Отн. Основы теории надежности РЭС. 1. основные характеристики надежности рэс и радиокомпонентов характеристики надежности рэс
 Скачать 0.64 Mb.
|
|
Сравнение общего и раздельного резервирования. Общее резервирование характеризуется тем, что основная система, сос- тоящая из N элементов (рис. 2.1, а), резервируется параллельным включени- ем таких же резервных (l – 1) систем, где (l – 1) – кратность резервирования. Полагая для простоты, что все элементы основной и резервных подсистем равнонадежны, определим вероятность безотказной работы всей системы общ P и вероятность отказа общ Q : l N i l N i q P Q P 1 1 1 1 1 1 общ общ (2.1) Раздельное (поэлементное) резервирование характеризуется тем, что в системе, состоящей из N последовательно включенных элементов, резервиру- ется (l i – 1) раз каждый основной элемент (рис. 2.1, б). Сохраняя те же пред- положения относительно надежности элементов ( N i P P P P 2 1 ) и кратности резервирования ( N i l l l l 2 1 ), что и при общем резерви- P i P N l 1 l i l N 1 2 1 i N P i P 1 P 1 P N б Рис. 2.1 1 l 1 i N P i P i P 1 P 1 P N P N а 2 32 ровании, получим выражения для вероятности безотказной работы всей си- стемы разд P и вероятности отказа разд Q при раздельном резервировании: N l i q P ] ) ( 1 [ разд ; N l i q P Q ] ) ( 1 [ 1 1 разд разд (2.2) Для сравнения эффективности данных методов резервирования найдем отношение (2.2) к (2.1): l N i N l i q q Q Q ] ) 1 ( 1 [ ] ) ( 1 [ 1 общ разд (2.3) В практических системах 3 l , а N – десятки, что дает основание разло- жить (2.3) в ряд, ограничиваясь его линейными членами. Такое упрощение оправданно, поскольку для реальных систем i P близко к единице, а i i P q 1 соответственно мало: 1 общ разд 1 )] 1 ( 1 [ ) 1 ( 1 l l i l i N Nq Nq Q Q (2.4) Выражение (2.4) показывает, что система с раздельным резервированием тем надежнее по сравнению с системой общего резервирования, чем больше элементов N входит в основную систему и чем больше кратность резервиро- вания. Однако реальный выигрыш в надежности при раздельном резервиро- вании замещением не всегда достигается, так как не учитывалась надежность устройств включения резерва (переключателя) – in P . Кроме того, иногда си- стему раздельного резервирования не удается реализовать, исходя из техни- ческих требований к системе. Если все же решение о применении раздельного резервирования замеще- нием принято, то необходимо оценить требуемую надежность переключаю- щего устройства. Переключателю свойственны отказы различного характера: – несрабатывание при отказе основной системы, в результате чего ре- зервный элемент или система не будут подключены взамен отказавших; – ложное срабатывание, в результате чего произойдет переключение на резервную систему при работоспособной основной; – отказы, приводящие к отказу всей (основной и резервной) системы. Учет всех возможных отказов переключателя резерва, характеризую- щихся в общем случае различными вероятностями, усложняет построение и анализ логической схемы надежности РЭС. При приближенном решении за- дачи с учетом конкретной системы можно ограничиться, например, рассмот- 33 рением основного – первого типа отказа переключателя, характеризуемого вероятностью безотказной работы п P и, соответственно, вероятностью отка- за п q . В этом случае в логическую структурную схему надежности последо- вательно с каждым резервным элементом, характеризующимся вероятностью безотказной работы i P , необходимо ввести переключающее устройство. При этом общее количество переключающих устройств можно принять, напри- мер, равным кратности резервирования l – 1. Вероятность отказа группы из l элементов с учетом переключающих устройств и всей системы с N элемен- тами определяется выражениями: 1 п 1 l i i l P P q Q ; 1 п 1 1 l i i l P P q P ; N l i i P P q P 1 п разд 1 1 . (2.5) Определим нижнюю границу требований к надежности переключаю- щего устройства, исходя из условия, чтобы система с раздельным резерви- рованием имела более высокую надежность, чем система с общим резер- вированием, т. е. l q P P осн общ разд 1 , (2.6) где N i P q P осн осн 1 , N q P q i i 1 осн 1 1 1 – соответственно, вероят- ность безотказной работы основной системы, состоящей из N элементов с одинаковой надежностью q q i Подставив (2.6) в (2.5), проведя алгебраические преобразования, разло- жив полученное выражение в ряд и ограничившись его линейными членами, получим: i P P q q P N осн осн осн п 1 ) 1 ( 1 (2.7) Наиболее широко применяется система резервирования РЭС с l = 2 (дуб- лирование), для которой из (2.7) может быть получено выражение N N q q P 1 1 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( осн осн 2 п (2.8) Выражения (2.7) и (2.8) показывают, что при изменении числа элементов основной системы N и известной надежности основной системы осн осн 1 q P изменяются и требования к надежности переключателя. При большом числе элементов основной системы (N > 10) и вероятности безот- 34 казной работы осн P > 0,7...0,8 требуемая минимальная надежность переклю- чателя 2 п P мало отличается от надежности элемента, т. е. i P P 2 п . Если число элементов в системе мало, то к переключателю необходимо предъявлять более жесткие требования по надежности, и при N = 2 необхо- димо выполнить условие i P P 2 п . В этом случае может возникнуть вопрос о целесообразности использования раздельного резервирования, так как требо- вания к надежности переключателя и обобщенные затраты растут. Надежность систем с нагруженным и ненагруженным резервом. При нагруженном резервировании основной и резервный элементы включа- ются и работают одновременно. Вероятность отказа резервированной системы t Q соответствует от- казу при l = 2 как основной системы с вероятностью t Q 1 , так и резервной системы с вероятностью t Q 2 , т. е. t Q t Q t Q 2 1 . Соответственно, веро- ятность безотказной работы резервированной системы (1.14) t P t P t P t P t P t P t P 2 1 2 1 2 1 1 1 1 Если функции плотности распределения отказов основной и резервной систем имеют вид t e t f 1 1 1 ; t e t f 2 2 2 , то t t t e e e t P ) ( 2 1 2 1 (2.9) Средняя наработка до отказа резервированной системы 2 1 2 1 0 ср 1 1 1 dt t P T На практике часто λ 1 = λ 2 = λ, тогда ср ср 2 3 T T (2.10) Таким образом, при нагруженном однократном резервировании средняя наработка до отказа системы возрастает в 1,5 раза по сравнению с ср T . Однако эффективность нагруженного резервирования при увеличении кратности l уменьшается, так как одновременно и в равной степени расходу- ются ресурсы надежности основной и резервных подсистем. В общем случае при (l – 1)-кратном нагруженном резервировании среднее время наработки до отказа системы определяется выражением ср 0 ср ) 1 3 1 2 1 1 ( ) ( T l dt t P T (2.11) 35 В связи с этим использовать l > 3 часто не имеет смысла, так как выиг- рыш в надежности при этом невелик, а габариты, масса и стоимость всей си- стемы растут линейно. Естественно, если применить систему, в которой резерв включается только при отказе основной системы, то можно ожидать выигрыш в надеж- ности резервированной системы. При этом будем полагать, что функции плотности вероятности отказов для основной и резервной подсистем имеют вид, приведенный на рис. 2.2, а и б соответственно. Рис. 2.2 Отметим, что до момента отказа основной системы t ресурс надеж- ности резервной подсистемы не расходуется и 0 , 2 t f при t . Вероят- ность безотказной работы рассматриваемой резервированной системы опре- деляется как композиция случайных событий: ) , ( ) ( ) ( ) ( 2 1 1 t P t Q t P t P , (2.12) где t dt t f t Q 0 ) ( ) ( ; t dt t f t Q t P ) ( ) ( 1 ) ( Подставив в (2.12) соответствующие