А. И. Уколов Управление рисками страховой организации
 Скачать 2.83 Mb.
|
|
12.6.1. Метод Монте-Карло для одного фактора риска Траектория цен – это последовательность цен, смо- делированных псевдослучайным образом, начиная от текущей цены и заканчивая ценой на некотором ко- 439 нечном шаге, например, на тысячном или десятиты- сячном. Чем больше число шагов, тем выше точность метода. Каждая траектория представляет собой сценарий, по которому определяется цена на последнем шаге, ис- ходя из текущей цены. Затем осуществляется полная переоценка портфеля по цене последнего шага и про- изводится расчет изменения его стоимости для каждого сценария. Оценка VaR происходит по распределению изменений стоимости портфеля. Моделирование траектории цен производится по различным моделям. Например, распространенная мо- дель геометрического броуновского движения дает в итоге следующие выражения для моделирования цен S на каждом шаге процесса, состоящего из очень большого количества шагов, охватывающих временной период T : t t t dz dt S dS , где dS – винеровский случайный процесс. Если траектория цен состоит из n равных шагов (например, n дней), то один шаг n t / 1 , а случайная величина ε подчиняется стандартному нормальному распределению 1 , 0 . Существуют и иные моде- ли эволюции цен, например, экспоненциальная и др. Генерация случайных чисел в методе Монте-Карло состоит из двух шагов. Сначала можно воспользоваться генератором случайных чисел, равномерно распреде- ленных на интервале между 0 и 1. Затем, используя как аргументы, полученные случайные числа, вычисляют значения функций моделируемых случайных распре- делений. Однако следует помнить, что генераторы случай- ных чисел работают на детерминированных алгорит- мах и воспроизводят так называемые «псевдослучайные 440 числа». Поскольку с некоторого момента последова- тельности этих псевдослучайных чисел начинают по- вторяться, они перестают быть независимыми. В про- стейших генераторах это происходит уже через несколько тысяч генераций, а в более сложных – через миллиарды операций. Если массив случайных чисел начинает повторяться слишком быстро, метод Монте- Карло перестает моделировать случайные независимые сценарии, и оценка VaR начинает отражать ограни- ченность генератора, а не свойства портфеля. Опти- мальное количество шагов в процессе зависит от объе- ма выборки, состава портфеля и сложности составляющих его инструментов и др. Метод Монте-Карло является наиболее технически сложным из всех описанных выше методов расчета VaR. Кроме того, для выполнения расчетов в полном объеме необходимы значительные вычислительные мощности и временные ресурсы. Современным ком- пьютерам, несмотря на их высокое быстродействие, все еще очень далеко до обработки информации в режиме реального времени, как этого требуют трейдеры, если риск-менеджеры хотят устанавливать VaR-лимиты на величину открытых позиций. Существует вариант метода Монте-Карло, согласно которому можно не задавать какое-либо конкретное распределение для моделирования цен, а использовать непосредственно исторические данные. Подобно методу ис- торического моделирования, на основе ретроспективы моделируются гипотетические цены, но их последова- тельность не является единственной и не ограничена глубиной периода ретроспективы, поскольку выборка производится с возвращением, то есть возмущение из ис- торических данных выбирается случайным образом, и каждый раз в выборе участвуют все данные. Эта «за- грузка» [bootstrap] историческими данными позволяет 441 учесть эффект «толстых хвостов» и скачки цен, не строя предположений о виде распределения. Это – не- сомненные достоинства метода, который, в отличие от метода исторического моделирования, позволяет рас- смотреть не какую-либо одну траекторию цен (сцена- рий), а сколь угодно много, что, как правило, повышает точность оценок. Недостатками «загрузки» является низкая точность при малых объемах выборки и ис- пользование предположения о независимости доход- ностей во времени. 