Mat_analiz_k_ekzamenu_Avtosokhranenny (копия). 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д
![]()
|
Сформулируйте и докажите основную теорему интегрального исчисления. Приведите примеры использования формулы Ньютона-Лейбница при вычислении определенного интеграла.Формула Ньютона- Лейбница Теорема 4. (основная теорема интегрального исчисления) Пусть f(x) - непрерывна на [a;b] и пусть Ф(x) - какая-либо первообразная этой функции, тогда ![]() Док-во: Пусть F(x) = ![]() Ф(x) и F(x) - отличаются на const C, т.е. F(x) = Ф(x) + C ![]() 1) пусть x=a, тогда 0 = Ф(а) + С → С = - Ф(а) пусть x=b, тогда ![]()
Метод замены переменной. Теорема 1.Пусть выполняются условия: f(x) непрерывна на [a,b]. Отрезок [a,b] является множеством значений некоторой функции x= ![]() ![]() ![]() в этом случае справедлива формула замены переменной определенного интеграла ![]() Замечание. Если при вычислении неопределенного интеграла с помощью замены мы должны были от новой переменной t возвращаться к старой переменной x, то при вычислении определенного интеграла этого можно не делать т.к. цель – найти число, которое согласно вышеприведенной формуле равно значению каждого из рассматриваемых интегралов. Примеры: ![]() 2) Интегрирование по частям Теорема 2. Если функция u=u(x) и v=v(x) – непрерывна на [a,b] вместе со своими производными, то справедлива формула ![]() Пример. ![]()
Определение. Пусть функция f(x) задана в промежутке [a,+ ![]() ![]() ![]() То его называют несобственным интегралом первого рода или несобственным интегралом функции f(x) в промежутке [a,+ ![]() ![]() Таким образом: ![]() ![]() В этом случае говорят, что несобственный интеграл (4) существует или сходится. Если же предел (3) не существует или бесконечен то говорят что несобственный интеграл (4) не существует или расходится. Несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами определяется как сумма подобных интегралов т. е. справедливо равенство: ![]() Замечание. Так как несобственный интеграл определяется как предел определенного интеграла, то на несобственный интеграл переносится все те свойства определенного интеграла, которые сохраняются при этом предельном переходе. Теорема о среднем, очевидно, здесь не выполняется. Обобщенная формула Ньютона-Лейбница: ![]() ![]() ![]() Где ![]() Примеры: Исследовать сходимость интеграла ![]() Решение: ![]() Т.е. интеграл сходится. Исследовать сходимость интеграла ![]() Решение: ![]() Но предел функции sinb при ![]() Сформулируйте определение несобственного интеграла от неограниченной функции (второго рода). Объясните его геометрический смысл и правила вычисления. Опишите свойства этого интеграла.Определение. Пусть функция f(x) определена и не ограничена на полуинтервале [a,b), причем она ограничена и интегрируема по Риману на любом отрезке [a,t], ![]() ![]() То он называется несобственным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначается ![]() Геометрический смысл: Если функция f неотрицательна и непрерывна на промежутке [a,b) то несобственный интеграл ![]() ![]() Несобственные интегралы 2-го рода легко переносятся многие свойства интеграла Римана: Свойство 1. Пусть функция f непрерывна на полуинтервале [a,b) и пусть F- какая-либо первообразная функции f на [a,b)тогда ![]() Свойство 2.Несобственный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их несобственных интегралов ![]() Свойство 3.Постоянный множитель можно выносить за знак несобственного интеграла ![]() Свойство 4. Для несобственных интегралов 2-го рода справедлива формула интегрирования по частям ![]() Свойство 5.Для несобственных интегралов 2-го рода справедлива формула замены переменной ![]() Следует заметить, что не все свойства определенного интеграла Римана переносятся на несобственные интегралы. Так например, произведение 2 интегрируемых, по Риману, на некотором отрезке функций является функцией так же интегрируемой, по Риману, на этом отрезке. Аналог этого утверждения для несобственных интегралов несправедлив. Опишите способы вычисления площади фигуры с помощью определенного интеграла в декартовых координатах. Приведите примеры.1. Задача о площади криволинейной трапеции Определение 1. Фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a; b] функции y = f (x), осью Ох и прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией. 2) Если криволинейная трапеция примыкает к оси Oy, т. е. ограничена непрерывной кривой ![]() ![]() Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и ![]() ![]() Некоторые части кривой y=f(x) находятся над осью Ox а другие под осью Ox. В этом случае площадь фигуры S представляет собой алгебраическую сумму тех частей фигуры, которые расположены над осью Ox и тех частей которые находятся под осью Ox, причем первые входят со знаком плюс а вторые со знаком минус. ![]() Пусть фигура ограничена снизу и сверху кривыми Y1=f1(x) y2=f2(x) ![]() ![]() f1(x) f2(x) – непрерывные функции. ![]() Опишите способ вычисления объема тела вращения с помощью определенного интеграла в декартовых координатах. Приведите пример.Объём тела вращения в декартовых координатах В случае, когда тело получено вращением некоторой кривой y=f(x) вокруг оси Ох (рис.20), в сечении этого тела плоскостями, перпендикулярными к оси Ох, будут получаться круги площади S(x)=πy2=πf 2(x). И из этого получаем формулу для вычисления объёма тела вращения: V=π ![]() Пример. Найти объём шара радиуса R. Решение. Шар получается при вращении полуокружности вокруг оси Ох. Уравнение верхней полуокружности имеет вид: ![]() Тогда по формуле для вычисления объёма тела вращения V=π ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |