Mat_analiz_k_ekzamenu_Avtosokhranenny (копия). 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д
 Скачать 2.91 Mb.
|
Опишите типы элементарных (простейших) рациональных дробей и сформулируйте правила их интегрирования. Приведите примеры. Опишите общую схему интегрирования рациональных функций.Элементарными (простейшими) рациональными дробями будем называть дроби следующих четырех видов:  2)  3)  4)  Дроби 1 и 2 вида называются дробями 1-го рода. А вида 3 и 4 дробями 2-го рода. Рассмотрим интегрирование этих дробей  Дроби вида 3 и 4 интегрируются с помощью подстановки, которая определяется в результате выделения квадрата двучлена из трехчлена х^2+px+g. Таким образом интеграл от каждой элементарной дроби выражается через элементарные функции или как принято говорить каждая элементарная дробь может быть проинтегрирована в конечном виде. Алгоритм интегрирования рациональных функций 1. Установить какая это дробь – правильная или неправильная. 2. Если рациональная дробь неправильная, то надо выделить ее целую часть делением числителя на знаменатель. 3. Правильную дробь разложить на элементарные дроби применяя метод неопределенных коэффициентов или другие методы. 4.Проинтегрировать целую часть и сумму элементарных дробей. 5. Записать результат интегрирования данной рациональной функции.
 . Приведите примеры. Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции, используя универсальную тригонометрическую подстановку x=2arctant (или t=tg x/2), dx=2dt/1+t2 Для преобразования рациональных выражений от sinx, cosx, tanx, cotx, secx и cscx в алгебраические рациональные функции переменной t применяются следующие тригонометрические формулы:  Универсальная тригонометрическая подстановка приводит к большим вычисления поэтому можно использовать u=sinx, u=cosx,u=tgx Чтобы вычислить интеграл вида ∫sinnxcosmxdx, если n-нечетное то t=cosx, если m-нечетное то t=sinx Для вычисления интеграла вида ∫R(sinx)cosxdx, где обе функции sinx и cosx входят в четной степени, то целесообразно использовать формулы понижения степени Интегралы вида  непосредственно вычисляются если в них подынтегральные функции преобразовать согласно формулам:
Определить путь S0 пройденный материальной точкой за промежуток времени от t0 до T, если известна u движения точки как функция времени u(t). Решение. Разобьем промежуток времени произвольным образом на n частей. В любом из частичных промежутков ti,ti+1, выберем произвольный момент времени τi, вычислим скорость Ui=f(τi). S= Ui Δti, а весь путь So=  = Это приближенное равенство будет тем точнее чем мельче дробление промежутка, когда λ=max{Δti} будет стремится к нулю получим So= Сумма вида  называется интегральной суммой Римана. Геометрический смысл суммы: сумма площадей прямоугольников с основаниями  и высотами f(ξ).Определение5. Если существует конечный предел I интегральной суммы при λ →0, не зависящий ни от способа разбиения отрезка [а, b] на части, ни от выбора точек ξ, то этот предел называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке (а, b) и обозначается символом I=  или .Необходимое условие интегрируемости. Если функция интегрируема на отрезке [a; b], то она ограничена на этом отрезке. Доказательство. Если функция неограниченна на отрезке [a; b], то она не ограничена хотя бы на одном отрезке разбиения, и слагаемое интегральной суммы может быть сделано как угодно большим, что противоречит ограниченности сумм. Пример Разрывная интегрируемая функция
|
