Вопросы. вопросы. 1. Вероятность. Вероятностное пространство. Свойства
 Скачать 6.39 Mb.
|
№18.Закон больших чисел для случайных векторов.Закон больших чисел (ЗБЧ) в теории вероятностей — принцип, описывающий результат выполнения одного и того же эксперимента много раз. Согласно закону, среднее значение конечной выборки из фиксированного распределения близко к математическому ожиданию этого распределения. Закон больших чисел важен, поскольку он гарантирует устойчивость для средних значений некоторых случайных событий при достаточно длинной серии экспериментов. Практика изучения случайных явлений показывает, что хотя результаты отдельных наблюдений, даже проведенных в одинаковых условиях, могут сильно отличаться, в то же время средние результаты для достаточно большого числа наблюдений устойчивы и слабо зависят от результатов отдельных наблюдений. Теоретическим обоснованием этого замечательного свойства случайных явлений является закон больших чисел. Общий смысл закона больших чисел - совместное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.   №19. Многомерная центральная предельная теорема.  №20.Одномерная центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.Различные формы центральной предельной теоремы отличаются между собой условиями, накладываемыми на распределения образующих сумму случайных слагаемых. Здесь мы сформулируем и докажем одну из самых простых форм центральной предельной теоремы, относящуюся к случаю одинаково распределенных слагаемых.Теорема . Если 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых - независимые случайные величины , имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых и дисперсией 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, то при неограниченном увеличении 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых закон распределения суммы 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых (13.8.1) неограниченно приближается к нормальному. Доказательство. Проведем доказательство для случая непрерывных случайных величин 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых (для прерывных оно будет аналогичным). Согласно второму свойству характеристических функций, доказанному в предыдущем 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, характеристическая функция величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых представляет собой произведение характеристических функций слагаемых. Случайные величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых имеют один и тот же закон распределения с плотностью 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых и, следовательно, одну и ту же характеристическую функцию 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. (13.8.2) Следовательно, характеристическая функция случайной величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых будет 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. (13.8.3) Исследуем более подробно функцию 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Представим ее в окрестности точки 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых по формуле Маклорена с тремя членами: 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, (13.8.4) где 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых при 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Найдем величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Полагая в формуле (13.8.2) 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых имеем: 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. (13.8.5) Продифференцируем (13.8.2) по 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых: 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. (13.8.6) Полагая в (13.8.6) 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, получим: 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. (13.8.7) Очевидно, не ограничивая общности, можно положить 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых (для этого достаточно перенести начало отсчета в точку 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых) . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Тогда 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Продифференцируем (13.8.6) еще раз: 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, отсюда 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. (13.8.8) При 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых интеграл в выражении (13.8.8) есть не что иное, как дисперсия величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых с плотностью 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, следовательно 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. (13.8.9) Подставляя в (13.8.4) 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых и 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, получим: 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. (13.8.10) Обратимся к случайной величине 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Мы хотим доказать, что ее закон распределения при увеличении 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых приближается к нормальному. Для этого перейдем от величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых к другой («нормированной») случайной величине 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. (13.8.11) Эта величина удобна тем, что ее дисперсия не зависит от 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых и равна единице при любом 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. В этом нетрудно убедиться, рассматривая величину 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых как линейную функцию независимых случайных величин 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, каждая из которых имеет дисперсию 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Если мы докажем, что закон распределения величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых приближается к нормальному, то, очевидно, это будет справедливо и для величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, связанной с 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых линейной зависимостью (13.8.11). Вместо того чтобы доказывать, что закон распределения величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых при увеличении 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых приближается к нормальному, покажем, что ее характеристическая функция приближается к характеристической функции нормального закона. Мы доказали центральную предельную теорему для частного, но важного случая одинаково распределенных слагаемых. Однако в достаточно широком классе условий она справедлива и для неодинаково распределенных слагаемых. Например, А. М. Ляпунов доказал центральную предельную теорему для следующих условий: 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, (13.8.18) где 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых - третий абсолютный центральный момент величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых: 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых - дисперсия величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Наиболее общим (необходимым и достаточным) условием справедливости центральной предельной теоремы является условие Линдеберга: при любом 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, где 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых - математическое ожидание , 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых - плотность распределения случайной величины 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых, 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. |