12.6.2. Метод Монте-Карло для портфеля активов Рассмотрим существо метода Монте-Карло для портфеля из двух бумаг. Для портфеля, включающего большее количество активов, подход останется анало- гичным. Распределение стоимости портфеля зависит от сте- пени коррелированности доходностей входящих в него активов. Наиболее просто получить распределение стоимости портфеля, когда доходности акций изменя- ются независимо друг от друга или когда между ними наблюдается корреляция +1. Изменение стоимости акций в портфеле можно представить равенствами: t S t S S 1 , 1 0 , 1 1 0 , 1 1 1 , 1 t S t S S 1 , 2 0 , 2 2 0 , 2 2 1 , 2 , где: 2 , 1 1 , 1 ; S S – изменения курса первой и второй ак- ций в первом периоде; 0 , 2 0 , 1 ; S S – цены первой и второй акций в началь- ный момент времени; 2 1 , – ожидаемые доходности первой и второй акций; 442 2 1 , – стандартные отклонения доходностей пер- вой и второй акций; 1 , 2 1 , 1 ; – реализации стандартной нормально рас- пределенной случайной величины в первом периоде. Расчеты применительно к портфелю ценных бумаг удобно осуществлять в матричной форме. Поэтому выражения 1 , 1 S и 1 , 2 S представим в матричной фор- ме как: t t S S t S t S S S 1 , 2 1 , 1 0 , 2 2 0 , 1 1 0 , 2 2 0 , 1 1 1 , 2 1 , 1 0 0 Для простоты возьмем в выражении единичный пе- риод времени. Тогда оно примет вид: 1 , 2 1 , 1 0 , 2 2 0 , 1 1 0 , 2 2 0 , 1 1 1 , 2 1 , 1 0 0 S S t S t S S S S – это изменение стоимости акции. Его можно записать, как 1 t t S S S , где: t S – курс акции в момент t , 1 t S – курс акции в момент 1 t Учитывая сказанное, цены акций в предыдущем вы- ражении можно представить как: 1 , 2 1 , 1 0 , 2 2 0 , 1 1 0 , 2 2 0 , 2 0 , 1 1 0 , 1 1 , 2 1 , 1 0 0 S S t S S t S S S S , где 1 , 2 1 , 1 ; S S – цены акций в конце первого периода ис- пытания. Стоимость портфеля в конце первого периода можно узнать, умножив предыдущее выражение на век- тор количества акций в портфеле: 1 , 2 1 , 1 0 , 2 2 0 , 1 1 0 , 2 2 0 , 2 0 , 1 1 0 , 1 2 1 1 , 2 1 , 1 2 1 0 0 2 1 S S n n t S S t S S n n S S n n P p 443 где P P – стоимость портфеля; 2 1 , n n – количество единиц первой и второй акций в портфеле. Представленная формула позволяет определить стоимость портфеля, когда корреляция доходностей бумаг равна нулю. Если корреляция доходностей активов в портфеле равна +1 или -1, то представленное выражение прини- мает вид: 1 , 2 1 , 1 0 , 2 2 0 , 1 1 2 1 0 , 2 2 0 , 2 0 , 1 1 0 , 1 2 1 1 , 2 1 , 1 2 1 0 0 S S n n t S S t S S n n S S n n P P Обычно корреляция доходностей акций в портфеле отлична от ±1. Этот факт необходимо учесть при оп- ределении его стоимости. Результаты испытаний зада- ются значениями вектора 1 , 2 1 , 1 , обозначим его через s. Они должны отражать структуру корреляций доходно- стей активов. Требуемое условие можно смоделиро- вать, воспользовавшись разложением Холецкого. Это разложение представляет собой симметрическую мат- рицу как произведение нижней и верхней треугольных матриц. Поэтому корреляционная матрица портфеля (Q) представима как: T AA Q , где A – нижняя треугольная матрица. Запишем выражение T AA Q для портфеля из двух бумаг: 22 21 11 22 21 1 1 0 0 1 1 a a a a a a , где – корреляция доходностей активов. Произведение матриц T AA дает результат: 444 2 22 2 21 11 21 21 11 2 11 22 21 11 22 21 11 0 0 a a a a a a a a a a a a a Приравняем элементы корреляционной матрицы и матрицы произведений T AA : 2 22 2 21 11 21 21 11 2 11 1 1 a a a a a a a Отсюда: 1 ; ; 1 2 22 2 21 21 11 2 11 a a a a a и 2 22 21 11 1 ; ; 1 a a a Зададим значения вектора как: A , где – вектор независимых стандартных случайных переменных. Тогда: 2 1 2 1 , 2 1 , 1 1 0 1 и 2 2 1 1 , 2 1 1 , 1 1 Найденные значения 1 , 1 и 1 , 2 подставляем в вы- ражение 1 , 2 1 , 1 0 , 2 2 0 , 1 1 0 , 2 2 0 , 2 0 , 1 1 0 , 1 2 1 1 , 2 1 , 1 2 1 0 0 2 1 S S n n t S S t S S