Матем. 2 Свойства модулей действительного числа
 Скачать 1.7 Mb.
|
|
11. Связь дифференциала с производной Теорема 1. Если функция имеет производную в некоторой точке, то она имеет дифференциал в этой точке. Теорема 2. Если функция имеет дифференциал в некоторой точке, то она имеет производную в этой точке. dx=x’∆x; dx=∆x 12. Дифференциал независимой переменной. Под дифференциалом dx независимой переменной x понимают любое, не зависящее от x, число, поэтому, по определению, дифференциалом независимой переменной x называют ее приращение Dx, т.е. полагают, что dx=Dx. Дифференциалом функции называется линейная относительно  часть приращения функции. Она обозначается как  или  . Таким образом: Свойства дифференциала Дифференциал независимой переменной равен ее приращению: dx=Δx Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал независимой переменной: dy=df(x)=f′(x)dx Выражение производной через дифференциалы f′(x)=dy*dx Дифференциал постоянного числа равен нулю: dC=0 Дифференциал суммы функций равен сумме дифференциалов: d(u+v)=du+dv Дифференциал разности функций равен разности дифференциалов: d(u−v)=du−dv Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала: d(Cu)=Cdu Дифференциал произведения находится по правилу: d(u v) = du v + u dv . Дифференциал частного находится по правилу:  13. Дифференциал высшего порядка Дифференциал от дифференциала данной у=f(x) функции называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d2yили d2f (x): Приложения производной 14. Теорема Лангража Теорема. Если функция ф(х) непрерывна на сегменте [a,b] и дифференцируема во всех внутренних его точках, то внутри этого сегмента найдется хотя бы одна точка С такая, что имеет место равенство  Следствие 1. Если производная функции=0 в [a,b] следует, что ф-я равна ф(х)=С=константа. Следствие 2. Если две диф-е функции в [a;b] имеют равные производные, то в этом случае они отличаются друг от друга постоянное слагаемое. 16.Теорема Ролля. Между двумя последними корнями функции содержится по крайней мере один корень ее производной. 17. Правило Лопиталя Предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных, если такой предел существует.  18.Формула Тейлора для многочленов  19. Формула Тейлора для функции  Формула Маклорена Показательная  Тригонометрические   Логарифмическая  Степенная ф  |