Задачи. А це відношення числа випадків

• Название: А це відношення числа випадків
• Анкор: Задачи
• Дата: 26.10.2020
• Размер: 1.39 Mb.
• Имя файла: 91a2f1e933af52685c74dd82a98848c1 (1).doc
• Тип: Документы; #145858
• страница: 5 из 10

Числові характеристики неперервних випадкових величин (НВВ)
У випадку НВВ математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення мають той самий зміст і ті самі властивості, але вираховуються за іншими формулами. Якщо f(x) – щільність розподілу ймовірності Х, тоді М(Х) знаходять за формулою:

(1)

Дисперсія, як і у випадку ДВВ, обчислюється за формулою:

D(X) = M((X - M(X))²),

що у випадку НВВ має вигляд:



Для розрахунку зручно використовувати формулу:

(2)

Середнє квадратичне відхилення НВВ визначають таким чином:

(3)

Основними законами розподілу НВВ є рівномірний, показниковий, нормальний та розподіл Стьюдента.

Випадкова величина Х розподілена рівномірно у проміжку [a;b], якщо її щільність ймовірності має вигляд:

(4)

Числові характеристики НВВ Х, що рівномірно розподілена:

; (5)

Ймовірність того, що рівномірно розподілена ВВ Х потрапить в проміжок [x₁;x₂] за умови a≤x₁<x₂≤b вираховується за формулою:

(6)

Випадкова величина Х розподілена за показниковим законом з параметром , якщо щільність її ймовірності має вигляд:

(7)

Числові характеристики НВВ Х, що має показниковий розпо­діл, визначаються:

; (8)

Інтегральна функція розподілу для ВВ Х, що має показниковий розподіл, задається формулою:


(9)

Ймовірність того, що розподілена за показниковим законом BB Х потрапить в інтервал (a;b) за умови 0
Р(ab)=F(b)–F(a) =^–a–^–b (10)

НВВ Х розподілена за нормальним законом, якщо щільність її ймовірності має вигляд:

, (11)

де a та  – параметри розподілу.

Графік цієї функції називається нормальною кривою або кривою Гаусса.

Інтегральна функція нормального розподілу має вигляд:

(12) або

(13)

При а=0; =1 нормальна крива називається нормованою та НВВ Х має нормований нормальний розподіл.

Числові характеристики НВВ Х, що розподілена за нормальним законом:

М(Х)= а; D(X) =². (14)

Ймовірність того, що нормально розподілена величина потрапить в проміжок (c;d):

, (15)

де Ф(х) – функція Лапласа, що задається формулою

, (16)

Для обчислення ймовірності відхилення нормально розподіленої ВВ від свого математичного сподівання а на наперед задану величину  використовують формулу:

(17)

Графіки функцій f(x) та F(x), що задані формулами (11), (12) мають вигляд:
“Правило трьох сигм”. Якщо ВВ Х розподілена нормально, то ймовірність того, що абсолютна величина відхилення Х від її математичного сподівання прямує до 0, тобто подія |X–a|<3, практично достовірна.

Випадкова величина Т має розподіл Стьюдента (t-розподіл) з k ступенями свободи, якщо її щільність ймовірності має вигляд:

, ( t R ) (18)

Коефіціент C_k визначається з умови

Числові характеристики ВВ Т, що має розподіл Стьюдента, є :

М(Т)=0; , для k>2 (19)

При зростанні k розподіл Стьюдента швидко наближається до нормального розподілу. Цей розподіл табульований і досить широко використовується в математичній статистиці та економетриці.

Приклад 1. Знайти числові характеристики ВВ Х, що задана функцією розподілу:



Розв’язання. Знайдемо щільність ймовірності за формулою f(x) = F(x):



За формулою (1) знайдемо математичне сподівання:



Дисперсію знайдемо за формулою (2):



Середнє квадратичне відхилення знайдемо за формулою (3):

.

Приклад 2. Випадкова величина рівномірно розподілена на проміжку [3;18]. Знайти М(Х),D(X), (X), побудувати графіки функцій f(x) та F(x), обчислити ймовірності подій Р(4<Х<10) та Р(Х<12).

Розв’язання. Згідно з формулами (4)-(6) і враховуючи, що

та F(x)=P(X
;

; ;

; .

Г
рафіки функцій f(x) та F(x) мають вигляд

Приклад 3. Величина Х розподілена за законом:


Знайти М(Х), D(X),  (X), Р(0,2 1).
Розв’язання. Задана випадкова величина має показниковий роз­по­діл з параметром =5. Згідно з формулами (8) – (10) і враховуючи,що F(x)=P(X<x) та Р(Х≥х)=1–F(x), маємо:

; ; ; ;

.

