Отн. Основы теории надежности РЭС. 1. основные характеристики надежности рэс и радиокомпонентов характеристики надежности рэс
 Скачать 0.64 Mb.
|
|
3.2. Теорема А. Н. Колмогорова для марковских случайных процессов Если определено полное число состояний марковского процесса, то ис- черпывающей его характеристикой является совокупность вероятностей ( ) j P t того, что процесс в момент времени t будет находиться в состоянии j x , где n j , , 1 , 0 Для решения этой задачи составляются так называемые уравнения Кол- могорова–Чепмена – особого вида дифференциальные уравнения, в которых неизвестными функциями и являются вероятности состояний ( ) j P t . Если принять, что в момент времени t система была в состоянии i x , то вероятность ее перехода в состояние j x за интервал t : n i ij i j t P t P t t P 1 ) ( ) ( ) ( , n j , , 1 , 0 (3.1) Из условия конечности состояний системы 1 ( ) 1 n ji i P t следует, что n j i i ji jj t P t P 1 ) ( 1 ) ( (3.2) Подставляя (3.2) в систему уравнений (3.1), получим: 49 n j i i ij i n j i i ji j j t P t P t P t P t t P 1 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( , n j , , 1 , 0 (3.3) С учетом свойств простейших потоков ) ( ) ( t o t t P ij ij , где ) ( t o – учитывает конечность приращения t . Совершая предельный переход в (3.3) при 0 t , получаем следующую систему дифференциальных уравнений: n j i i ji j n j i i ij i j t P t P dt t dP 1 1 ) ( ) ( ) ( , n j , , 1 , 0 (3.4) Чтобы решить систему уравнений Колмогорова и найти вероятности со- стояний, необходимо задать начальные условия. Если известно начальное со- стояние системы i x , то в начальный момент (при 0 t ) (0) 1 i P , а все остальные начальные вероятности равны нулю ( (0) 0 j i P ). Так, например, при анализе надежности восстанавливаемых систем часто полагают 0 1 2 (0) 1, (0) (0) ... (0) 0 n P P P P Приведенную систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно построить формально по графу состояний, если при- держиваться следующего правила: в левой части каждого из уравнений стоит производная вероятности искомого j-го состояния; в правой части – сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки графа в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков, минус сум- марная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного j-го со- стояния, умноженная на вероятность данного j-го состояния. В результате решения системы дифференциальных уравнений (3.4) определяются все искомые характеристики марковского случайного процесса – вероятности ( ) j P t . При решении данной системы уравнений необходимо учитывать условие нормировки 1 ( ) 1 n j j P t . Это позволяет выразить любую из вероятностей ( ) i P t через другие, а соответствующее уравнение с произ- водной ( ) i dP t dt отбросить. 50 Если начальное состояние системы задано, то каким будет поведение рассматриваемой системы при t ? Будут ли ( ) j P t иметь пределы? В тео- рии случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в лю- бое другое, то существуют предельные вероятности ) ( lim t P P j t j , n j , , 1 , 0 , не зависящие от начального состояния системы. При существовании предельного стационарного режима система слу- чайным образом изменяет свои состояния, но вероятность каждого из них уже не зависит от времени. Каждое из состояний характеризуется некоторой постоянной вероятностью, представляющей собой не что иное, как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии. Для опреде- ления предельных вероятностей j P в системе уравнений Колмогорова (3.4) необходимо положить все левые части уравнений равными нулю, так как предельные вероятности – это числа, не зависящие от времени. При этом си- стема дифференциальных уравнений переходит уже в систему линейных ал- гебраических уравнений, решение которой, с учетом условия нормировки 0 1 n j j P , позволяет вычислить все предельные вероятности j P . 3.3. Вероятность работоспособного состояния восстанавливаемой системы Рассмотрим применение марковских случайных процессов и уравнений Колмогорова при анализе надежности восстанавливаемых систем. Определим основные характеристики надежности нерезервированного восстанавливаемого устройства в предположении, что поток отказов является простейшим, а время восстановления, которое складывается из времени об- наружения факта и места отказа, а также времени замены отказавшего эле- мента, подчинено экспоненциальному закону. Если рассматривается относительно простое устройство, состоящее из крупных блоков, то время обнаружения отказавшего элемента весьма мало и время восстановления в основном определяется временем замены. Таким образом, в системе действуют потоки отказов и восстановлений с интенсивностями const ) ( t и const ) ( t , а плотности функций распределения соответствуют показательному закону: 51 t e t f ) ( 1 ; t e t f ) ( 2 При произвольном t факт пребывания системы в работоспособном со- стоянии – «0» или в состоянии отказа – «1» является случайным, следова- тельно, вероятности есть функции времени 0 ( ) P t и 1 ( ) P t соответственно, а сама СМО может рассматриваться как одноканальная система с отказами. Рис. 3.1 На рис. 3.1 приведен граф переходов для рассматриваемой простейшей СМО через переходные вероятности ij P и интенсивности потоков и . Ве- роятности перехода из состояний «0» и «1» определяются выражениями t t P ) ( 01 , t t P ) ( 10 . (Приближения для соответствующих вероят- ностей получены с учетом показательного закона распределения.) Вероят- ность отсутствия перехода в системе на промежутке t : t t P 1 ) ( 00 ; t t P 1 ) ( 11 Для вероятностей 0 ( ) P t и 1 ( ) P t может быть составлена система уравне- ний Колмогорова ). ( ) ( 1 ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( 1 0 1 0 1 1 0 0 t P t P t P t P dt t dP t P t P dt t dP (3.5) Если перед включением системы производится ее проверка и отладка, то в качестве начальных условий можно принять 0 (0) 1 P и 1 (0) 0 P . Условие нормировки в (3.5) позволяет определить искомые вероятности. Решение системы (3.5) найдем с помощью преобразования Лапласа и последовательных преобразований: 0 t 1 1 t 1 t t 0 λ µ 1 52 ); ( ) ( ), ( 1 ) ( ) ( ); ( ) ( ) 0 ( ) ( ), ( ) ( ) 0 ( ) ( 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 s P s s P s P s P s s P s P P s sP s P s P P s sP ) ( 1 ) ( ) ( 0 0 s P s s P s (3.6) Разлагая выражение (3.6) на простейшие дроби получим: , ) ( , 1 ) ( ) ( 0 A B A s B s A s s s s P (3.7) где ; в о о г T T T K A в о в п г 1 T T T K K B ; о T и в T – сред- нее время наработки на отказ и восстановление соответственно; г K и п K – коэффициенты готовности и простоя. Окончательно ) )( ( ) ( ) ( 0 s s s P (3.8) Переходя к оригиналу, получим: ) ( , ) ( ) ( 1 ) ( 0 t t e t P e t P (3.9) Выражения (3.9) характеризуют вероятности работоспособного состоя- ния и состояния отказа восстанавливаемой СМО в произвольный момент времени t и могут быть использованы для определения функций готовности ) ( г t K и простоя ) ( п t K . Выражения (3.7), (3.9) и рис. 3.2 показывают, что при условии длительного функционирования системы ( t ) получим стацио- нарное решение: в о о г г ) ( lim T T T t K K t ; в о в п п ) ( lim T T T t K K t (3.10) При малых значениях t функция готовности ) ( г t K и 0 ( ) P t практически совпадают: о 0 г 1 ) ( ) ( T t t P t K . Соответственно и для функции простоя можно записать выражения: ) ( 1 ) ( ) ( г 1 п t K t P t K 53 Рис. 3.2 Аналогичным образом можно получить выражения для функций готов- ности ) ( г t K и простоя ) ( п t K при начальных условиях: 0 1 (0) 0; (0) 1 P P : t e t P ) ( 0 1 ) ( ; t e t P ) ( 1 1 ) ( (3.11) Из уравнений (3.9) и (3.11) находим также предельные вероятности со- стояний для рассматриваемых начальных условий, совпадающие с получен- ными ранее в (3.7): г 0 K P ; п 1 K P Анализ полученных формул позволяет сделать выводы, отражающие взаимодействие СМО с потоком поступающих заявок. Так, при потоках отка- за, значительно превосходящих возможности восстановления системы ( ), вероятность отказа стремится к 1, а относительная пропускная спо- собность падает до 0. Наоборот, при потоках отказов с малой интенсивно- стью ( ) СМО работает эффективно, 1 г 0 K P , хотя опасность отка- зов в обслуживании не исключается полностью. Выбрать приемлемые значе- ния интенсивности восстановления при заданном значении const мож- но, задав оптимальные соотношения г K и п K . Отметим, что если ) (t зависит в основном от внутренних свойств си- стемы, то интенсивность восстановления ) (t определяется характеристикой системы «человек – машина», зависящей как от внутренних свойств РЭС, так и от квалификации обслуживающего персонала. При исследовании характеристик СМО чаще всего в первую очередь ин- тересуются стационарным состоянием, поэтому рассмотрим наиболее про- стые и распространенные случаи СМО применительно к оценке надежности. 1 P(t) t ) ( 0 P 1 (t) P 0 (t) ) ( 1 P(t) 0 P 1 (t) P 0 (t) ) ( ) ( t 1 P(t) t 0 P 1 (t) P 0 (t) 0,5 54 Стационарный коэффициент готовности последовательно соеди- ненных систем. Пусть восстанавливаемые системы А и В (рис. 3.3, а) соеди- нены в логической схеме надежности последовательно, а их характеристики надежности одинаковы и восстановление обеих систем независимо. Выделим состояния системы и их соответствующие предельные вероятности (рис. 3.3, б): «0» – A и B работоспособны ( B A ) с вероятностью 0 P ; «1» – одна из систем находится в состоянии отказа ( B A или B A ) c вероятностью 1 P ; «2» – обе системы, входящие в изделие, отказали ( B A ) с вероят- ностью 2 P Режим восстановления определяется в первую очередь числом ремонт- ных бригад. При этом возможны 2 крайних случая: 1) ремонтная бригада одна и, следовательно, в любой момент времени может восстанавливаться не более одного элемента логической структурной схемы надежности; если возможна очередь на восстановление, необходимо установить дисциплину очереди; 2) число ремонтных бригад равно числу элементов, поэтому осущест- вляется неограниченное восстановление, т. е. очередь на восстановление от- сутствует (рис. 3.3, б). Для нахождения предельных вероятностей воспользуемся системой уравнений Колмогорова (3.4), положив в ней ( ) 0 j dP t dt (предельные вероят- ности состояний не меняются во времени): 2 1 0 2 1 2 1 0 1 0 1 , 2 0 , 2 ) ( 2 0 , 2 0 P P P P P P P P P P 0 2 1 2 0 1 2 , 2 P P P P P 0 1 2 2λ µ 2µ λ A B а б Рис. 3.3 55 1 2 0 2 0 0 P P P ; 2 2 2 2 0 2 P (3.12) Решая систему (3.12) для одинаковых последовательно соединенных восстанавливаемых систем получим выражения для коэффициентов г K и п K : 2 г г г 0 K K K P B A ; 2 1 г п 1 P P K K , т. е. функция готовности ) ( г t K есть величина, аналогичная ( ) P t – вероятности безотказной работы для невосстанавливаемой системы. |