«локаль-
ном оценивании» (local valuation), то есть на линейной или более сложной аппроксимации функции стоимо- сти финансового инструмента, к которой относится параметрический дельта-нормальный метод.
Вторая группа использует «полное оценивание» (full
valuation), подразумевающее полный перерасчет стои- мости финансового инструмента без аппроксимирую- щих предположений. К этой группе относятся метод исторического моделирования и метод Монте-Карло.
При использовании любого из перечисленных подходов мо-
дель расчета VaR необходимо верифицировать во избежание
риска применения неадекватной модели (модельного риска).
407
12.4. АНАЛИТИЧЕСКИЙ
(ИЛИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ) МЕТОД
Этот метод исходит из предположения о нормаль- ном распределении вероятностей рассматриваемых факторов риска и требует в процессе построения мо- дели расчета VaR только оценки параметров этого распределения. После проведения такой оценки, осно- ванной на результатах статистического исследования, вычисление показателя VaRосуществляется путем ум- ножения полученных стандартных отклонений на со- ответствующий избранному доверительному уровню расчетный коэффициент (система таких коэффициен- тов для каждого доверительного уровня определена ма- тематическим путем и представлена в виде определен- ной таблицы вычислений). При определении на основе этого метода VaRдля определенного портфеля финансовых инструментов необходимо дополнитель- но исследовать характер корреляционных связей между отдельными инструментами. Хотя этот метод и являет- ся наиболее простым, ареал его использования очень ограничен, так как в реальной практике параметриче- ское распределение вероятностей факторов финансо- вого риска встречается довольно редко.
Параметрический метод расчета величины VaR по- зволяет получить оценку VaR в замкнутом виде. В его основе лежит посылка о нормальном законе распреде- ления логарифмических доходностей факторов ры- ночного риска (цен первичных или «неразложимых» активов, от которых зависит стоимость более сложных инструментов, позиций и портфеля в целом):
1
ln
t
t
t
P
P
r
N (μ,
σ2
)
408
Предложение о нормальном распределении изменений факторов риска значительно облегчает нахождение величины
VaR, так как в этом случае рас- пределение доходностей инструментов, являющихся линейными комбинациями факторов риска, также бу- дет нормальным. Это фундаментальное
свойство будет сохраняться для любого портфеля, состоящего из ин- струментов с линейными ценовыми характеристиками.
Примером такого портфеля может служить портфель акций или валют.
В случае нормально распределенной случайной ве- личины доверительный интервал
1
всегда характе- ризуется единственным параметром – квантилью
1
K, которая показывает положение искомого значения слу- чайной величины (симметрично в обоих хвостах рас- пределения) относительно среднего, выраженное в ко- личестве стандартных отклонений доходности портфеля
σt. Так, для наиболее часто используемых значений доверительного интервала 95 и 99% соответ- ствующие квантили будут равны 1,65 и 2,33 стандарт- ных отклонений доходности портфеля.
В настоящей главе рассматривается методика опре- деления риска портфеля, получившая название
VaR на основании параметрической модели. Здесь будут опре- делены понятия абсолютного и относительного
VaR, диверсифицированного и не диверсифицированного
VaR и приведен метод расчета параметрической моде- ли
VaR.
При анализе риска с помощью
VaR задача сводится к тому, чтобы построить распределение убытков и при- былей, которые может принести портфель инвестора в течение определенного периода времени, и определить ту точку на этом распределении, которая бы соответст- вовала требуемому уровню доверительной вероятности.
Существуют разные методики определения
VaR , кото-
409 рые можно разделить на две группы: параметрические модели (их еще называют аналитическими или дисперсионно-ковариационными) и непараметриче- ские модели. Модель называется параметрической, если нам известна функция распределения случайной вели- чины и параметры ее распределения. В параметриче- ской модели VaR предполагается, что доходность фи- нансовых активов следует определенному виду вероятностного распределения, обычно нормального.
