Mat_analiz_k_ekzamenu_Avtosokhranenny (копия). 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д

• Название: 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д
• Дата: 07.01.2023
• Размер: 2.91 Mb.
• Имя файла: Mat_analiz_k_ekzamenu_Avtosokhranenny (копия).docx
• Тип: Документы; #875367
• страница: 14 из 15

Сформулируйте и докажите теорему о среднем значении для интеграла Римана, приведите её геометрическую интерпретацию.

Теорема: Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на [a,b], то существует такая точка ξ ∈[a,b], что , - среднее значение функции на отрезке

Доказательство:

Пусть a ≤ ≤ М

m ≤ ≤ М

m≤ ≤ М

m≤ η ≤ М
Между наименьшим и наибольшими значениями функции по т.Коши о промежуточных значениях функции обязательно найдется ξ ∈[a,b]= η

f(ξ )= , следовательно
Геометрически: для площади криволинейной трапеции ограниченной сверху непрерывной кривой всегда существует равновеликий ей прямоугольник с тем же основание, а высота его равна одной из ординат этой кривой.

9. Введите понятие определенного интеграла с переменным верхним пределом. Сформулируйте его свойства и одно из них докажите.

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b],тогда по свойству 3 она интегрируема и на любом отрезке [a, х], где . Следовательно имеет смысл интеграл:



Функция F определена на отрезке [a, b] и называется интегралом с переменным верхним пределом. Геометрически функция F(х) представляет собой площадь заштрихованной криволинейной трапеции , если F(х)>0.



Свойства интеграла с переменным верхним пределом.

Теорема 1. Пусть   интегрируема на  . Тогда функция   непрерывна на  .

Доказательство. Пусть  . Тогда



Функция   ограничена на   (поскольку она интегрируема), так что при некотором  .

Следовательно  при  , что и требовалось показать.

Теорема 2. Пусть функция   интегрируема на   и непрерывна в точке  . Тогда функция   имеет производную в точке   и

Теорема 3.Пусть функция   непрерывна на  . Тогда она имеет на   первообразную , где  .