А. И. Уколов Управление рисками страховой организации
 Скачать 2.83 Mb.
|
|
Пример 5. Пусть в примере 4 годичное стандартное отклонение из- менения курса доллара равно 9,4868%, а евро – 10,2774%, ко- личество торговых дней в году 250. Определить значение одно- дневного показателя VaR для доверительной вероятности 95%. Коэффициент K равен: 01089 , 0 250 65 , 1 2 K Ковариационная матрица на основе годичных зна- чений равна (стандартные отклонения берем в деся- тичных значениях): 2 2 102774 , 0 0082875 , 0 0082875 , 0 094868 , 0 Q В результате произведения матрицы Q на число K получим матрицу Q': 000115026 , 0 0000902509 , 0 0000902509 , 0 00009801 , 0 102774 , 0 0082875 , 0 0082875 , 0 094868 , 0 01089 , 0 2 2 Q После этого VaR портфеля находим по формуле: C Q C VaR T p , где: C – матрица-столбец, представленная стоимостями входящих в портфель активов; 418 Q – ковариационная матрица, скорректированная на требуемый уровень доверительной вероятности и временной период; T C – транспонированная матрица-столбец, пред- ставленная стоимостями входящих в портфель активов Значение VaR портфеля согласно формуле C Q C VaR T p равно: 038 , 57 10000 10000 000115026 , 0 0000902509 , 0 0000902509 , 0 00009801 , 0 10000 10000 руб тыс VaR p В примерах рассчитывались VaR с учетом корреля- ций между активами портфеля. Такой показатель VaR называют диверсифицированным. VaR при коэффи- циенте корреляции, равном 1 (единице) носит название не диверсифицированного показателя VaR. Он пред- ставляет собой простую сумму индивидуальных VaR активов портфеля. Покажем это для портфеля из двух активов. Пусть стандартные отклонения и удельные ве- са первого и второго активов соответственно равны σ 1 , θ 1 и σ 2 , θ 2 , стоимость портфеля P. Тогда значение пока- зателя VaR портфеля для уровня доверительной веро- ятности α будет равно: P Corr P VaR p p 2 , 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 или 2 , 1 2 1 2 2 2 1 2 , 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 Corr VaR VaR VaR VaR PCorr P P P VaR p Если коэффициент корреляции между доходностя- ми активов равен единице, то формула принимает вид: 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 ) ( 2 VaR VaR VaR VaR VaR VaR VaR VaR VaR p Формула говорит о том, что в случае полной поло- жительной корреляции между активами VaR портфеля является суммой индивидуальных VaR входящих в него активов. Поскольку корреляции могут изменяться со временем, то наряду с показателем диверсифицирован- ного значения VaR целесообразно рассчитывать и по- 419 казатель не диверсифицированного значения VaR. Он покажет максимум возможных потерь (при нормальных условиях рынка) для данного уровня доверительной вероятности в случае неустойчивости корреляций или ошибки их оценок. Допущение нормальности распределения доходно- сти портфеля позволяет легко переводить значения VaR из одного уровня доверительной вероятности в другой. Значение VaR портфеля для доверительной вероятности z 1 равно: 1 1 z P VaR для доверительной вероятности z 2 : 2 2 z P VaR Приравняв значение P двух последних формул, получим 1 2 1 2 z z VaR VaR Таким образом, зная величину 1 VaR для довери- тельной вероятности z 1 , по формуле 1 2 1 2 z z VaR VaR легко получить 2 VaR для доверительной вероятности z 2 Аналогичным образом можно пересчитывать зна- чения VaR для разных периодов времени. Пусть VaR портфеля для периода t 1 равно: z t P VaR 1 1 для периода t 2 : z t P VaR 2 2 Приравняв значение P двух последних формул, получим 420 1 2 1 2 t t VaR VaR Таким образом, зная величину 1 VaR для периода времени 1 t , по формуле 1 2 1 2 t t VaR VaR легко полу- чить 2 VaR для периода времени 2 t . 