выражения для ) ( 1 t f и ) ( 2 t f функ- ций плотности распределения отказов основной и резервной подсистем при показательном законе распределения и проведя интегрирование, получим t t t d dt t f t f dt t f t P 0 2 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( t t t t t t t t e e d dt e e dt e 0 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 (2.13) В том случае, когда характеристики надежности основной и резервной систем одинаковы: 2 1 , вероятность безотказной работы резервиро- f 1 (t) t 0 τ f 2 (t) t 0 τ а б 36 ванной системы находится путем предельного перехода и раскрытия неопре- деленности в выражении (2.13): t e t t P ) 1 ( ) ( lim 1 2 (2.14) Естественно, что среднее время наработки до отказа резервированной системы ср T с ненагруженным резервом возрастает в 2 раза, в то время как при нагруженном режиме в 1,5 раза (2.10): ср 0 0 ср 2 2 1 T dt e t dt t P T t Рис. 2.3 Рис. 2.4 Среднее время безотказной работы системы, состоящей из основной подсистемы и l – 1 резервных подсистем с ненагруженным резервом, ср ср ср T l T T i , а вероятность безотказной работы определяется выраже- нием 1 0 ! l i t i i e t t P На рис. 2.3 на основании выражений (2.9) и (2.14) приведены графики вероятности безотказной работы основной системы без резервирования (кривая 1), с нагруженным (кривая 2) и ненагруженным дублированием (кри- вая 3). На рис. 2.4 на основании выражения (2.11) приведены графики отно- шения ср ср T T для систем с нагруженным (кривая 1) и ненагруженным (кривая 2) резервами в зависимости от кратности резервирования. Мажоритарное резервирование. Особое значение и специфику имеет надежность в цифровых информационных системах, где отказы и сбои в процессе наработки становятся очевидными не сразу, так как внешне кодо- P 1 0,5 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 0 λt l ср ср T T 37 вые последовательности, содержащие ошибку, могут мало отличаться от без- ошибочной. Кроме того, первоначальная ошибка вызывает нарушение структуры данных в памяти ЭВМ, появляется множество ошибок в промежуточных ре- зультатах, и чем больше времени проходит до обнаружения ошибки, тем больше возникает ошибочных данных и результатов, требующих восстанов- ления. В связи с этим эффективный контроль вычислительных операций по- зволяет практически устранить кратковременные отказы (сбои), вызванные в первую очередь электрическими и электромагнитными помехами, примене- нием, например, автоматического повторения операций. Кроме аппаратных методов оперативного контроля широко применя- ются различные методы тестового контроля при помощи многочисленных тестовых последовательностей. Так, в методе контрольного тестирования вы- ходная последовательность тестируемого устройства сравнивается с выход- ной последовательностью, получаемой от эталонного, на вход которого по- дается аналогичный сигнал. Рис. 2.5 Признаком неисправности тестируемого устройства является сигнал о несовпадении этих последовательностей. Однако при использовании данного метода необходимо обеспечить высокую надежность работы эталона в отно- шении отказов типа сбоев, кроме естественных периодических проверок, до- статочно сложных и трудоемких. Решить такую задачу для цифровых устройств можно с помощью мажо- ритарного резервирования. При мажоритарном резервировании (рис. 2.5, а) входной сигнал X в виде двоичной последовательности подается на нечетное число устройств преобразования информации УПИ, с выходов которых сиг- налы поступают на вход решающего элемента РЭ. 0,5 1 УПИ РЭ а 1 i n X Y y 1 y i y n 0 1 2 t/T cp P k 1 2 3 б 38 Решающий элемент должен выделить из группы выходных сигналов n i y y y y , , , , , 2 1 , возможно, содержащих ошибку, безошибочный сигнал на основе определенного правила или функции решения. Наиболее простой и наиболее распространенный вид