n n S S n n P p и получаем стоимость портфеля с учетом структуры его корреляционной матрицы. Для того чтобы можно было использовать разложе- ние Холецкого, при расчетах необходимо правильно выбрать количество множителей, чтобы получилась положительно определенная матрица A . Точность оценки VaR зависит от количества проведенных ис- 445 пытаний. Возможная ошибка обратно пропорцио- нальна корню квадратному из их количества. В заключение данного параграфа остановимся еще раз на использовании формулы t S t S S , где: S – цена спот акции; – непрерывно начисляемая ожидаемая доход- ность; – мгновенное стандартное отклонение; – стандартная нормально распределенная вели- чина; t – период времени, за который рассматривается изменение стоимости акции. для моделирования курсовой стоимости акции. Формула включает элемент t S . Он определяет тренд или скорость тенденции движения цены акции. За ко- роткий период времени тренд фактически не опреде- лим, и изменение цены акции задается в основном стандартным отклонением. Поэтому, если курс акции моделируется для небольшого периода времени, то данное слагаемое можно опустить. Тогда представлен- ная формула примет вид: t S S Таким образом, для моделирования курса акции для малых периодов времени можно воспользоваться вме- сто формулы t S t S S выражением t S S . Разница в результатах тем меньше, чем меньше период времени берется для каждого испыта- ния. При моделировании стоимости акций в портфеле с учетом их корреляций в формуле t S S зна- чения необходимо учитывать в соответствии с выра- жением 2 2 1 1 , 2 1 1 , 1 1 446 Достоинства метода Монте-Карло: Высокая точность расчетов; Высокая точность применительно к инструментам с нелинейными ценовыми характеристиками; Возможность моделирования любых исторических и гипотетических распределений, учет эффекта «тол- стых хвостов» и скачков цен (вега-риска). Недостатки метода Монте-Карло: Высокая сложность моделей и соответственно вы- сокий риск неадекватности моделей; Высокие требования к вычислительной мощности и значительные затраты времени на проведение расчетов. В табл. 10 представлена сравнительная характери- стика описанных выше методов оценки VaR. Таблица 10 Сравнительная характеристика методов оценки VaR Метод Критерии Пара- метриче- ский Дельта- гамма Исто- риче- ское модели- рование Монте- Карло 1. Оценива- ние Локаль- ное Локальное Полное Полное 2. Примени- мость к нелиней- ным инст- рументам Нет Да Да Да 3. Учет исто- рического распреде- ления Как оцен- ка нор- мального распреде- ления Как оценка нормаль- ного рас- пределе- ния Точно то, что было Полно- стью 4. Учет Возмож- Возможно Нет Да 447 «предпола- гаемой» волатиль- ности но 5. Допущение о нормаль- ном рас- пределении доходно- стей Да Да Нет Нет 6. Оценка экстре- мальных событий Плохая Плохая Плохая Возможно 7. Модельный риск Может быть зна- читель- ным Может быть зна- чительным Прием- лемый Высокий 8. Объем тре- буемой ис- тории дан- ных Средний Средний Очень большой Малый 9. Вычисли- тельная сложность Невысо- кая Средняя Высокая Очень высокая 10. Нагляд- ность Средняя Малая Большая Малая 11. Возмож- ность оп- тимизации VAR Да Нет Нет Нет 12.7. ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕДЕЛЬНОГО VAR , VAR ПРИРАЩЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ VAR Предельный VaR (marginal VaR) показывает, на ка- кую величину изменится риск портфеля при малых изменениях размера позиции по данному активу или фактору риска. 