Используя прошлые данные статистики, определяют ожидаемые значения доходностей, дисперсий и кова- риаций доходностей активов. На их основе рассчиты- вают VaR портфеля для заданного уровня доверитель- ной вероятности по формуле
Z
P
VaR
p
p
p
,
где:
VaR
VaR
p
портфеля
Z ‒ количество σ, соответствующее выбранному доверительному интервалу;
p
– стандартное отклонение доходности портфе- ля;
p
P
– стоимость инвестиционного портфеля
Достоинства параметрического метода:
сравнительная простота реализации; сравнительно небольшие затраты на сбор первич- ных данных и вычисления; приемлемая точность оценки VaR в большинстве случаев практического применения.
Недостатки параметрического метода:
низкая точность оценки риска нелинейных инстру- ментов, таких как опционы. Этот метод измеряет чувст- вительность инструмента к риску только посредством
410 дельты, то есть изменение цены инструмента рассчиты- вается пропорционально величине дельты и изменению цены базисного актива, тогда как для нелинейного ин- струмента важную роль играет выпуклость и чувстви- тельность к другим факторам риска, например, к изме- нению волатильности базового актива. При оценке нелинейных инструментов параметрический метод применим только в ограниченном количестве случаев, когда цена базового актива находится в очень узком диапазоне; для распределений доходностей большинства фи- нансовых активов характерны так называемые «тол-
стые хвосты» (fat tails) – отклонения на краях распре- деления плотности вероятностей от нормального распределения, вследствие чего оценки
VaR
, рассчи- танные на основе нормального распределения, в зави- симости от величины уровня доверия оказываются за- ниженными или завышенными; игнорирование риска одиночных событий (event
risk), которые могут привести к аномальным убыткам и не происходят достаточно часто, чтобы быть представ- ленными в последних исторических данных (на основе которых оцениваются корреляции и волатильности доходностей).
Пример 1
Определить значение однодневного показателя VaR с дове-
рительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 10
млн. руб., в который входят акции только одной компании.
Стандартное отклонение доходности акции в расчете на год
равно 25%.
Так как необходимо определить значение одно- дневного VaR, то вначале рассчитаем стандартное от- клонение доходности акции для одного дня, учитывая, что в году 250 торговых дней:
0158
,
0 250
:
25
,
0
411
По таблице нормального распределения (функ- ция Лапласа) находим, что уровню доверительной вероятности в 95% соответствует 1,65 стандартных от- клонений. Значение
VaR портфеля равно:
7
,
260 65
,
1 0158
,
0 10000000
pVaRтыс. руб.
Таким образом, в течение следующих 24 часов мак- симальные потери в стоимости портфеля инвестора с доверительной вероятностью 95% могут составить
260,7 тыс. руб. Другими словами, в течение следующих
24 часов вероятность потерять сумму денег меньше
260,7 тыс. руб. равна 95%, а сумму больше 260,7 тыс. руб. – 5%.
Существуют понятия абсолютного и относительно- го значения
VaR. В приведенном выше примере был представлен абсолютный
VaR. Абсолютный
VaR можно определить как максимальную сумму денег, ко- торую может потерять портфель инвестора в течение определенного периода времени с заданной довери- тельной вероятностью. Относительный показатель
VaR отличается от абсолютного тем, что он рассчиты- вается по отношению к ожидаемой доходности порт- феля. Его
значение учитывает, что инвестор с заданной вероятностью не только может потерять сумму, равную величине абсолютного
VaR, но и не получить сумму равную средней ожидаемой доходности портфеля за рассматриваемый период. Так, в примере 1 одноднев- ный абсолютный
VaR с доверительной вероятностью
95% составлял 260,7 тыс. руб. Допустим, что на осно- вании данных за прошлый год средняя доходность портфеля за день составляла 0,1%. От 10 млн. руб. это составляет 10 тыс. руб. Тогда относительный
VaR ра- вен:
260,7 тыс. руб.+10 тыс. руб.=270,7 тыс. руб.
412
Если ожидаемая доходность портфеля равна нулю, то значения абсолютного и относительного VaR сов- падают.
Рассмотрим еще один пример на расчет абсолют- ного значения VaR.
