А. И. Уколов Управление рисками страховой организации
 Скачать 2.83 Mb.
|
|
Пример Инвестор планирует получить через три месяца 740 тыс. долл. и предполагает приобрести на них облигацию, которая является самой дешевой для поставки по фьючерсному кон- тракту – 8% 15-летнюю облигацию номиналом 100 тысяч долл. Цена самой дешевой облигации равна 112 тысяч долл., коэффициент конверсии 1,2. Инвестор опасается, что в течение следующих трех месяцев процентные ставки упадут, поэтому он решает хеджировать будущую покупку приобретением фью- черсных контрактов. Необходимое число контрактов составит контрактов 9 , 7 2 , 1 12 , 1 100000 740000 Таким образом, хеджеру необходимо купить 8 фьючерсных контрактов. 11.4. ХЕДЖИРОВАНИЕ ОБЛИГАЦИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОКАЗАТЕЛЯ ДЮРАЦИИ Рассмотрим случай хеджирования любой другой облигации с помощью фьючерсного контракта. Стра- ховку позиции по облигации осуществляют с помо- щью такого показателя, как дюрация. Как известно, дюрация используется определения изменения цены облигации при небольшом изменении доходности до погашения. Формула, где присутствует показатель дю- рации, имеет следующий вид: r r S D S 1 , где: S – цена облигации; D – дюрация; 385 r – доходность до погашения. Коэффициент хеджирования на базе дюрации ра- вен g D S S K , где: D K – коэффициент хеджирования на базе дюра- ции; S – изменение цены хеджируемой облигации; g S – изменение цены самой дешевой облигации. Формулу можно записать следующим образом: g g g g D r r S D r r S D K 1 / 1 / , где g – относится к параметрам самой дешевой обли- гации. При определении коэффициента хеджирования на базе дюрации предполагается, что кривые доходности хеджируемой и самой дешевой облигации параллельно сдвигаются на одну и ту же величину при изменении процентной ставки таким образом, что g g r r r r 1 / 1 / Поэтому формула g g g g D r r S D r r S D K 1 / 1 / принимает следующий вид: g g D S D S D K Число контрактов для страхования фьючерсным контрактом определяется по формуле: D k K K облиг деш самой цена контр фьюч Номинал сумма Хедж контрактов фьючерсных Число Пример 386 Инвестор планирует получить через три месяца деньги и купить облигацию, которая не является самой дешевой для по- ставки по фьючерсному контракту. Дополним предыдущий пример необходимыми условиями и определим число фьючерс- ных контрактов для хеджирования: 1 , 12 , 2 , 14 , 119 g D D S Коэффициент хеджирования на базе дюрации ра- вен 25 , 1 112 1 , 12 119 2 , 14 K Число фьючерсных контрактов, которое должен купить вкладчик, равно контрактов или 10 9 , 9 25 , 1 2 , 1 12 , 1 100000 740000 11.5. ХЕДЖИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ОБЛИГАЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПОКАЗАТЕЛЯ ДЮРАЦИИ При активном управлении портфелем облигаций может возникать необходимость страховаться от изме- нения стоимости портфеля при изменении процент- ной ставки на короткие периоды времени. Это можно сделать на основе дюрации портфеля. Рассмотрим технику хеджирования портфеля из одной облигации. Инвестор владеет облигацией и хотел бы застрахо- ваться от изменения ее стоимости. Цена облигации равна P , доходность до погашения – r , модифициро- ванная дюрация – m D . Облигация страхуется с помо- щью другой облигации, назовем ее хеджирующей об- лигацией. Цена ее равна h P , доходность до погашения – h r , модифицированная дюрация – mh D . Для страхо- вания стоимости позиции необходимо создать хеджи- рующий портфель, включив в него хеджируемую и 387 хеджирующую облигации. Стоимость хеджирующего портфеля P P равна: h P hP P P , где h – количество хеджирующих облигаций. При изменении процентной ставки стоимость портфеля изменится на величину P dP : h p hdP dP dP , где: dP – изменение стоимости хеджируемой облига- ции; h dP – изменение стоимости хеджирующей облига- ции. Инвестор заинтересован в сохранении неизменной стоимости портфеля. Поэтому необходимо построить его таким образом, чтобы: 0 h P hdP dP dP Изменение стоимости первой и второй облигаций можно представить как: Pdr D dP m и h h mh h dr P D dP Подставим dP и h dP в выражение P dP : 0 h h mh m dr P hD Pdr D Найдем из равенства величину h: h h mh m dr P D Pdr D h Выражение определяет количество хеджирующих облигаций в портфеле инвестора. Знак минус говорит о том, что хеджирующую облигацию необходимо про- дать. 388 В случае параллельности сдвигов кривых доходно- стей при изменении процентных ставок h dr dr , ра- венство принимает вид: h mh m P D P D h Если кривая доходности параллельна оси абсцисс, т.