Mat_analiz_k_ekzamenu_Avtosokhranenny (копия). 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д

• Название: 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д
• Дата: 07.01.2023
• Размер: 2.91 Mb.
• Имя файла: Mat_analiz_k_ekzamenu_Avtosokhranenny (копия).docx
• Тип: Документы; #875367
• страница: 4 из 15

Сформулируйте и докажите теорему Ферма. Приведите её геометрическую интерпретацию.

Теорема: пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точке x₀ и принимает в этой точке наибольшее или наименьшее значение. И имеет в этой в точке х₀ производную, то она равна нулю, т.е. f'(x₀)= 0.

Доказательство. Пусть функция f определена в ок­рестности U(х₀) точки х₀ и принимает в точке х₀ наибольшее значение, т. е. для всех х € U(х₀) вы­полняется неравенство f(x) ≤f(х₀). Тогда если х < х₀, (т.е слева от точки ч0) а если х > х₀ (т.е справа от точки х0), то

По условию существует f ‘(x0) следовательно существует предел
поэтому предел относительно неравенств это левосторонние проавосторонние производные. Таким образом существуют f '+(x₀) ≥ 0 и f '_(x_o) ≤ 0. Но по условию существует f '(x₀) следовательно f '+(x₀) =f '_(x_o) = 0

Геометрическая интерпретация состоит в том, что если при х = х₀ дифференцируемая функция f принимает наибольшее (наименьшее) значение в некоторой окрестности точки х₀, то касательная к графику функции в точке (х₀, f(х₀)) параллельна оси ОХ (рис.21)

Замечание. Теорема не верна, если функцию f(х) рассматривать на отрезке [а, b]. Так, например, функция f(x) = х на отрезке [0,1] в точке х = 0 принимает наименьшее, а в точке х = 1 - наибольшее значение, однако как в той, так и в другой точке производная в нуль не обращается, а равна единице

9. Сформулируйте и докажите теорему Ролля о среднем значении, приведите её геометрическую интерпретацию и объясните условия применимости.

Теорема 2 (теорема Ролля). Пусть функция f(х):

1. 
   непрерывна на отрезке [а, b];
   
2. 
   имеет в каждой точке интервала (а, b) конечную или определенного знака бесконечную производную;
   
3. 
   принимает равные значения на концах отрезка, т. е. f(a) = f(b). Тогда существует хотя бы одна такая точка ξ (читается «кси»), а < ξ < b, что f ’(ξ ) = 0.
   

Доказательство.

Если для любой точки х интервала (а, b) выполняется равенство f(х) = f(a) = f(b), то функция f является постоянной на этом интервале и поэтому таких точек ξ € (а, b) бесконечно много f '(ξ) = 0.

Пусть существует точка х₀ € (а, b), для которой f(x₀) ≠ f(a), например, f(х₀)>f(a). Согласно теореме Вейерштрасса о достижимости непрерывной на отрезке функцией своих наибольшего и наименьшего значений, существует такая точка ξ [а, b], в которой функция f принимает наибольшее значение.

f(ξ) ≥f(х₀) > f(a) = f(b).

Поэтому ξ ≠ а и ξ ≠ b, т. е. точка ξ принадлежит интервалу (а, b) и функция f принимает в ней наибольшее значение. Следовательно, согласно теореме Ферма, выполняется равенство f '(ξ) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что на графике функции, удовлетворяющей условиям теоремы Ролля, имеется по крайней мере одна точка, в которой касательная параллельна оси ОХ

9. Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа о среднем значении и следствие из неё. Объясните геометрический смысл теоремы.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и в любой точке интервала (a,b) имеет конечную или определенного знака бесконечную производную, то в этом интервале (a,b) существует, по крайней мере, одна точка ξ ∈(a,b) такая, что выполняется равенство f(b)-f(a)=f ‘(ξ)(b-a) – формула конечных приращений Лагранжа

1. 
   Р ассмотрим вспомогательную функцию F(x)= f(x) - λ(x), такую что F(a)= F(b) тогда f (a) - λ a= f (b) - λ b ⇒ λ=
   
2. 
   Для функции F(x) выполняются все условия т. Ролля:
   

1. 
   f(x) непрерывна, как сумма двух непрерывных функций
   
2. 
   f(x) дифференцируема как сумма диф. Функций
   
3. 
   F(a)= F(b) выбрали ⇒ существует точка Ψ∈(a,b), F ‘(Ψ)=0
   

Продифференцируем F(x): F ‘(x)= f ‘(x)- λ=0 ⇒ f ‘(x) =λ,

f ‘(x) = λ= ч.т.д.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем. Теорема Лагранжа показывает, что в интервале (a,b) существует по крайней мере одна точка в которой касательная к графику функций параллельна хорде, соединяющей концы кривой .

Следствие 1

Если функция непрерывна на некотором промежутке конечном или бесконечном и во всех его внутренних точках имеет производную равную нулю, то функция на этом промежутке является const

Док-во

Это следствие имеет наглядную механическую интерпретацию: если функция y=f (x) является законом движения материальной точки по прямой, x-время, y-расстояние от начала отсчета на прямой, то условие

f ‘(x)=0 для всех x∈(a,b) означает, что скорость рассматриваемой точки в течение интервала времени (a,b)все время равна нулю, т. е. точка неподвижна, но тогда за это время положение точки, а потому и пройденный ею путь не изменятся. Это и означает, что функция f(x) постоянна на интервале (a,b).

Следствие 2

Если f(x) и g(x) непрерывны на некотором промежутке и во всех его внутренних точках имеют равные производные, т.е. f ‘(x) = g’(x). То эти функции отличаются на const, т.е. f (x) = g(x)+с

Док-во

Рассмотрим F(x)= f(x) - g(x), которая удовлетворяет условию теоремы, т.е. F’(x)= 0 ⇒ F(x)= с ⇒ f(x) - g(x)=с ⇒ f (x) = g(x)+с ч.т.д.