Матем. 2 Свойства модулей действительного числа
 Скачать 1.7 Mb.
|
|
20.Признаки постоянства убывания и возрастания ф. Функция ф(х) называется возрастающей в некотором промежутке, если в этом промежутке большим значениям независимой переменной соответствуют и большие значения функции, т. е. если  Наоборот, если мы имеем:  Теорема Если в данном промежутке производная функции положительна, то функция возрастает в этом промежутке; если производная отрицательна, то функция убывает в соответствующем промежутке. Теорема. Если на некотором промежутке производная тождественно равна нулю, то функция на этом промежутке постоянна. 21. Экстремум функции Определение. Функция у=ф(х) имеет максимум в точке с, если существует такая окрестность точки с, что для всех точек х≠с, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство ф(х)<ф(с) Определение. Функция у=ф(х) имеет минимум в точке с, если существует такая окрестность точки с, что для всех точек х≠с, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство ф(х)>ф(с) Максимум и минимум объединяются общим названием экстремум функции. Теорема (необходимый признак существования экстремума ф-и) Если дифференцируемая в точке х=с функция у=ф(х) имеет в этой точке максимум или минимум, то ее производная при х=с обращается в нуль, т.е фꞌ(с)=0 Теорема(достаточный признак) Пусть в точке х=с первая производная функции ф(х) равна нулю, а вторая производная существует и отлична от нуля. В таком случае если фꞌꞌ(с)<0, то в точке с ф-я имеет максимум, если же фꞌꞌ(с)>0, то в точке с функция имеет минимум 22. Выпуклость и вогнутость функции. Определение. График диф-й функции называется выпуклым в интервале (а,б), если он расположен ниже своей касательной на этом интервале. Определение. График диф-й функции называется вогнутым в интервале (а,б), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале. Теорема. Пусть функция у=ф(х) имеет вторую производную фꞌꞌ(х) во всех точках интервала (а, б). Если во всех точках этого интервала фꞌꞌ(х)<0>, то график функции в этом интервале вогнутый, если же фꞌꞌ(х)>0 – вогнутый. 23. Точки перегиба функции. Определение. Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. Теорема(достаточный признак сущ-я точки перегиба) Если вторая произвоодная фꞌꞌ(х) меняет свой знак при переходе черех х0, то в точке с абсциссой х=х0, график ф-и имеет точку перегиба. 24. Асимптота графика ф. Определение. Асимптотой графика функции у=f(x) называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от переменной точки на графике до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат. Прямая линия называется асимптотой кривой y=f(x), если расстояние точки кривой до этой прямой стремится к нулю при стремлении точки к бесконечности. Общая схема исследования функции и построение графиков. 1) найти область определения функции; 2) найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют); 3) исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты; 4) исследовать функцию на чётность (нечётность) и на периодичность (для тригонометрических функций); 5) найти экстремумы и интервалы монотонности функции; 6) определить интервалы выпуклости и точки перегиба; 7) найти точки пересечения с осями координат, если возможно и некоторые дополнительные точки, уточняющие график. 25. Наибольшее и наименьшее значение ф. Наибольшее (наименьшее) значение функции –это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале. 1. Находим все критические точки функции в интервале (а,б) и вычисляем в них значение функции.(производная, приравниваем к нулю) 2. Вычисляем значения функции на концах сегмента в точках х=а, х=б(подстановка полученных и данных зн) 3. Из всех этих значений выбираем наибольшее и наименьшее. Неопределенный интеграл 1. Первообразная и ее основное свойство Первообразной для данной функции f(х) определенных на неком промежутке (a b) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции, а дифференциал = f ( x ). Теорема (Основное свойство первообразной.) Две различные первообразные одной и той же функции f(х) определенных в промежутке (a b) ,отличаются друг от друга в этом промежутке на постоянное слагаемое. 2. Неопределенный интеграл и его основные свойства, формула 4-х свойств. Определение. Общее выражение для всех первообразных f(х) определенных в промежутке (a b) называется неопределенным интегралом от функции f(х) на этом промежутке.  f(х)- подынтегральная функция f(х)dx- подынтегральное выражение . Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x). Свойства неопределенного интеграла 1. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:  2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:  3. Неопределенный интеграл суммы функций равен сумме неопределенных интегралов этих функций:  .4. Постоянный множитель  можно выносить за знак неопределенного интеграла: 3. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента. В таблице неопределенных инеграллов аргумент х является независимой переменной ∫f(х)dх=F(х)+С. Покажем, что эта таблица справедлива в случаях, когда аргумент является непрерывно дефферин. функцией. у=f(u), u= α(х) и рассмотрим интеграл ∫f(u)dх=F(u)u’dx Тогда функция имеет вид f(u) = f(α(х)) является первообразной для f(u) 4. Основные методы интегрирования 1) Метод подстановки Метод замены переменной (метод подстановки) Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой. Пусть требуется вычислить интеграл  Сделаем подстановку  где  — функция, имеющая непрерывную производную. Тогда  и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой: Метод инт-я по частям Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле  При нахождении функции  по ее дифференциалу  можно брать любое значение постоянной интегрирования  , так как она в конечный результат не входит. Поэтому для удобства будем брать  Метод разложения Этот метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, от каждой из которых первообразную можно найти с помощью других методов. Интегрирование рациональных дробей с квадратичным знаменателем.  |