е. доходность до погашения для любых временных периодов одинакова, модифицированная дюрация ме- няется на дюрацию Маколея: h h P D DP h , где D и h D – дюрации Маколея соответственно для первой и второй облигаций Пример Портфель инвестора состоит из пяти одинаковых облига- ций, которые погашаются через восемь лет. Номинал облига- ций 1000 руб., купон 12%, выплачивается один раз в год, цена 1106,7 руб. Портфель страхуется с помощью продажи четы- рехлетних облигаций. Их номинал 1000 руб., купон 10%, вы- плачивается раз в год, цена 1000 руб. Кривая доходности па- раллельна оси абсцисс. Дюрация Маколея четырехлетней облигации составляет 3,49 года, восьмилетней – 5,69 года. Оп- ределить какое количество четырехлетних облигаций следует продать инвестору. Решение В соответствии с формулой h h P D DP h на каждую восьмилетнюю облигацию следует продать: облигаций них четырёхлет 8 , 1 1000 49 , 3 7 , 1106 69 , 5 Для страхования портфеля надо продать: облигаций них четырёхлет 9 8 , 1 5 389 11.6. ХЕДЖИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ОБЛИГАЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ДЮРАЦИИ И КРИВИЗНЫ Хеджирование с помощью показателя дюрации страхует позицию инвестора только от небольших из- менений процентной ставки. При значительных изме- нениях конъюнктуры необходимо наряду с дюрацией использовать и показатель кривизны . Для этого фор- мируют хеджирующий портфель, в который входит первоначальный портфель инвестора и, по крайней мере, два хеджирующих актива. Обозначим стоимость, модифицированную дюрацию и кривизну первона- чального портфеля через 0 0 0 , , conv D P m , а стоимости, модифицированные дюрации и кривизну хеджирую- щих активов соответственно через 1 P и 2 P , 1 m D и 2 m D , 1 conv и 2 conv . Актив инвестора будет иммунизи- рован от изменения процентной ставки, если в резуль- тате ее изменения стоимость хеджирующего портфеля останется неизменной. Поэтому можно записать: 0 2 2 1 1 0 dP h dP h DP dP P , где: P dP – изменение стоимости хеджирующего порт- феля; 1 h – количество единиц первой облигации в хед- жирующем портфеле; 2 h – количество единиц второй облигации в хед- жирующем портфеле. Представим изменения стоимости портфеля инве- стора и хеджирующих облигаций с помощью показа- телей дюрации и кривизны: 390 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 2 1 2 1 0 dr P conv dr P D dP dr P conv dr P D dP dr P conv dr P D dP m m m Подставим данные формулы в формулу P dP : 0 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 dr P conv h dr P D h dr P conv h dr P D h dr P conv dr P D m m m На основе последнего выражения составим два ра- венства, объединив в первое слагаемые, содержащие показатели дюрации, а во второе – показатели кривиз- ны: 0 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 dr P D h dr P D h dr P D m m m 0 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 0 0 0 dr P conv h dr P conv h dr P conv Допустим, что при изменении процентных ставок кривые доходности смещаются параллельно, то есть: 2 1 0 dr dr dr .Тогда: 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 2 2 2 1 1 1 P conv P conv h P conv h P D P D h P D h m m m Стоимость хеджирующего портфеля зависит от удельных весов хеджирующих облигаций, которые оп- ределяются из системы уравнений. Пример 1 В портфель входят сто облигаций номиналом 1000 руб., купоны выплачиваются один раз в год. До погашения облигаций 8 лет, купон 12%, доходность до погашения 11%, цена 1051,46 руб., модифицированная дюрация 5,07, кривизна 39,05. 