448 Пусть x i – сумма денежных средств, вложенных в i-й вид актива, тогда предельный VaR определяется как: Marginal i i x П VaR VaR Таким образом, предельный VaR – это показатель, характеризующий чувствительность VaR VaR портфеля к изменению его структуры и яв- ляющийся просто частной производной VaR портфе- ля по размеру позиции. Предельный VaR используется в случае, когда пол- ная ликвидация данной позиции или нескольких пози- ций нецелесообразна, а управление совокупным рис- ком портфеля осуществляется посредством балансирования позиций, то есть частичной покупки или продажи актива. Зная величину предельного VaR для каждого акти- ва, входящего в портфель, размер позиции по i-ому ак- тиву в портфеле i x и его процентное изменение i , можно найти приращение VaR портфеля: i i i i П VaR x П VaR Например, имея в портфеле актив A стоимостью 1000 долл. США с предельным VaR (A) = 100 долл., мы хотим дополнительно вложить 10 долл. в актив A, тогда VaR портфеля изменится следующим образом: П VaR =(1010/1000 ‒ 1)×100 = 1 долл. Важной характеристикой величины предельного VaR (и его отличием от VaR приращения) является свойство аддитивности: i i x П VaR ) ( Marginal VaR i где П VaR – VaR портфеля 449 Таким образом, суммируя значения предельных VaR, умноженных на величины позиций по всем инст- рументам, можно получить VaR портфеля. На практи- ке значение предельного VaR удобно использовать, например, при установлении лимитов, когда важно, чтобы сумма частных рисков была равна риску целого. В частности, с помощью данного показателя можно провести декомпозицию VaR портфеля по входящим в него инструментам (позициям) или факторам риска. Воспользовавшись предыдущей формулой, получим следующее выражение для оценки вклада позиции в общий риск портфеля: Для портфеля % 100 ) ( ) ( 1 % 100 ) ( i i i x П VaR x П VaR M arg inalVaR П VaR x VaR Приведенное разложение риска портфеля по позици- ям следует интерпретировать в предельном смысле, то есть оно показывает процентные вклады инструментов в изменение VaR портфеля в результате изменения размера всех позиций на одну и ту же (малую) относи- тельную величину. Показатель VaR приращения (incremental VaR – IVaR ) данной позиции в портфеле отражает величину риска, добавляемого данной позицией к совокупному риску порт- феля. Показатель VaR приращения, как и предельный VaR, отражает влияние изменения структуры портфеля на величину его риска. Однако от риска портфеля он отличается тем, что изменение размера позиции может быть большим, и тогда VaR портфеля будет изменять- ся нелинейно. При помощи данного показателя можно опреде- лить, как изменится VaR портфеля при (значительном) изменении размера или ликвидации какой-либо пози- ции. 450 В общем случае VaR приращения определяется как разность между VaR первоначального портфеля и VaR портфеля без данной позиции: n П VaR П VaR IVaR где: VaR П VaR первоначального портфеля (со все- ми позициями); n П VaR − VaR портфеля без данной позиции. Показатель VaR приращения учитывает корреляци- онные связи данной позиции с остальными позициями в портфеле. Например, для параметрического метода приращения позиции можно рассчитать, как 1 1 2 1 2 2 2 2 n VaR n П VaR n VaR n П VaR n VaR n П VaR n П VaR П VaR где ρ ‒ корреляция позиции n со всей остальной ча- стью портфеля n П , ) ( ) ( n П VaR n VaR Важно отметить, что если VaR позиции мал по сравнению с VaR портфеля, то VaR приращения будет приблизительно равен VaR позиции, умноженной на коэффициент корреляции ρ: ) ( ) ( n VaR n IVaR при значении 0 Рассмотрим три предельных случая: Если 1 , то позиция ведет себя так же, как и ос- тальной портфель, при этом вклад позиции в общий риск портфеля в точности равен VaR данной позиции; Если 1 , то позиция уменьшает риск портфеля на величину VaR позиции; При ρ = 0, то вклад позиции в риск портфеля по- ложителен и равен / 1 1 ) ( 2 n VaR 451 Значение относительного VaR (relative VaR) позво- ляет оценить как портфели и их управляющих, пока- завших наименьшее отклонение доходности относи- тельно эталонной нормы доходности (benchmark) с учетом риска, так и те, у которых существует наиболее высокая вероятность недобрать или перевыполнить эталонную норму доходности. Относительный показа- тель VaR определяется путем расчета VaR по порт- фелю, в который добавили короткую позицию по ин- струменту, дающему эталонную доходность. |