Отн. Основы теории надежности РЭС. 1. основные характеристики надежности рэс и радиокомпонентов характеристики надежности рэс

• Название: 1. основные характеристики надежности рэс и радиокомпонентов характеристики надежности рэс
• Дата: 19.04.2023
• Размер: 0.64 Mb.
• Имя файла: Основы теории надежности РЭС.pdf
• Тип: Документы; #1073674
• страница: 5 из 10

2.2. Оптимальное резервирование РЭС
Резервирование применяют обычно в сложных РЭС, отказы в которых недопустимы по условиям работы (цифровые системы высоких уровней, бортовые системы управления в авиационной и космической технике и др.).
Использование резервирования неизбежно приводит к усложнению системы и возрастанию обобщенных затрат

C (увеличению массы, габаритов, стои- мости), что делает необходимым оценивать эффективность резервирования.
Определим как связаны между собой необходимая кратность резерви- рования и характеристики надежности основной и резервных подсистем при общем и раздельном резервировании.
Будем считать, что основная система состоит из
N
элементов, имеющих надежность
i
P
и обобщенные затраты
i
c
(стоимость, габариты, масса и др.), за заданное время наработки р
t
имеет надежность
)
(
р осн
t
P
, меньшую, чем требуемая:
)
(
)
(
р тр р
осн
Σ
t
P
t
P

.
Заданный уровень надежности
)
(
р тр
Σ
t
P
до- стигается (
l –
1)-кратным резервированием.
Для системы с общим резервированием имеем


l
P
P
осн тр
1 1
Σ



, что дает возможность определить
l:




осн тр
1
ln
1
ln
P
P
l



(2.22)
Для системы с раздельным резервированием при условии одинаковой надежности элементов
P
P
i
 , кратности резервирования каждой группы
l
l
i

на основе соотношений
N
P
P
гр тр

и


l
i
P
P



1 1
гр получаем

41





 





 

N
N
P
P
l
1 1
осн тр
1
ln
1
ln
(2.23)
Считается известной стоимость основной системы



N
i
i
c
C
1
осн
. При ре- зервировании стоимость всей системы определится из следующего выраже- ния:
l
С
C
осн


, а относительное увеличение стоимости всей системы при резервировании принимаем
l
С
C


осн
Анализируя выражения (2.22) и (2.23), можно сделать вывод, что без учета стоимости и надежности переключающих устройств система с раз- дельным резервированием будет тем дешевле по сравнению с системой об- щего резервирования (при одинаковых осн
P
и тр
P ), чем больше элементов N в основной системе.
В связи с этим задачу оптимального резервирования будем решать отно- сительно раздельного резервирования. Различают две наиболее распростра- ненные задачи оптимального резервирования: прямую и обратную.
Прямая задача формулируется следующим образом: определить необхо- димое количество резервных подсистем
i
l , обеспечивающих заданное зна- чение показателей надежности системы тр

P
при минимально возможных за- тратах min

C
.Здесь затраты – главное.
Обратная задача: определить необходимое количество резервных под- систем
i
l , обеспечивающих максимально возможное значение показателей надежности системы, например max

P
, при затратах, не превышающих допу- стимых доп


 C
C
. Здесь главное – показатели надежности, но в том и в другом случаях необходимо отметить наличие ограничений, называемых за- тратами.
Решение задач оптимального резервирования основано на математичес- ких методах оптимизации, таких, как методы дифференциальных уравнений, неопределенных множителей Лагранжа, целенаправленного перебора, линей- ного и нелинейного программирования.
Для решения многих экстремальных задач с ограничениями могут быть использованы стандартные программы, реализующие численные методы на-

42
хождения экстремума функций. Суть решения сводится к тому, что для до- стижения экстремума оптимизируемой функции элементы основной системы резервируются с различной кратностью
1

i
l
Решение прямой задачи оптимального резервирования.
В качестве примера рассмотрим решение прямой задачи оптимального резервирования аналитическим методом неопределенных множителей Лагранжа. Для реше- ния задачи необходимо получить выражение для целевой функции

C и функции ограничений.
Вероятность безотказной работы каждой группы элементов


i
i
l
i
l
i
i
q
P
P





1 1
1
гр
, тогда



N
i
i
P
P
1
гр тр
Для составления целевой функции введем вспомогательный параметр
i
a , такой, что
i
i
a
l
i
i
P
q
P
тр гр
1



или
i
a
i
P
P
1
гр тр

,
тогда
i
a
i
q
P
l
i
ln
)
1
ln(
тр


(2.24)
По условию известно значение
i
c каждого элемента, тогда затраты всей резервируемой системы

C , т. е. целевая функция, определяются выраже- нием








N
i
i
a
i
N
i
i
i
q
P
c
l
c
C
i
1
тр
1
ln
)
1
ln(
(2.25)
Из условия









N
i
i
a
P
P
P
P
N
i
a
N
i
i
i
1
тр
1
тр
1
гр тр находим уравнение связи
1 1



N
i
i
a
(2.26)
Для установления экстремума целевой функции
)
,
,
,
(
2 1
N
x
x
x
F