391 Инвестор хеджирует портфель с помощью двух об- лигаций номиналом 1000 руб. До погашения первой бумаги 4 года, купон 10%, доходность до погашения 10%, цена 1000 руб., модифицированная дюрация 3,17, кривизна 13,72. Вторая облигация погашается через 10 лет, купон 14%, доходность до погашения 12%, цена 1113,0 руб., модифицированная дюрация 5,49, кривиз- на 44,26. Предполагается, что кривая доходности будет смещаться параллельно. Необходимо определить ко- личество хеджирующих облигаций в хеджирующем портфеле. Решение Подставим данные задачи в систему уравнений: 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 2 2 2 1 1 1 P conv P conv h P conv h P D P D h P D h m m m Тогда получим: 105146 05 , 39 1113 26 , 44 1000 72 , 13 105146 07 , 5 1113 49 , 5 1000 17 , 3 2 1 2 1 h h h h или 3 , 4105951 38 , 49261 13720 22 , 533090 37 , 6110 3170 2 1 2 1 h h h h Систему уравнений удобно решить в матричной форме. В матричной форме систему можно записать как: B Ah Ее решение имеет вид: B A h 1 , где 1 A обратная матрица к матрице А В нашем примере: 392 2 1 ; 3 , 4105951 22 , 533090 ; 38 , 49261 13720 37 , 6110 3170 h h h B A Поэтому уравнение B Ah можно представить как: 3 , 4105951 22 , 533090 38 , 49261 13720 37 , 6110 3170 2 1 h h Соответственно его решение равно: 8375 , 78 2031 , 16 3 , 4105951 22 , 533090 38 , 49261 13720 37 , 6110 3170 1 2 1 h h Полученный ответ говорит о том, что для форми- рования хеджирующего портфеля следует продать первую и вторую облигации в количествах соответст- венно 16,2031 и 78,8375 штук. Поскольку нельзя дро- бить облигации, то надо продать 16 первых облигаций и 79 вторых облигаций. Стоимость хеджирующих об- лигаций в портфеле инвестора в сумме составит: 103927 79 1113 16 1000 руб руб руб Допустим, что в примере 1 инвестор хотел бы, что- бы сумма стоимости хеджирующих облигаций в порт- феле равнялась стоимости первоначального портфеля. Тогда необходимо использовать еще одну облигацию, и решить следующую систему уравнений: 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 1 1 P conv P conv h P conv h P conv h P D P D h P D h P D h P P h P h P h m m m m P где: 3 P – цена третьей облигации; 3 m D – величина модифицированной дюрации третьей облигации; 3 conv – кривизна третьей облигации; 393 3 h – количество единиц третьей облигации в хед- жирующем портфеле. Пример 2 В портфель входят сто облигаций номиналом 1000 руб., купоны выплачиваются один раз в год. До погашения облигаций 8 лет, купон 12%, доходность до погашения 11%, цена 1051,46 руб., модифицированная дюрация 5,07, кривизна 39,05. Инве- стор хеджирует портфель с помощью трех облигаций номина- лом 1000 руб. До погашения первой бумаги 4 года, купон 10%, доходность до погашения 10%, цена 1000 руб., модифицирован- ная дюрация 3,17, кривизна 13,72. До погашения второй бумаги 5 лет, купон 10%, доходность до погашения 10,2%, цена 992,46 руб., модифицированная дюрация 3,78, кривизна 19,28. Третья облигация погашается через 10 лет, купон 14%, доход- ность до погашения 12%, цена 1113,0 руб., модифицированная дюрация 5,49, кривизна 44,26. Предполагается, что кривая доходности будет смещаться параллельно. Необходимо опреде- лить количество хеджирующих облигаций, если стоимость хеджирующего портфеля должна остаться равной стоимости портфеля инвестора. Решение Подставим данные задачи в систему уравнений: 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 P conv P conv h P conv h conv h P D P D h P D h D h P P h P h P h m m m m p 105146 05 , 39 1113 26 , 44 46 , 992 28 , 19 1000 72 , 13 105146 07 , 5 1113 49 , 5 46 , 992 78 , 3 1000 17 , 3 105146 1113 46 , 992 1000 3 2 1 3 2 1 3 2 1 h h h h h h h h h или 3 , 4105951 38 , 49261 13720 22 , 533090 37 , 6110 5 , 3751 3170 105146 1113 46 , 992 1000 2 1 3 2 1 3 2 1 h h h h h h h h 394 Решим систему уравнений в матричной форме: 3 , 4105951 22 , 533090 105146 38 , 49261 63 , 19134 13720 37 , 6110 5 , 3751 3170 1113 46 , 992 1000 3 2 1 h h h или 574 , 80 674 , 13 038 , 29 3 , 4105951 22 , 533090 105146 38 , 49261 63 , 19134 13720 37 , 6110 5 , 3751 3170 1113 46 , 992 1000 1 3 2 1 h h h Полученный ответ говорит о том, что для форми- рования хеджирующего портфеля следует продать первую и третью облигации в количестве соответст- венно 29,038 и 80,574 штук и купить 13,674 штук вто- рой облигации. Поскольку нельзя дробить облигации, то надо продать 29 первых облигаций и 81 третью об- лигацию и купить 14 вторых облигаций. |