Mat_analiz_k_ekzamenu_Avtosokhranenny (копия). 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д

• Название: 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д
• Дата: 07.01.2023
• Размер: 2.91 Mb.
• Имя файла: Mat_analiz_k_ekzamenu_Avtosokhranenny (копия).docx
• Тип: Документы; #875367
• страница: 15 из 15

Сформулируйте и докажите основную теорему интегрального исчисления. Приведите примеры использования формулы Ньютона-Лейбница при вычислении определенного интеграла.

Формула Ньютона- Лейбница

Теорема 4. (основная теорема интегрального исчисления)

Пусть f(x) - непрерывна на [a;b] и пусть Ф(x) - какая-либо первообразная этой функции, тогда



Док-во:

Пусть F(x) = - первообразная функции f(m).

Ф(x) и F(x) - отличаются на const C, т.е.

F(x) = Ф(x) + C



1) пусть x=a, тогда 0 = Ф(а) + С → С = - Ф(а)

пусть x=b, тогда ч.т.д.

9. Сформулируйте теорему о замене переменной в определенном интеграле и теорему о вычислении определенного интеграла методом интегрирования по частям. Укажите особенность применения метода замены переменной в определенном интеграле. Приведите примеры.

1. 
   Метод замены переменной.
   

Теорема 1.Пусть выполняются условия:

1. 
   f(x) непрерывна на [a,b].
   
2. 
   Отрезок [a,b] является множеством значений некоторой функции x= определена на отрезке [,] и имеющей на нем непрерывную производную.
   
3. 
   )=а )=b
   

в этом случае справедлива формула замены переменной определенного интеграла



Замечание. Если при вычислении неопределенного интеграла с помощью замены мы должны были от новой переменной t возвращаться к старой переменной x, то при вычислении определенного интеграла этого можно не делать т.к. цель – найти число, которое согласно вышеприведенной формуле равно значению каждого из рассматриваемых интегралов.

Примеры:

1. 
   
   

2) Интегрирование по частям

Теорема 2. Если функция u=u(x) и v=v(x) – непрерывна на [a,b] вместе со своими производными, то справедлива формула



Пример.

9. Обобщите интеграл Римана на случай неограниченного промежутка. Введите понятие несобственного интеграла первого рода. Объясните способ его вычисления и обобщенную формулу Ньютона-Лейбница. Приведите примеры сходящегося и расходящегося интегралов.

Определение. Пусть функция f(x) задана в промежутке [a,+ ) и интегрируема в любой его части [a,b] т.е. существует определенный интеграл при любом b>a. Тогда, если существует конечный предел (3)

То его называют несобственным интегралом первого рода или несобственным интегралом функции f(x) в промежутке [a,+ ) и обозначают символом

(4)

Таким образом:

(5)



В этом случае говорят, что несобственный интеграл (4) существует или сходится. Если же предел (3) не существует или бесконечен то говорят что несобственный интеграл (4) не существует или расходится.

Несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами определяется как сумма подобных интегралов т. е. справедливо равенство:



Замечание. Так как несобственный интеграл определяется как предел определенного интеграла, то на несобственный интеграл переносится все те свойства определенного интеграла, которые сохраняются при этом предельном переходе. Теорема о среднем, очевидно, здесь не выполняется.

Обобщенная формула Ньютона-Лейбница:







Где

Примеры:

1. 
   Исследовать сходимость интеграла
   

Решение:



Т.е. интеграл сходится.

2. 
   Исследовать сходимость интеграла
   

Решение:



Но предел функции sinb при не существует, следовательно, интеграл расходится.

9. Сформулируйте определение несобственного интеграла от неограниченной функции (второго рода). Объясните его геометрический смысл и правила вычисления. Опишите свойства этого интеграла.

Определение. Пусть функция f(x) определена и не ограничена на полуинтервале [a,b), причем она ограничена и интегрируема по Риману на любом отрезке [a,t], Тогда, если существует конечный предел



То он называется несобственным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначается

Геометрический смысл:
Если функция f неотрицательна и непрерывна на промежутке [a,b) то несобственный интеграл числено равен площади неограниченной области G:

Несобственные интегралы 2-го рода легко переносятся многие свойства интеграла Римана:

Свойство 1. Пусть функция f непрерывна на полуинтервале [a,b) и пусть F- какая-либо первообразная функции f на [a,b)тогда



Свойство 2.Несобственный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их несобственных интегралов



Свойство 3.Постоянный множитель можно выносить за знак несобственного интеграла



Свойство 4. Для несобственных интегралов 2-го рода справедлива формула интегрирования по частям



Свойство 5.Для несобственных интегралов 2-го рода справедлива формула замены переменной



Следует заметить, что не все свойства определенного интеграла Римана переносятся на несобственные интегралы. Так например, произведение 2 интегрируемых, по Риману, на некотором отрезке функций является функцией так же интегрируемой, по Риману, на этом отрезке. Аналог этого утверждения для несобственных интегралов несправедлив.

9. Опишите способы вычисления площади фигуры с помощью определенного интеграла в декартовых координатах. Приведите примеры.

1. Задача о площади криволинейной трапеции

Определение 1. Фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a; b] функции y = f (x), осью Ох и прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией.
2) Если криволинейная трапеция примыкает к оси Oy, т. е. ограничена непрерывной кривой , 2 горизонтальными отрезками прямых y=a y=b и отрезком оси Oy квадрирема и ее площадь S равна.

1. 
   Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и т.е. кривая y=f(x) и криволинейная трапеция, ограниченная снизу этой кривой, лежит под осью Ox то для вычисления ее площади следует рассмотреть функцию y=-f(x). Эта функция уже не отрицательна и следовательно ее график лежит над осью Ox и симметричен графику функцию y=f(x) относительно оси Ox,а криволинейная трапеция ограничена сверху y=-f(x) представляет собой зеркальное отражение первоначальной трапеции.
   

2. 
   Некоторые части кривой y=f(x) находятся над осью Ox а другие под осью Ox. В этом случае площадь фигуры S представляет собой алгебраическую сумму тех частей фигуры, которые расположены над осью Ox и тех частей которые находятся под осью Ox, причем первые входят со знаком плюс а вторые со знаком минус.
   

3. 
   Пусть фигура ограничена снизу и сверху кривыми
   

Y1=f1(x) y2=f2(x)

f1(x) f2(x) – непрерывные функции.

9. Опишите способ вычисления объема тела вращения с помощью определенного интеграла в декартовых координатах. Приведите пример.

Объём тела вращения в декартовых координатах

В случае, когда тело получено вращением некоторой кривой y=f(x) вокруг оси Ох (рис.20), в сечении этого тела плоскостями, перпендикулярными к оси Ох, будут получаться круги площади S(x)=πy²=πf ²(x). И из этого получаем формулу для вычисления объёма тела вращения: V=π ²(x)dx

Пример. Найти объём шара радиуса R.

Решение. Шар получается при вращении полуокружности вокруг оси Ох. Уравнение верхней полуокружности имеет вид: R ≤ x ≤ R.

Тогда по формуле для вычисления объёма тела вращения V=π ²(x)dx, будем иметь: V=π ²-x²)dx=πR² - =2 R³- πR³= πR³