Mat_analiz_k_ekzamenu_Avtosokhranenny (копия). 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д
![]()
|
Введите понятия наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Сформулируйте правила нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке и на интервале с помощью производной.Пусть Х - некоторое множество, входящее в область определения D(f) функции y=f(x). Определение. Значение f(x0) функции y=f(x) в точке х0Х называется наибольшим (наименьшем) значением функции f(x) на множестве Х если для любой точки хХ выполнено неравенство ![]() ![]() Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке [a,b] нужно Найти все точки «подозрительные» на экстремум. Выбрать из них те точки, которые принадлежат отрезку [a,b] Вычислить значения функции во всех этих точках, а также значения на концах отрезка f(a) и f(b). Выбрать из всех полученных значений наибольшее и наименьшее. Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значения на интервале. Находим производную f’(x). f’(x)=0 Находим стационарную точку выбираем (a,b) Если точки стационарная одна, нужно исследовать ее на экстремумы. Если m max-наибольшее значение, m min-наименьшее значение Записать ответ. Введите понятие выпуклости вниз (вверх) функции на промежутке. Сформулируйте и докажите достаточные условия выпуклости функции вниз (вверх). Проиллюстрируйте их на примере.Предположим, что функция ƒ(х) дифференцируема в любой точке интервала (а,b). Тогда, как известно, существует касательная к графику функции у = ƒ(х), проходящая через любую точку М(х,ƒ (х)) этого графика (а < х < В), причем эта касательная не параллельна оси Оу. Определение 1. Будем говорить, что график функции у = ƒ(х) имеет на (а,b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (а,b). ТЕОРЕМА (достаточное условие выпуклости). Если функция у = ƒ(х) имеет на интервале (а, b) вторую производную и ƒ"(х) ≥0 (ƒ"(х) ≤0) во всех точках (а,b), то график функции у = ƒ(х) имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз(верх). Доказательство. Для определеенности рассмотрим случай f ’’(x)≥на (а,b). Пусть х0 любая точка из (а,b). Надо доказать, что график функции y=f(x) лежит не ниже любой касательной проведенной к графику функции. Уравнение касательной ![]() Разложим функцию y=f(x) по формуле Тейлора при n=1 ![]() ![]() ![]() Замечание. Если ƒ”(х) = 0 всюду на (а,b), то у = ƒ(х) — линейная функция, т. е. график её есть прямая линия. В этом случае направление выпуклости можно считать произвольным. ТЕОРЕМА . Пусть вторая производная функции у = ƒ(х), т. е. ƒ"(х), непрерывна и положительна (отрицательна) в точке ![]() Сформулируйте определение точки перегиба графика функции, проиллюстрируйте его на примерах. Сформулируйте и докажите необходимое условие перегиба графика функции.Пусть a,b и ![]() ![]() ![]() ![]() Опр. 2. Точка М( ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема. (необходимое условие точки перегиба). Если график ф-ции у=f(х) имеет перегиб в точке М( ![]() ![]() ![]() ![]() Точки М( ![]() ![]() ![]() Доказательство (методом от противного). Пусть ![]() ![]() ![]() |