Mat_analiz_k_ekzamenu_Avtosokhranenny (копия). 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д

• Название: 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д
• Дата: 07.01.2023
• Размер: 2.91 Mb.
• Имя файла: Mat_analiz_k_ekzamenu_Avtosokhranenny (копия).docx
• Тип: Документы; #875367
• страница: 5 из 15

Сформулируйте правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Объясните его применение при вычислении пределов функций в случаях разных видов неопределенностей.

Неопределенность вида

1)функции f (x) и g(x)и определены в промежутке [a, b)

2) .

3) cуществуют в промежутке [a, b) конечные производные f ‘(x) и g’(x)

4) существует (конечный или бесконечный) предел Тогда существует

Пример 1:

Неопределенность вида

1)функции f (x) и g(x)и определены в промежутке [a, b)

2) ∞.

3) cуществуют в промежутке [a, b) конечные производные f ‘(x) и g’(x) , причем g’(x)≠0 ;

4) существует (конечный или бесконечный) предел

Тогда и

Пример 1 :

(α >0)

Другие виды неопределенностей (0*∞), ( ), )

При раскрытии других видов неопределенностей следует сначала свести

их к виду ⁰

0

или ^∞, а затем применить правило Лопиталя.

9. Приведите вывод формулы Тейлора для произвольной функции с остаточным членом в форме Лагранжа. Объясните получение формулы Маклорена.

R_n(x)- остаточный члент формулы Тейлора

Пусть f(x) – дифф-ма в т. x₀ и имеет производные до порядка (n+1) включительно, тогда :

R_n(x)= * (x-x₀)^{n+1 –} остаточный член ϕ¹ в формуле Лагранжа

С-точка между x и x₀

f(x)=f(x₀) + (x- x₀) + (x- x₀)² +…+ (x- x₀)ⁿ + (x- x₀)ⁿ⁺¹ - формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа .
P_n(x)=P_n(0) + (x- x₀) + (x- x₀)² +…+ (x- x₀)ⁿ - формула Тейлора для многочлена.

Если x₀=0, то получаем

P_n(x)=P_n(0) + x + x² +…+ xⁿ

9. Объясните разложение основных элементарных функций (𝑒^𝑥, sin 𝑥, cos 𝑥, ln 𝑥, 𝑎rctg 𝑥) по формуле Маклорена.

f(x)=e^x. Так как f(x)=f '(x)= f '' (x)=…= f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=e^x ; f(0)=f '(0)= f '' (0)=…= f⁽ⁿ⁺¹⁾(0)=1, то формула Маклорена имеет вид

f(x)=sinx. Так как f⁽ⁿ⁾(x)=sin(x+n ); f⁽ⁿ⁾(0)=sin(n )= , то формула Маклорена имеет вид sinx=

f(x)=cosx. Так как f⁽ⁿ⁾(x)=cos(x+n ); f⁽ⁿ⁾(0)=cos(n )= , то формула Маклорена имеет вид cosx=

f(x)=ln(1+x). Так как f⁽ⁿ⁾(x)= ; f⁽ⁿ⁾(0)= , то формула Маклорена имеет вид ln(1+x)=

f(x)=arctgx, то формула Маклорена имеет вид arctgx=