detA 뷸= 0, т. е. A – невырожденная матрица. Докажем, что A−1 = de1tAB, где B-присоединенная матрица к матрице A. Действительно, из равенств (3.9) следует, что 1/detA*AB =1/detA*BA = En A(1/detA*B)=(1/detA*B)A = En. Последние равенства говорят о том. что матрица 1/detA*B является обратной к матрице A. Свойства обратных матриц: Пусть A и B – невырожденные матрицы порядка n 1. (A−1)−1 = A. 2. (A−1)T = (AT)−1. 3. (A−1)k = (Ak)−1 4. detA−1 = (detA)−1. 5. Если AB = En или BA = En, то B = A−1. 6. (AB)−1 = B−1A−1 Способ вычисления: (A11 A21 . . . An1) (A12 A22 . . . An2) A−1 = 1/detA* ( . . . . . . . . . . . . . ) (A1n A2n ... Ann) 8.Линейные операции над матрицами 1)сложение(суммой матриц А и В называется такая матрица С, равная А+В рамера мхп, элементы которой cij = aij + bij, i = 1, m, j = 1, n) Свойства операции сложения матриц: 1. A + B = B + A 2.(A + B) + C = A + B + C 3. A + O= A 2)Умножение матриц на число (Произведением числа α на матрицу A называется матрица C=αА размера мхп размеры которой определяются cij = α*aij, i = 1, m, j = 1, n) Свойства операции умножения матриц на числа: 1. α(βA) = (αβ)A 2. (α + β)A = αA + βA; 3. α(A + B) = αA + αB 3)Под разностью двух матриц А-В понимают А+(-1)В Матрицы(-1)А противоположна по отношению к А, обознач –А. Cв-ва матриц: А+(-А)=0 0*А=0 1*А=А 9.Умножение матриц Умножение матриц (Произведением матрицы A = (aij) размеров mхn на матрицу B = (bij) размеров nхl называется матрица C = (cij) размеров mхl,элементы которой опред. а11*в11+а12*в21 и т.д.) Матрица A можно умножать с матрицей B, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B Свойства умножения матриц: 1.АВ=/ВА 2. (AB)C = A(BC) 3. Aм AП= Aм+п 4.(А*В)П=АП*ВП 5.Е*А=АФ2 А*Е=АФ3 6.А(В+С)=АВ+АС 7.0*А=0 А*0=0 10.Элементарные преобразования матриц. Транспонирование матриц Элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы A: 1) умножение какой-либо строки (столбца) на ненулевое число; 2) прибавление к одной, например i-й строке (столбцу) другой, например j-й строки (столбца), умноженной число. Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы называют элементарными преобразованиями матрицы. Перестановка двух строк (столбцов) также считается элементар. преобраз. Если от мат-цы А можно перейти к матрице В элемент. преобраз., то такие матрицы назыв. подобными (эквивалентными) и обознач. A ∼ B. Транспанирование- операция, в результате котрой строки матрицы меняются на столбцы (или наоборот) с сохранением порядка их следования. Свойства операции транспонирования. 1. (AT)T = A; 2. (A + B)T = AT + BT; 3. (αA)T = αAT; 4. (AB)T = BTAT. 11.Ранг матрицы и его свойства Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля. Алгоритм вычисления ранга матрицы: -матрица приводится к ступенчатому с помощью элементарных преобразований; -количество ненулевых строк в полученной матрице будет равно рангу первоначальной матрицы. Свойства ранга матрицы: - ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров; - ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда матрица нулевая; - ранг матрицы не изменится, если из нее вычеркнуть все нулевые строки и столбцы; - ранг матрицы не изменится при ее транспонировании; - элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга 12.Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений от n неизвестных x1,...,xn над множеством R называется система выражений вида  Элементы aij называются коэффициентами системы, элементы bi – ее свободными членами.Если все свободные члены системы линейных уравнений равны нулю, то система называется однородной, в противном случае – неоднородной. Если существует хотя бы одно решение рассматриваемой системы, то эта система считается совместной, в противном случае – несовместной. Решить систему линейных уравнений – это значит выяснить, совместна она или нет, и в случае совместности найти все ее решения (общее решение). Матрица A = (a11 a12 . . . a1n) |в1 (. . . . . . . . . . . . . ) |в2 (am1 am2 . . . amn) |в3 составленная из коэффициентов системы называетсяматрицей или основной матрицей системы, полученная приписыванием столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы. (x1) X =(x2) (...) (xn) (в1) B =(в2) (в3) (в4) Столбец X называется столбцом неизвестных, а B – столбцом свободных членом системы Матричное уравнение: AX = B Следующие преобразования системы линейных алгебраических уравнений называются элементарными: 1) умножение некоторого уравнения системы на отличное от нуля число; 2)прибавление к одному уравнению системы другого уравнения этой системы умноженного на некоторое число; 3)перемена местами системы уравнений Лемма . Две эквивалентные системы уравнений равносильны. 13.Критерий совместности систем линейных алгебраических систем. Теорема Коанекера-Капелли Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы. Это утверждение называют теоремой Кронекера-Капелли. Для того, чтобы система лин.алгебр.уравн. была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг основной и расширенной матрицы были равны, если ранг А равен рангу В, то система имеет одно единственное решение, если , если ранг А меньше ранга В, имеет бесконечное множество решений. 14.Матричный метод решения линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера Если матрица А-невырожденная, det=/0 1)из системы запишем матрицу А, затем (в1) (х1) B =(в2) и X =(x2) (в3) (х3) 2)затем находим detA 3)находим A-1=  AT4)Затем находим каждый элемент А11=(-1)1+1*(А22*А33-А32*А23) 5)подстав знач А11 и остальных элементов в матрицу АТ 6) по формуле Х=А-1В находим значения х1, х2, х3 Формулы Крамера: Сначала находим определитель обыкновенной матрицы, не расширенной. Затем находим ∆1, в матрицу вместо первого столбца подставляем свободные члены исходной системы. Затем находим неизвестные по формуле: х1=  15.Метод Гаусса решения линейных алгебраических уравнений Еще называют метод последовательных исключений. Алгоритм выполнения: 1. запишем расширенную матрицу 2.приведем ее к треугольному виду при помощи преобразования(умножения уравнения на число и вычитанием его из другого уравнения) или переменой мест уравнений 3. В результате получили систему, последнее уравнение которой содержит лишь переменную xп, и , следовательно, можем из него найти значение этой неизвестной 4. Подставим это значение во предыдущее уравнение и т.д. 16.Решение однородных СЛАУ. Связь между решениями линейных однородных и неоднородных систем линейных уравнений Однородная система всегда совместна, так как она имеет нулевое решение (0, 0, . . . , 0). Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы меньше числа неизвестных, т.е. когда rankA < n. Однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель ее матрицы равен нулю. Связь между решениями Все решения совместной системы линейных уравнений можно получить, складывая какое-либо одно решение этой системы с каждым решением приведенной однородной системы линейных уравнений. 17.Декартовы координаты на прямой Величина направленного отрезка |