вы- бранным методом составляется функция Лагранжа:
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
2 1
2 1
2 1
1
N
N
N
x
x
x
f
x
x
x
F
x
x
x
F






, где χ – ее неопреде- ленный множитель. Затем решается система уравнений вида

43









,
)
,
,
,
(
,
,
,
1
,
0
,
0
)
,
,
,
(
0 2
1 2
1 1
f
x
x
x
f
N
i
x
x
x
F
x
N
N
i



(2.27) представляющая собой необходимые условия существования экстремума це- левой функции
)
,
,
,
(
2 1
N
x
x
x
F

при некоторых значениях аргументов
N
x
x
x
,
,
,
2 1

В рассматриваемом случае целевая функция представлена уравнением
(2.25), а функция ограничений на переменные – равенством (2.26).
Исследуем выражение (2.25) на минимум указанным методом, составив функцию
1
F и соответствующую (2.27) систему уравнений:











N
i
i
N
i
i
a
i
a
q
P
с
F
i
1 1
тр
1 1
ln
)
1
ln(
,
(2.28)
0 1



i
a
F
;

0
χ
)]
1
(
[ln ln тр тр тр




i
i
a
i
a
i
P
q
P
P
с
(2.29)
Поскольку надежность резервируемых систем высока (
1
тр

P
), опреде- лим производную
i
a
F


1
(2.28), (2.29) при условии
1
lim тр

P
:















0 1
,
,
,
2
,
1
,
0
ln
1
N
i
i
i
i
i
a
N
i
q
a
с

(2.30)
Решая систему уравнений (2.30), получаем




















ln ln ln
,
ln
1 1
N
j
j
j
i
i
i
i
i
N
i
i
i
q
с
q
с
q
с
a
q
с
(2.31)
Подставляя в (2.24) полученное из (2.31) значение
i
a , определяем иско- мое
i
l . Если, например, все N элементов одинаковы по надежности
i
P и сто- имости
i
с , то из (2.24) следует, что
N
a
i
1

;
q
P
l
l
N
i
ln
)
1
ln(
1
тр




44
В процессе решения с большой вероятностью может оказаться, что
i
l –
не целое число. В этом случае
i
l округляют до ближайших целых чисел и при необходимости проверяют все варианты

C
. Если кратность резервиро- вания получается очень большой, то необходимо пересмотреть требования к надежности системы либо повысить надежность элементов (заменой на более надежные или используя облегченные режимы эксплуатации).
Решение задачи оптимального резервирования методом неопределенных множителей Лагранжа, предполагающим непрерывность параметров
N
x
x
x
,
,
,
2 1

, сопряжено с погрешностями, связанными в первую очередь с округлением результатов до целых чисел, что вызывает сдвиг экстремума в пространстве параметров.
Численные методы решения задачи оптимального резервирования, по- зволяющие найти сколь угодно точное решение, целесообразно использовать в случае весьма сложных моделей надежности; особенно они эффективны при малом числе резервных подсистем.
Простейшим численным методом является метод перебора, когда срав- нивают между собой все возможные варианты и выбирают из них тот, кото- рый лучше других соответствует принятым требованиям. Однако при боль- шом числе вариантов метод перебора не эффективен. Для сокращения числа вариантов при переборе из всего множества выбирают подмножество этих вариантов, перспективных с точки зрения поиска оптимального варианта, ко- торое и называется доминирующей последовательностью.
Все неоптимальные решения, не входящие в состав доминирующей по- следовательности в силу того, что они обладают бо́льшими затратами при той же надежности или меньшей надежностью при тех же затратах, чем чле- ны доминирующей последовательности, исключаются из рассмотрения. Чис- ленные методы позволяют построить доминирующую последовательность поэлементно, до достижения, например, заданной надежности при мини- мальной стоимости или до достижения максимальной надежности при задан- ной стоимости.
Простым и достаточно эффективным является градиентный метод (ме- тод наискорейшего спуска).
Решение обратной задачи оптимального резервирования.
При реше- нии обратной задачи отыскиваются кратности резервирования
i
l
cистемы,

45
обеспечивающие максимально возможную надежность

P при затратах, не превышающих допустимые: доп
1






C
l
c
C
N
i
i
i
Процесс синтеза оптимально-резервированной системы градиентным методом является многошаговым. На первом шаге в основной системе отыс- кивается элемент системы, добавление к которому одного резервного дает наибольшее отношение прироста показателя надежности к приросту затрат.
На втором шаге отыскивается следующий элемент системы (включая и уже зарезервированный на первом шаге), который также характеризуется наи- большим приростом надежности к приросту затрат, и т. д.
Таким образом, на каждом (k + 1)-м шаге отыскивается максимальное значение отношения
i