Пример 2
Определить значение однодневного показателя VaR с дове-
рительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 10
млн. руб., в который входят акции двух компаний. Удельный
вес первой акции в стоимости портфеля составляет 60%, вто-
рой – 40%. Стандартное отклонение доходности первой акции
в расчете на один день равно 1,58%, второй – 1,9%, коэффици-
ент корреляции доходностей акций равен 0,8.
Определяем стандартное отклонение доходности портфеля:
%
62
,
1 8
,
0 9
,
1 58
,
1 4
,
0 6
,
0 2
9
,
1 4
,
0 58
,
1 6
,
0 2
1 2
2 2
2
p
По таблице нормального распределения (функция
Лапласа) находим, что уровню доверительной вероят- ности в 95% соответствует 1,65 стандартных отклоне- ний. По формуле
Z
P
VaR
p
p
p
определяем VaR портфеля:
3
,
267 65
,
1 0162
,
0 10000000
p
VaR
тыс. руб.
Аналогично примеру 2 находится VaR для порт- феля, состоящего и из акций большего количества компаний. В этом случае дисперсия доходности порт- феля рассчитывается по формуле
n
i
n
j
j
i
j
i
p
Cov
1 1
,
2
При расчете риска портфеля вместо формулы удобно воспользоваться матричной формой записи
Q
T
p
2
, где:
p
2
– риск портфеля;
413
– матрица-столбец удельных весов активов в портфеле;
T
– транспонированная матрица-столбец удель- ных весов активов в портфеле, то есть матрица-строка удельных весов;
Q – матрица ковариаций доходностей активов в портфеле.
Тогда дисперсию доходности портфеля в примере
2 найдем как:
628
,
2 9
,
1 4
,
2 4
,
2 58
,
1 4
,
0 6
,
0 2
2 2
р
, где 2,4 – ковариация доходностей акций.
Стандартное отклонение доходности портфеля равно:
%
62
,
1 628
,
2
p
В примере 2
VaR
можно определить также другим способом. Вначале определить VaR по каждой акции и после этого VaR портфеля. В этом случае
VaR
порт- феля рассчитывается по следующей формуле:
V
V
VaR
T
p
, где: V – матрица-столбец значений
VaR
по каждой бу- маге;
T
V
– транспонированная матрица-столбец значе- ний
VaR
по каждой бумаге, т.е. матрица-строка;
– корреляционная матрица размерности
n
n
; n – число активов в портфеле.
Определим в примере 2 значение абсолютного по- казателя VaR для первой акции:
42
,
156 65
,
1 0158
,
0 6
,
0 10000000 1
VaR
тыс. руб.
Значение абсолютного показателя VaR для второй акции равно:
414 4
,
125 65
,
1 019
,
0 4
,
0 10000000 2
VaRтыс. руб.
Значение абсолютного показателя
VaR портфеля составляет:
3
,
267 4
,
125 42
,
156 1
8
,
0 8
,
0 1
4
,
125 42
,
156
рубтысVaRp
Инвестор может держать средства в иностранных ценных бумагах. В этом случае он подвергается, поми- мо риска падения курсовой стоимости бумаг, валютно- му риску. Риск состоит в том, что иностранная валюта подешевеет. В результате ее конвертации в националь- ную валюту возникнут потери. Поэтому показатель
VaR портфеля должен отразить данный факт. Рас- смотрим вначале портфель, состоящий из одной акции иностранной компании.
Пример 3. Российский инвестор купил акции компании A на 357,143 тыс. долл. Стандартное отклонение доходности ак-ции составляет 1,58%. Курс доллара 1 долл.=28 руб., стан-дартное отклонение валютного курса в расчете на один день 0,6%, коэффициент корреляции между курсом доллара и ценой акции компании A равен 0,2. Определить VaR портфеля инве-стора с доверительной вероятностью 95%. Текущий курс доллара равен 28 руб., поэтому руб- левый эквивалент позиции инвестора составляет:
357,143 тыс. долл.×28 руб.=10 млн. руб.
