Mat_analiz_k_ekzamenu_Avtosokhranenny (копия). 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д

• Название: 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д
• Дата: 07.01.2023
• Размер: 2.91 Mb.
• Имя файла: Mat_analiz_k_ekzamenu_Avtosokhranenny (копия).docx
• Тип: Документы; #875367
• страница: 13 из 15

Опишите понятия верхней и нижней сумм Дарбу. Сформулируйте их свойства. Введите понятия верхнего и нижнего интегралов Дарбу. Сформулируйте критерий интегрируемости Дарбу.

Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]. Пусть – некоторое разбиение отрезка [a,b] точками

, i=0,1,2,... n-1

Тогда по теореме Вейерштрасса f(x) ограничена на [a,b] и достигает на нем своей верхней и нижней граней, а значит она ограничена и на любом частичном отрезке [ разбиения.

=sup f(x),

= inf f(x),





Свойства:

1. Если f-ограничена, то при любом разбиение суммы, определена.

2.Для любого разбиения при любом выборе точек на [ , ]



3. Если –какая-либо интегральная сумма Римана, соответствующая разбиению



4. При измельчении разбиения верхняя сумма Дарбу не возрастает, а нижняя сумма не убывает.

5. = , где

Множество{S} всех верхних сумм Дарбу отвечающих разбиению на отрезке ограничено снизу, а множество всех нижних сумм Дарбу ограничено сверху.

Таким образом, существует точная нижняя грань множества всех верхних сумм и точная верхняя грань

= inf , = sup

– верхний интеграл Дарбу – нижний интеграл Дарбу.

Теорема (Критерий Дарбу) Для того, чтобы существовал интергал от функции на необходимо и достаточно, чтобы были равны верхний и нижний интегралы дарбу = . При этом I= =

9. Сформулируйте критерий интегрируемости по Риману и следствие из него. Сформулируйте и докажите интегрируемость по Риману функции, непрерывной на отрезке и функции, монотонной на отрезке.

Теорема (Критерий Римана) Для того чтобы ограниченная на отрезке (а,b), функция была интегрируема (по Риману) на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы .



Следствие. Если функция f интегрируема, то не только ее интегральные суммы Римана, но также и интегральные суммы Дарбу стремятся к ее интегралу, когда мелкость разбиения λ стремится к нулю.

Теорема. Если функция f(х) непрерывна на отрезке (a,b), то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. Ограниченность  на отрезке   следует из теоремы Вейерштрасса.

По теореме Кантора эта функция равномерно непрерывна на отрезке   . Значит, для любого   найдется такое   , что для любых   и   , принадлежащих отрезку   , из неравенства   следует неравенство   .

Возьмем такое разбиение   отрезка   на частичные отрезки   ,   , чтобы   . Тогда   из неравенства   выполняется неравенство .

Отсюда следует, что   .С учетом этого    .

Значит,   и   .

Теорема. Если функция f(х), монотонна на отрезке (a,b), то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. Ограниченность  на отрезке   следует из свойств непрерывных функций.

Пусть   возрастает на отрезке   , т.е.   . Пусть   . Возьмем такое разбиение   отрезка   на частичные отрезки   ,   , чтобы  .

В силу монотонности   имеем и   .

Тогда   Следовательно,   . В силу критерия Дарбу   

9. Сформулируйте свойства определенного интеграла. Объясните свойство аддитивности интеграла и особенности вычисления определенного интеграла четной и нечетной функций по симметричному промежутку. Ответ проиллюстрируйте геометрически.

Свойства определенного интеграла:

1. 
   Для любой функции f положим по определению: , а для функции, интегрируемой на отрезка [a,b]: , a
2. 
   
   
3. 
   Если функция f(x) интегрируема на [a,b], то она интегрируема на [с,d] ⊂[a,b]
   
4. 
   Аддитивность. Пусть a .Если a
5. 
   Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла
   
6. 
   Определенный интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме их интегралов
   
7. 
   Если функция f(x) интегрируема на [a,b], неотрицательна(f(x) ≥0) и a ≥0
   
8. 
   Если функции f и g интегрируемы на [a,b], для всех x∈[a,b] f(x) ≥g(x), то , то ест неравенство можно почленно интегрировать
   
9. 
   Если функция f(x) интегрируема на [a,b], a
   
10. 
    Если функция f(x) интегрируема на [a,b], a f(x) для любого x из [a,b], то
    

m(b-a) (b-a). Следствие: Если во всем промежутке имеет место неравенство , то |

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [-a,a]  и четна на этом отрезке. Тогда ее график симметричен относительно оси Oy. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [-a,a]   и является четной, то
Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [-a,a]  и нечетна на этом отрезке. Тогда ее график симметричен относительно оси начала координат. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [-a,a]   и является нечетной, то