Mat_analiz_k_ekzamenu_Avtosokhranenny (копия). 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д

• Название: 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д
• Дата: 07.01.2023
• Размер: 2.91 Mb.
• Имя файла: Mat_analiz_k_ekzamenu_Avtosokhranenny (копия).docx
• Тип: Документы; #875367
• страница: 9 из 15

Сформулируйте и докажите достаточные условия перегиба графика функции в терминах второй производной и в терминах третьей производной. Проиллюстрируйте их на примерах.

Теорема (первое достаточное условие точки перегиба). Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки х0 и f’’(x0)=0. Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная f’’(x0)=0 имеет разные знаки слева и справа от x0, то график этой функции имеет перегиб в точке М(х0,f(x0)).
Теорема. (второе достаточное условие точки перегиба в терминах третьей производной).Если функция y=f(x) имеет в точке х0 конечную третью производную и при этом а , то график этой функции имеет перегиб в точке M(x0,f(x0))

Доказательство:

Пусть пусть

Так как то по теореме о строгом возрастании (убывании) функции либо строго возрастает, либо строго убывает в точке х0 . По условию поэтому имеет разные знаки на интервалах и при некотором откуда используя теорему о первом достаточном условии наличия точек перегиба, заключаем что х0 точка перегиба функции f(x).

9. Сформулируйте определения вертикальной и наклонной асимптот графика функции. Докажите теорему, выражающую необходимые и достаточные условия существования наклонной асимптоты. Объясните правила нахождения асимптот (вертикальной и наклонной). Приведите примеры.

Говорят, что х=а является вертикальной асимптотой графика функции у=f(x), если хотя бы один из пределов или был равен .

Говорят, что прямая у=kx+b является наклонной асимптотой графика функции у=f(x) при х , если f(x) представима в виде: f(x)=kx+b+ , где , бесконечно-малая функция, т.е .

Теорема (о существовании наклонной асимптоты)

Для того чтобы график функции у=f(x) имел при х наклонную асимптоту необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела:

(1)

(2)

Доказательство:

1. 
   Необходимость.
   

Пусть график функции у=f(x) имеет наклонную асимптоту. Нужно доказать, что существуют два предела (1) и (2). По определению наклонной асимптоты имеем: f(x)=kx+b+ , где . Найдем:

(1)

(2)

2. 
   Достаточность.
   

Даны два предела (1) и (2). Нужно доказать, что f(x)=kx+b+ . Из (2) , означает что – бесконечно малая функция. Обозначим ее через = . Следовательно, f(x)=kx+b+ , откуда следует, что у=f(x) – имеет наклонную асимптоту.

9. 
   Опишите схему полного исследования функции с помощью производной и построения её графика.
   

Схему полного исследования функции с помощью производной и построения её графика.

1. 
   Найти область определения ф-ции и, если возможно, область изменения ф-ции.
   
2. 
   Исследовать ф-цию на четность, нечетность, периодичность.
   
3. 
   Найти точки пересечения графика ф-ции с осями координат и интервалы знакопостоянства ф-цию.
   
4. 
   Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва (если они существуют) и установить их характер.
   
5. 
   Исследовать поведение ф-ции на концах области определения.
   
6. 
   Определить интервалы монотонности (возрастания и убывания) ф-ции: найти точки экстремума и ф-ции.
   
7. 
   Определить интервалы выпуклости вниз и выпуклости вверх графика ф-ции; найти точки перегиба и значения ф-ции в этих точках.
   
8. 
   Найти асимптоты графика ф-ции (вертикальные, горизонтальные, наклонные y=kx+b)
   

9. 
   Взять несколько контрольных точек.
   
10. 
    Построить график ф-ции.
    

9. Сформулируйте определение частной производной функции трех переменных в точке. Введите понятие частного и полного дифференциалов функции в точке. Приведите примеры нахождения частных производных и частных дифференциалов функции трех переменных.

Пусть в некоторой окрестности точки (х₀,y₀,z₀) задана функция u=u(х,y,z), фиксируя переменные y и z: y=y_0, z=z₀ , получим функцию одной переменной х: u=u(х,y₀,z₀). Обычная производная этой функции по х в точке х₀ называется частной производной функции.



= u(x₀+ , y₀,z₀)-u(х₀,y₀,z₀) – приращение функции u по переменной x

=

Пусть u=u(х,y,z), тогда выражение вида – называется частным дифференциалом функции u по переменной x.

Сумма всех частных дифференциалов функции– называется полным дифференциалом функции: du= + + .

Примеры:

Частные производные: u=







Частные дифференциалы: все тоже самое, умноженное на dx.