12.4.1. Оценка ошибки параметрической модели VaR VaR портфеля рассчитывается на основе выбороч- ных данных за определенный период времени. В ре- зультате возникает необходимость оценить довери- тельный интервал для полученного значения VaR. По данным статистики мы определяем не истинное, а «ис- правленное» стандартное отклонение. В связи с этим, прежде всего, следует найти доверительный интервал для стандартного отклонения доходности портфеля. Истинное значение математического ожидания ге- неральной совокупности, из которой осуществляется выборка данных, также неизвестно. Поэтому для оцен- ки доверительного интервала следует воспользоваться правилами математической статистики для случая «ис- правленной» дисперсии с неизвестным математическим ожиданием. Предположим, что доходность портфеля имеет нормальное распределение. Наилучшей оценкой дис- персии нормального распределения является значение "исправленной" дисперсии: n i i X X n s 1 2 2 1 1 , где: 2 s – «исправленная» дисперсия; 421 i X – значение случайной величины для ой i вы- борки; X – среднее значение случайной величины; n – количество выборочных данных Разделим обе части равенства на истинную диспер- сию случайной величины σ²: n i i X X n s 1 2 2 2 1 1 Величина n i i X X 1 2 имеет распределение χ² (хи-квадрат) с n‒1 степенями свободы. Умножим обе части равенства n i i X X n s 1 2 2 2 1 1 на (n-1): n i i X X s n 1 2 2 2 1 Из последнего выражения следует, что величина 2 2 1 s n имеет χ² распределение с n‒1 степенями сво- боды. Необходимо найти границы интервала, который бы с вероятностью γ накрывал истинное значение дис- персии случайной величины. Это условие записывают как: 2 2 2 2 1 P Значения конечных точек доверительного интерва- ла обычно выбирают таким образом, чтобы вероятно- сти событий χ² < χ 1 ² и χ 2 ² < χ² были одинаковыми. Пусть эта вероятность равна α. Тогда выражение при- мет вид: 422 2 1 1 2 1 2 2 2 s n P или 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 s n s n P Разделим каждую часть неравенства на выражение 2 1 s n : 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 s n s n P По таблице квантилей распределения χ² находим нижнюю и верхнюю границы доверительного интер- вала дисперсии случайной величины. Квадратные кор- ни из данных значений представляют собой нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала стан- дартного отклонения. Если в качестве случайной вели- чины выступает доходность портфеля, то найденные значения сигм показывают доверительные границы стандартного отклонения доходности портфеля. На основе полученных данных можно рассчитать доверительный интервал для VaR портфеля по пред- ставленным ниже формулам: z P VaR н p н , z P VaR в p в , где: н VaR – нижняя граница доверительного интервала; в VaR – верхняя граница доверительного интервала; p P – стоимость портфеля; z – количество стандартных отклонений, соответ- ствующих выбранной доверительной вероятности. 423 Пример В примере 2 мы получили однодневный VaR портфеля из двух акций в 267,3 тыс. руб. Пусть данный результат был получен на основе данных по доходности акций за 101 день. Тре- буется определить доверительный интервал для VaR с коэф- фициентом доверия у = 0,95. Из соотношения у = 1 – 2α находим значение α, со- ответствующее доверительной вероятности 95%: 025 , 0 2 95 , 0 1 Количество наблюдений случайной величины со- ставило 101 день. Поэтому количество степеней свобо- ды в примере равно 100. По таблице квантилей распре- деления χ² находим квантили χ 1-α ² и χ α ² со степенями свободы 100: χ 0,975 ²=129,56; χ 0,025 ²=74,22. Нижняя граница доверительного интервала для дисперсии равна: 06854 , 2 56 , 129 628 , 2 100 1 2 975 , 0 2 s n а стандартного отклонения % 44 , 1 06854 , 2 Верхняя граница доверительного интервала для дисперсии равна: 54083 , 3 22 , 74 628 , 2 100 1 025 , 0 2 2 s n а стандартного отклонения % 88 , 1 54083 , 3 По формулам z P VaR н p н и z P VaR в p в находим нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала для VaR портфеля: 424 2 , 310 65 , 1 0188 , 0 10000 6 , 237 65 , 1 0144 , 0 10000 руб тыс руб тыс VaR руб тыс руб тыс VaR в н Таким