Вопросы к экзамену Полесский. 29. Тесты гетероскедастичнсоти. 46

• Название: 29. Тесты гетероскедастичнсоти. 46
• Анкор: Вопросы к экзамену Полесский
• Дата: 12.03.2023
• Размер: 5.25 Mb.
• Имя файла: Voprosy_k_ekzamenu_po_distsipline_Ekonometrika_1.doc
• Тип: Документы; #982220
• страница: 31 из 34

Методы построения и тестирования моделей ARMA.

Методология построения моделей типа ARMA(p,q) предусматривает выполнение следующих трех этапов: идентификация модели, оценивание параметров и тестирование адекватности.

На этапе идентификации производится выбор значений p, q и делаются предварительные грубые оценки коэффициентов a₁, a₂, …, a_p, b₁, b₂, …, b_q идентифицированной модели. Идентификация модели предполагает выполнение следующих условий:

1. 
   Визуальный анализ графика временного ряда с целью выявления «выбросов», «пропусков», структурных изменений, а также признаков нестационарности типа зависимости среднего значения и дисперсии временного ряда от времени, указывающих на наличие временных трендов и гетероскедастичности;
   
2. 
   Анализ автокорреляционных (ACF) и частных автокорреляционных (PAC) функций, позволяющий подтвердить либо опровергнуть предположение о стационарности анализируемого временного ряда, а также указать на возможные значения параметров p и q.
   

Оценивание параметров.

Для статистического оценивания параметров модели ARMA(p,q) с заданными значениями p и q могут использоваться различные методы: линейный и нелинейный метод наименьших квадратов, полный и условный метод максимального правдоподобия (ММП), а также метод моментов и обобщенный метод моментов.

Тестирование адекватности основано на анализе тестовых статистики статистической проверке гипотез относительно параметров модели. Адекватная модель должна обладать следующими свойствами:

1. 
   Оценки параметров модели должны быть статистически значимыми;
   
2. 
   Остатки построенной модели должны быть «белым шумом», т.е. быть некоррелированными. При этом сумма квадратов остатков может служить одним из критериев выбора модели;
   
3. 
   Распределение остатков должно быть нормальным, т.е. остатки должны быть гауссовым «белым шумом»;
   
4. 
   Модель «должна быть наиболее простой из возможных альтернативных моделей». Это требование основано на принципе экономности: из двух моделей, признанных по результатам тестирования на одном и том же наборе данных адекватными, лучшей считается модель с меньшими значениями p и q.
   

8. Общая характеристика моделей нестационарных временных рядов.

Пусть имеется временной ряд

y_t = ρy_t-1+ ξ_t.

Предположим, что ошибки ξ_t независимы и одинаково распределены, т.е. образуют белый шум. Перейдем к разностным величинам:

Δy_t = λy_t-1+ ξ_t,

где Δy_t = y_t– y_t-1, λ= ρ-1.

Если ряд Δy_tявляется стационарным, то исходный нестационарный ряд y_tназывается интегрируемым (или однородным).

Нестационарный ряд y_tназывается интегрируемым (однородным) k-го порядка, если после k-кратного перехода к приращениям

d^ky_t = d^k-1y_t – d^k-1y_t-1,

где d¹y_t = Δy_t, получается стационарный ряд d^ky_t.

Если при этом стационарный ряд d^ky_t корректно идентифицируется как АРСС(p,q), то нестационарный ряд y_tобозначается как АРПСС(p,k,q). Это означает модель авторегрессии – проинтегрированной скользящей средней (другое обозначение - ARIMA(p,k,q)) порядков p, k, q, которая известна как модель Бокса-Дженкинса. Процедура подбора такой модели реализована во многих эконометрических пакетах.

Модели с распределенными лагами.

При исследовании экономических процессов приходится моделировать ситуации, когда значение результативного признака в текущий момент времени t формируется под воздействием ряда факторов, действовавших в прошлые моменты времени. Величину l, характеризующую запаздывание в воздействии фактора на результат, называют лагом, а временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени, - лаговыми переменными. Модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных, называют моделями с распределенными лагами:

В случае конечной величины максимального лага модель имеет вид:

y_t = a + b₀x_t + b₁x_t-1 + … + b_lx_t-l +ε_t.

Коэффициент b₀ характеризует среднее абсолютное изменение y_t при изменении x_t на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора x. Этот коэффициент называется краткосрочным мультипликатором.

Долгосрочный мультипликатор вычисляется по формуле:

b = b₀ + b₁ + … + b_l.

Он показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t+l результата y под влиянием изменения на 1 ед. фактора x.

Величины β_j=b_j/b (j = 0,…,l) называются относительными коэффициентами модели с распределенным лагом.

Средний лаг определяется по формуле средней арифметической взвешенной:



и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора. Высокое его значение говорит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени.

Медианный лаг (l_Me) – представляет собой период времени, в течение которого буде реализована половина общего воздействия фактора на результат и определяется следующим соотношением:

.

Оценка модели с распределенными лагами зависит от того, конечное или бесконечное число лагов она содержит.

Метод Алмон.

Предполагается, что веса текущих и лаговых значений объясняющих переменных подчиняются полиномиальному закону распределения:

b_j = c₀ + c₁·j + c₂·j² + … + c_k·j^k. (5.1)

Уравнение регрессии примет вид:

y_t = a +c₀·z₀ + c₁·z₁ + c₂·z₂ + … + c_k·z_k + ε_t, (5.2)

где , i = 1,…,k; j=0,…,l. (5.3)
Схема расчета параметров модели:

1. 
   устанавливается максимальная величина лага l;
   
2. 
   определяется степень полинома k, описывающего структуру лага;
   
3. 
   по соотношениям (5.3) рассчитываются значения переменных z₀, z₁,…, z_k;
   
4. 
   обычным методом наименьших квадратов определяются
   параметры уравнения линейной регрессии y_t от z_i(5.2);
   
5. 
   рассчитываются параметры исходной модели по формулам (5.1).
   

Метод Койка.

Предполагается, что коэффициенты при лаговых значениях переменной убывают в геометрической прогрессии:

, j = 1, 2, … 0 < λ < 1. (5.4)

Уравнение регрессии преобразуется к виду:

y_t = a + b₀x_t + b₀·λ x_t-1 + b₀·λ² x_t-2 +… +ε_t.

После ряда преобразований получается уравнение авторегрессии первого порядка:

y_t = a·(1 – λ) + b₀·x_t + (1 – λ) y_t-1 + u_t,

где u_t = ε_t – λ ε_t-1.

Определив параметры данной модели, находятся λ и оценки параметров a и b₀ исходной модели. Далее из соотношения (5.4) определяются параметры модели b₁, b₂,… .

Величина среднего лага в модели Койка определяется формулой:

.