этой функции – закон большинства, или ма- жоритарный закон. При этом решающий элемент, реализующий данное пра- вило, называют мажоритарным элементом. Наибольшее распространение по- лучило мажоритарное резервирование, реализующее выполнение функции решения на основе правила «два из трех» или реже – «три из пяти». Опреде- лим вероятность безотказной работы системы с мажоритарным резервирова- нием P , содержащей 3 одинаковых УПИ с вероятностью безотказной рабо- ты ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 t P t P t P t P (вероятностью отказа ) ( 1 ) ( t P t q ) и решаю- щий элемент с вероятностью безотказной работы ) ( РЭ t P .Вероятность без- отказной работы P определим на основе таблицы истинности (таблица), от- ражающей все возможные состояния УПИ, с помощью СДНФ (совершенной дизъюнктивной нормальной формы) 3 2 1 , , P P P Y . Примем, что состояния от- каза и работоспособности системы соответствуют символам 0 и 1 соответ- ственно, а надежность 1 ) ( РЭ t P n P 1 ( t) P 2 ( t) P 3 ( t) Y(p) n P 1 ( t) P 2 ( t) P 3 ( t) Y(p) 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 4 5 6 7 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 Выбрав из таблицы только те строки, в которых 1 ) ( p Y i , и взяв их сум- му ( i i i q P P 1 ), получим t P t P t P t P t P t P P P P Y P 2 3 1 1 3 2 3 2 1 3 2 , , t P t P t P t P t P t P 3 2 1 3 2 1 (2.15) С учетом равенства показателей надежности УПИ выражение (2.15) представим в виде ) ( 2 3 ) ( 2 3 2 t P t P P (2.16) Если решающий элемент не идеальный, а характеризуется вероятностью безотказной работы 1 ) ( РЭ t P , то в соответствии с логической схемой надеж- ности выражение (2.16) запишется в виде ) ( 2 3 ) ( ) ( 2 3 2 РЭ t P t P t P P (2.17) 39 Зависимость ) ( 3 2 t P иллюстрирует кривая 2 (рис. 2.5, б) для случая экспоненциального закона распределения отказов. Как уже отмечалось, в практике иногда используются системы с мажо- ритарным резервированием с решающим правилом «три из пяти». Составив таблицу истинности и соответствующую СДНФ, нетрудно по- лучить выражение для вероятности безотказной работы ) ( 5 3 t P и 1 ) ( РЭ t P : ) ( 10 ) ( 15 ) ( 6 ) ( 3 4 5 5 3 t P t P t P t P (2.18) Зависимость ) ( 5 3 t P иллюстрирует кривая 3 на рис. 2.5, б. Сравним такой показатель системы, как средняя наработка до отказа, для обоих случаев мажоритарного резервирования и экспоненциального за- кона распределения: 0 cp 0 3 2 3 2 3 2 cp 6 5 6 5 2 3 T dt e e dt t P T t t , (2.19) 0 cp 0 3 4 5 5 3 5 3 cp 60 47 60 47 10 15 6 T dt e e e dt t P T t t t (2.20) Из графиков на рис. 2.5, б, а также из сравнения выражений (2.19) и (2.20) видно, что для времени наработки ср T t способ мажоритарного ре- зервирования «три из пяти» обеспечивает более высокую вероятность безот- казной работы, чем «два из трех», и практически одинаковую среднюю нара- ботку до отказа cp T Выражения (2.17) и (2.18) показывают, что мажоритарное резервиро- вание целесообразно применять в высоконадежных РЭС ( 1 P ), где кратко- временные отказы недопустимы, в то время как показатель средней наработ- ки на отказ cp T , который даже меньше, чем для основной системы ( cp 3 2 cp 5 3 cp T T T ), не имеет решающего значения в силу того, что время непрерывной работа системы ср р T t Вероятность безотказной работы с l-кратным мажоритарным резер- вированием определяется выражением 40 2 1 0 1 РЭ l i i i l l t P t P C t P t P i , (2.21) где l = (3, 5, 7, ...) – нечетное число; i l C – число сочетаний из l по i Выражение (2.21) показывает, что для рассмотренных схем мажори- тарного резервирования вероятность безотказной работы системы P ограни- чивается вероятностью безотказной работы решающего (мажоритарного) элемента ) ( РЭ t P . Этот недостаток устраняется в мультиплексной схеме, где решающий элемент также резервируется. |