Mat_analiz_k_ekzamenu_Avtosokhranenny (копия). 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д

• Название: 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д
• Дата: 07.01.2023
• Размер: 2.91 Mb.
• Имя файла: Mat_analiz_k_ekzamenu_Avtosokhranenny (копия).docx
• Тип: Документы; #875367
• страница: 2 из 15

Сформулируйте и докажите теорему, выражающую необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке.

Теорема

Для того чтобы функция f(x) была дифференцируемой в некоторой точке х₀, необходимо и достаточно, чтобы функция f(x) имела в этой точке производную f’(x) и тогда: dy= f’(x)*dx.

Доказательство:

1. 
   Необходимость.
   

Пусть f(x) – дифференцируема в точке х_0, тогда по определению: , . Разделим обе части на . = + .

Следовательно f’(x₀)=А+0, откуда f’(x)=А.

2. 
   Достаточность.
   

Пусть f’(x₀) =(по опр) f’(x₀)+ , где .

. Полагая, что , получим при ., при Следовательно f(x) дифференцируема в точке х₀.

4. Опишите понятие касательной к графику функции в точке. Объясните геометрический и физический смысл производной и дифференциала функции в точке.

Опр1. Если существует (конечный предел k(Δх)) , то прямая определенная уравнением y=k0(x-x0)+y0 называется наклонной касательной к графику функции y=f(x) в точке x0.

Уравнение касательной y=f’(x0)(x-x0)+f(x0) в случае конечной производной в точке.

Если , то в этом случае существует вертикальная касательная х=х0.

Опр2. Предельное положение секущей М0М при Δх→0 или, что то же при М→М0 называется касательной к графику функции f в точке М0.

F’(х0)=tgφ – геометрический смысл производной в точке х0 есть tg угла, образованного касательной с положительным направлением оси Ох.

Y=y0+f’(x0), (y0=f(x0)) – уравнение касательной

y-y0=f’(x0) ( =dx)

У-у0=dy – геометрический смысл дифференциала – это есть прирощение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке М0 с абсциссой х0.
Физический смысл производной и дифференциала.

- скорость изменения одной переменной величины относительно другой (у относительно х) в точке х0.

На интерпретации производной, как скорости изменения величины, относительно другой и основано в применении производной при изучении физических явлений и процессов.

Дифференциал. Δу=А* Δх+0(Δх), Δх→0

У*у0 ≈dy 0(Δх)- погрешность

Применение дифференциала функции в физике основано на том, что замена приращения функции дифференциалом позволяет заменить любую дифференцируемую в точке х0 функцию, линейной.