образом, с доверительной вероятностью 95% процентов можно быть уверенным, что действительное значение VaR лежит в границах от 237,6 тыс. руб. до 310,2 тыс. руб. 12.4.2. Ожидаемые потери портфеля в случае превышения значения VAR VaR позволяет оценить максимальные потери ин- вестора для определенного уровня доверительной ве- роятности и ничего не говорит о том, какие в среднем убытки могут возникнуть в случае превышения значе- ния VaR. Для этого служит показатель средних ожидаемых потерь. Он показывает величину средних потерь для данного уровня доверительной вероятности и периода времени в случае, если убытки превысят значение VaR VaR. Таким образом, показатель средних ожидаемых потерь представляет собой условное математическое ожидание потерь при условии, что их величина оказа- лась больше значения VaR. Из теории вероятностей известно, что условная ве- роятность наступления события B при условии, что произошло событие A, равна: ) ( / A P AB P A B P , где: A B P / – условная вероятность наступления со- бытия B при условии, что событие A произошло; AB P – вероятность совместного наступления со- бытий A и B ; ) (A P – вероятность наступления события A 425 На основе ) ( / A P AB P A B P для непрерывной слу- чайной величины X, характеризующей убытки и дохо- ды портфеля, можно записать: VaR VaR dx x xf dx x f VaR X X E ) ( ) ( 1 / , где: VaR – значение VaR для уровня доверительной вероятности (прим. – суть то же значение ); ) (x f – функция плотности распределения случай- ной величины X. Для уровня доверительной вероятности интеграл в знаменателе формулы будет равен: VaR dx x f 1 ) ( , так как это оставшаяся часть площади под графи- ком плотности распределения для значений величины X за рамками доверительного интервала равного (см. рис. 28). С учетом VaR dx x f 1 ) ( формула VaR VaR dx x xf dx x f VaR X X E ) ( ) ( 1 / принимает вид: 426 Рис. 28. Средние ожидаемые потери Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение со средним значением равным нулю и стандартным отклонением . Тогда ее плотность веро- ятности принимает вид: 2 2 2 2 1 ) ( x e x f Подставим 2 2 2 2 1 ) ( x e x f в VaR dx x xf VaR X X E ) ( 1 1 / Получим VaR x dx xe VaR X X F 2 2 2 1 1 1 / Найдем интеграл в правой части выражения: 427 VaR VaR VaR x VaR VaR x x e e e x d e x d e dx xe 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Подставив найденное значение интеграла в преды- дущую формулу, получим величину средних ожидаемых потерь: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 VaR VaR e e VaR X X E 12.4.3. Величина EAR Противоположным понятием относительно VaR является заработок на риске EaR (Earnings at Risk). Ве- личина EaR показывает, какую максимальную сумму дохода может принести портфель инвестора в течение определенного периода времени с заданной довери- тельной вероятностью. Если доходность портфеля имеет нормальное распределение, и ее среднее значе- ние равно нулю, то показатель EaR будет равен пока- зателю VaR по абсолютной величине. Стоимость портфеля инвестора составляет 100 млн. руб. Величина EaR для одного дня с доверительной вероятностью 95% равна 2 млн. руб. Данную инфор- мацию можно интерпретировать следующим образом: а) вероятность того, что в течение следующих 24 часов доход инвестора составит меньше 2 млн. руб., равна 95%, или б) вероятность того, что в течение следующих 24 часов его доход превысит 2 млн. руб., равна 5%, или 428 в) инвестор вправе ожидать, что в среднем его до- ход в течение 95 дней из каждых 100 дней не превысит 2 млн. руб., или что он окажется больше 2 млн. руб. в течение 5 дней из каждых 100 дней. При выборе портфеля можно руководствоваться показателем, определяемым как отношение EaR к VaR. Чем больше значение этого коэффициента для данного уровня доверительной вероятности, тем пред- почтительнее портфель, поскольку он предлагает боль- шие возможные выигрыши в сравнении с потерями. |