Это означает, что в настоящий момент инвестор рискует суммой в 10 млн. руб., и данный риск обуслов- лен двумя факторами: возможным падением котировок акций компании
A и падением курса доллара. Реализа- ция любого из данных рисков приведет к падению стоимости портфеля ниже суммы в 10 млн. руб. По- скольку цена акций компании
A и валютный курс име- ют
корреляцию существенно меньшую чем плюс один,
415 то общий риск портфеля уменьшается за счет эффекта диверсификации. Поэтому дисперсия доходности портфеля равна:
2356
,
3 2
,
0 6
,
0 58
,
1 2
6
,
0 58
,
1 2
2 2
p
Стандартное отклонение доходности составляет:
%
7988
,
1 2356
,
3
p
Значение однодневного VaR портфеля равно:
10 млн.×0,017988×1,65=296,8 тыс. руб.
В данной задаче дисперсию портфеля можно было определить с помощью матричного исчисления, а именно:
2356
,
3 1
1 6
,
0 1896
,
0 1896
,
0 58
,
1 1
1 2
2 2
p
, где 0,1896 – ковариация валютного курса и курса акции компании
A
В примере 2 мы привели еще один способ нахож- дения
VaR
портфеля с помощью формулы на основе расчета VaR по каждому активу. Решим пример 3 с помощью данной формулы. Вначале определяем пока- затели VaR для акции
A
VaR и валютного курса
B
VaR :
7
,
260 65
,
1 0158
,
0 10000000
A
VaR
тыс. руб.
99 65
,
1 006
,
0 10000000
B
VaR
тыс. руб.
VaR
портфеля составляет:
8
,
296 99 7
,
260 1
2
,
0 2
,
0 1
99 7
,
260
руб
тыс
VaR
p
Рассмотрим пример, когда портфель инвестора включает разные валюты.
Пример 4
Курс доллара составляет 1долл.=28 руб., курс евро –
1евро=34 руб. Банк купил на рынке спот 357,143 тыс. долл. и
осуществил короткую продажу 294,118 тыс. евро. Стандарт-
416
ное отклонение курса доллара в расчете на один день составляет
0,6%, евро – 0,65%, коэффициент корреляции равен 0,85.
Определить значение однодневного показателя VaR портфеля с
доверительной вероятностью 95%.
Рассчитаем VaR в рублях, так как банк закроет свои позиции в иностранных валютах, конвертировав их в рубли. Долларовая позиция банка в рублях составляет:
357,143 тыс. долл.×28 = 10 млн. руб.
Позиция по евро в рублях:
294,118 тыс. евро× 34 руб. = 10 млн. руб.
Поскольку банк продал евро, то для дальнейших расчетов его позицию следует записать со знаком ми- нус, т.е. – 10 млн. руб.
Значение VaR по долларовой позиции равно:
10 млн. руб.×0,006×1,65 = 99 тыс. руб.
VaR по евро равен:
- 10 млн. руб×0,0065×1,65 = -107,25 тыс. руб.
VaR портфеля согласно формуле
V
V
VaR
T
p
составляет:
038
,
57 25
,
107 99 1
85
,
0 85
,
0 1
25
,
107 99
руб
тыс
VaR
p
В приведенных выше примерах рассчитывалось значение однодневного показателя VaR на основе стандартных отклонений для одного дня. Однако дан- ные могут быть заданы в расчете на год. Один из вари- антов расчета состоит в том, чтобы перевести годичное стандартное отклонение в отклонение однодневное по формуле:
году
в
дней
торговых
количество
год
день
1
После этого можно воспользоваться приведенными выше алгоритмами.
417
Другой подход состоит в том, чтобы матрицу кова- риаций,
составленную из годичных значений, перевес- ти в матрицу однодневных значений. Кроме этого, данную матрицу также удобно сразу скорректировать в соответствии с заданным уровнем доверительной веро- ятности. Тогда годичную матрицу ковариаций следует умножить на коэффициент:
годувднейторговыхколичествоивероятностнойдоверительуровеньК2
Скачать 2.83 Mb.