из всех :
i
i
k
k
k
i
k
i
k
i
c
q
c
c
P
P










1 1
1
)
(
)
(
)
(
(2.32)
Для высоконадежных систем (
1


P
) можно получить приближенное значение
1
)
(


k
i
. Этот процесс продолжается до тех пор, пока на каком-то шаге затраты не превысят допустимые:
1
доп
)
(
)
(






k
k
C
C
C
Применяя градиентный метод, находим экстремальное значение (2.32), соответствующее






N
i
i
i
i
c
Q
c
Q
1
гр
(2.33)
Предполагая систему высоконадежной, можно воспользоваться прибли- жением







N
i
l
i
N
i
i
i
q
Q
Q
1 1
гр и с учетом, что
i
l
i
i
c
q
Q
i



гр
, получить выражение для кратности резерви- рования i-го элемента системы из (2.33):
i
i
i
q
c
l
ln
)
ln(


(2.34)

46
Считая в первом приближении кратность резервирования всех элемен- тов одинаковой и





N
i
i
i
c
C
l
l
1
доп
0 0
определим
)
0
(
 :










N
i
i
N
i
l
N
i
i
c
q
c
Q
1 1
1
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
(
Далее находим приближенное значение для
i
l
из (2.34):
i
N
k
k
N
k
l
k
i
i
q
c
q
c
l
ln ln
1 1
)
0
(



















и проверяем выполнение условия доп
1






C
l
c
C
N
i
i
i
3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
ПРИ АНАЛИЗЕ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ
СИСТЕМ
3.1. Основные понятия
Сложные системы функционируют под воздействием случайных факто- ров. Например, при работе технологического оборудования такими фактора- ми являются параметры сырья и комплектующих изделий, условия эксплуа- тации и др. Так, практически любой технологический процесс, систему управления, систему или устройство РЭС при построении модели можно рассматривать как систему массового обслуживания (СМО), на которую по- ступает случайный поток требований на обслуживание, а на выходе системы появляется поток обслуженных требований. Обслуживание заявки продолжа- ется какое-то, вообще говоря, случайное время, после чего СМО готова к приему следующей заявки. Исследование СМО позволяет определить и оп- тимизировать такие их показатели, как, например: среднее число заявок, среднее число занятых каналов, среднее время ожидания обслуживания, ве- роятность того, что число заявок в очереди превысит определенное значение, и т. д.
Особо следует отметить, что в настоящее время методы исследования
СМО широко используются при анализе самого широкого класса систем, и

47
не только технических, но и экономических, социальных (транспорт, снаб- жение, медицинское обслуживание и др.).
Применительно к анализу надежности восстанавливаемых систем отка- зы элементов можно рассматривать как требования на обслуживание. Восста- новление РЭС в течение определенного промежутка времени можно рассма- тривать как поток обслуженных требований.
При изучении сложных технических систем в качестве моделей часто используют марковские случайные процессы с конечным числом состояний.
Пусть имеется дискретный случайный процесс, моделирующий пове- дение системы с возможными состояниями
n
j
i
x
x
x
x
x
,
,
,
,
,
,
,
1 0



. Обозна- чим условную вероятность того, что система в момент
0 


t t
t будет в со- стоянии
j
x
, если в момент
0
t она была в состоянии
i
x
, через
0
( , )

ij
P t
t
. Та- кой случайный процесс называется марковским, если вероятность
0
( , )

ij
P t
t зависит только от указанных в обозначении параметров
0
, , ,

i j t
t , т. е. от то- го, в каком состоянии находится система в момент
0
t
и в какое состояние она может перейти через время
t .
При этом марковский процесс называется процессом с дискретным вре- менем, если переходы из одного состояния в другое возможны в строго опре- деленные моменты времени (например, синхронные автоматы). Марковским случайным процессом с непрерывным временем называется процесс, для ко- торого переход из одного состояния в другое возможен в любой момент вре- мени. Этот тип марковского процесса широко используется для описания по- ведения различных сложных систем.
Чтобы описать поведение систем с помощью марковских процессов, необходимо:
1) ввести понятие состояния системы;
2) перечислить все состояния, в которых может находиться система;
3) составить граф состояний, т. е. указать пути возможных переходов системы из одного состояния в другое состояние;
4) для каждого возможного перехода указать соответствующую интен- сивность
)
(
t
ij

потока, переводящего систему из состояния
i
x
в состояние
j
x , где
]
)
,
(
[
lim
)
(
0
t
t
t
t
P
t
ij
t
ij







;
5) указать, в каком состоянии находится система в начальный момент времени.

48
Для однородных марковских процессов
ij
ij
t



)
(
Следует отметить, что если потоки случайных событий, переводящих систему из одного состояния в другое, являются простейшими, то процесс, протекающий в системе, будет марковским.
Возможно также представление марковского процесса матрицей пере- ходных вероятностей
ij
P . Элементы матрицы удовлетворяют очевидным соотношениям
0 1


ij
P
, причем сумма элементов каждой строки равна 1, т. е.
1 1



n
ij
j
P
, как полного набора возможных событий.