Приклад 4. Статистичні дослідження показали, що річний прибуток працівника страхового бізнесу має нормальний розподіл з середнім значенням 8000 гривень і середньо-квадратичним відхиленням 1000 гривень. Навмання відібрано особу, що працює в страховому бізнесі. Яка ймовірність того, що її річний прибуток буде:

а) менше, ніж 6000 гривень;

б) не менше, ніж 10000 гривень;

с) між 7500 та 9200 гривень.

Розв’язання. а) ймовірність Р(Х<6000) обчислимо за формулою (13):



б) ймовірність Р(Х 9000) обчислимо таким чином:

в) ймовірність Р(7500
Приклад 5. Відбувається зважування певної речовини без системних помилок.

Випадкові помилки зважування мають нормальний розподіл з середньоквадратичним відхиленням =20 г. Знайти ймовірність того, що зважування буде виконано з похибкою, яка за абсолютною величиною не перебільшує 10 г.

Розв’язання. Нехай Х – випадкова помилка, за умовою задачі Х нормально розподілена з М(Х)=а, (Х)=20. Використаємо формулу (17) при =20; =10, маємо:

.
Закон великих чисел

Лема Чебишова. Якщо ВВ Х, для якої існує математичне спо­дівання М(Х), приймає лише невід’ємні значення, то для будь-якого додат­нього числа  має місце нерівність:
(1)

Нерівність Чебишова. Якщо Х – ВВ з математичним сподіванням М(Х) та дисперсією D(X), то для будь-якого >0 має місце нерівність:

(2)

Теорема Чебишова (Закон великих чисел). Нехай Х₁, Х₂,...Х_n,... послідовність незалежних випадкових величин з одним і тим самим математичним сподіванням m та дисперсіями, що обмежені однією і тією самою константою c.

Тоді для будь-якого >0 має місце нерівність:

(3)

Доведення теореми базується на нерівності:

(4)

Наслідком ЗВЧ є теорема Бернуллі.

Теорема Бернуллі. Нехай відбувається n-незалежних випробувань, в кожному з яких з ймовірністю p може відбутись деяка подія А. Нехай _n – випадкова величина, що дорівнює числу появ події А в цих n випробуваннях, тоді для будь-якого >0 сравджується:

. (5)

Нерівність (4) за умов теореми Бернуллі записується наступинм чином:

. (6)

Узагальнена теорема Чебишова. Якщо Х₁, Х₂,...Х_n,... послідовність випадкових величин з математичними сподіваннями М(Х₁)=m₁, M(X₂)=m₂,... та дисперсіями, що обмежені однією і тією ж постійною величиною с, то для будь-якого >0 справджується:

. (7)

Приклад 1. Оцінити ймовірність того, що з 800 малих підприємств збанкрутіє не менше 50, якщо ймовірність банкрутства будь-якого навмання взятого малого підприємства постійна і рівна 0,05.

Розв’язання. Нехай Х – число збанкрутілих підприємств. Ця ВВ підпорядковується біномному розподілу з параметрами n=800; p=0,05. Тоді згідно з формулою обчислення математичного сподівання ВВ, що має біномний розподіл, маємо:

M(X)=np=8000,05=40.

Використаємо нерівність (1) при =50:

.

Приклад 2. Середня температура в приміщенні в період опалюваль­ного сезону дорівнює 20^о С, а середнє квадратичне відхилення дорівнює 2^о С. За допомогою нерівності Чебишова оцінити знизу ймовірність того, що температура в квартирі відхилиться від середньої менше, ніж на 4^о С.

Розв’язання. Нехай ВВ Х – температура в приміщенні. За умови М(Х)=20; (X)=2. З нерівності (2):

.

Приклад 3. Ймовірність того, що телевізор витримає гарантійний термін роботи дорівнює 0,95 для всіх 200 телевізорів, які обслуговує гаран­тій­­на майс­тер­ня. Оцінити ймовірність того, що число телевізорів, які вит­ри­мають гарантійний термін роботи, буде в межах [185;195].

Розв’язання. ДВВ Х – число телевізорів, які витримають гаран­тійний термін роботи, має біномний розподіл ймовірності, тому

M(X)=np=2000,95=190; D(X)=npq=2000,050,95=9,5;

=195–190=|185–190|=5 і використаємо нерівність Чебишова у формулі (2).

.
Вибірковий метод

Є одним із найважливіших методів статистики. Він дозволяє на підставі вибіркової сукупності отримати висновок про числові характерис­тики генеральної сукупності.

Статистичний розподіл вибірки

Варіанти х_і ознаки Х генеральної сукупності, записані в зроста­ючому порядку, утворюють варіаційний ряд.

Таблиця

xi	X1	…	xk
ni	N1	…	nk

де n_i – число повторень (частота) кожної варіанти, називається статистичним розподілом. Сума всіх частот рівна об’єму n вибірки. Відношення називається відносною частотою (частістю).

Приклад 1. Для вибірки

xi	5	7	8	10	12
ni	1	4	2	6	7

Записати розподіл відносних частот.