А. И. Уколов Управление рисками страховой организации

• Название: А. И. Уколов Управление рисками страховой организации
• Анкор: Ukolov_Upravlenie_riskami_strah_organizacii.pdf
• Дата: 06.04.2018
• Размер: 2.83 Mb.
• Имя файла: Ukolov_Upravlenie_riskami_strah_organizacii.pdf
• Тип: Учебное пособие; #17675
• страница: 36 из 38

12.4.4. Оценка значения VAR опционов
с помощью дельты и гаммы
VaR опционных позиций можно оценить как на основе аналитических методов, так и с помощью мето- да Монте-Карло. Результаты по опционной позиции характеризуются нелинейной структурой. Поэтому в большей степени для их оценки подходит метод стати- стических испытаний. В случае аналитического подхо- да опционную позицию следует разложить на ряд составляющих в соответствии с факторами риска оп- циона. Зависимость между премией опциона и факторами риска предполагается линейной. На прак- тике она не линейна. Поэтому оценка VaR аналитиче- ским способом дает приемлемый результат только для изменения факторов риска в небольшом диапазоне.
Рассмотрим линейное приближение оценки VaR опциона.
Основополагающим фактором риска опциона вы- ступает цена базисного актива. Зависимость между премией опциона и ценой базисного актива представ- лена дельтой опциона. Поэтому зависимость между це- ной опциона в начальный и конечный моменты време- ни можно представить как:
)
(
0 1
0 1
S
S
V
V




,

429 где:
0
V – стоимость опциона в начале периода;
1
V – стоимость опциона в конце периода;

– дельта опциона;
0
S – цена базисного актива в начале периода;
1
S – цена базисного актива в конце периода.
На основе формулы
)
(
0 1
0 1
S
S
V
V




можно за- писать равенство:
dS
dV


, где:
0 1
V
V
dV


– изменение стоимости опциона;
0 1
S
S
dS


– изменение стоимости базисного ак- тива.
Изменение цены базисного актива можно предста- вить как произведение стандартного отклонения его доходности на цену, т.е.:
S
dS


Тогда равенство
dS
dV


запишется как:
S
dV



VaR базисного актива определяется стандартным отклонением его доходности. Поэтому для линейной зависимости при использовании допущения о нор- мальности распределения доходности базисного актива из равенства
S
dV



следует, что:
a
o
VaR
VaR


, где:
VaR
VaR
о

опциона;
a
VaR – VaR базисного актива.
Недостаток равенства
)
(
0 1
0 1
S
S
V
V




состоит в том, что цена опциона в начале и конце периода связа- на линейной зависимостью. На практике она не ли- нейна. Ошибка оценки тем больше, чем больше изме- нение цены базисного актива в модели. Кроме того, позиции покупателя и продавца опциона не симмет-

430 ричны. Уравнение не учитывает ограниченный риск покупателя и неограниченный риск продавца опциона.
Дельта-оценка переоценивает риск покупателя опцио- на и недооценивает риск продавца опциона. Поясним это на примере опциона колл. При падении цены ба- зисного актива дельта опциона уменьшается с ускоре- нием. Это означает, что покупатель опциона теряет деньги с замедляющимся темпом. Однако уравнение
)
(
0 1
0 1
S
S
V
V




не учитывает уменьшение значения дельты. При росте цены базисного актива дельта оп- циона возрастает с ускорением. Поэтому продавец оп- циона теряет средства в возрастающем темпе. Выраже- ние
)
(
0 1
0 1
S
S
V
V




в силу его линейности также игнорирует данный факт.
Поскольку дельта изменяется с изменением курса базисного актива, то лучшее приближение изменения стоимости опционной позиции можно получить на основе дельта-гамма оценки, дополнив равенство
)
(
0 1
0 1
S
S
V
V




гаммой опциона:
2 0
1
)
(
2 1
dS
dS
V
V





, где  – гамма опциона
В то же время следует иметь в виду, что использо- вание гаммы может в ряде случаев ухудшить оценку
VaR.
Запишем равенство
2 0
1
)
(
2 1
dS
dS
V
V





как:
2
)
(
2 1
dS
dS
dV




Умножим и разделим первое слагаемое в правой части равенства
2
)
(
2 1
dS
dS
dV




на S, а второе слагаемое – на S²:

431
В результате получаем
2 2
2 1









S
dS
S
S
dS
S
dV

Величина
S
dS
представляет доходность базисного актива. Из формулы следует: изменение цены опциона определяется двумя переменными – доходностью ба- зисного актива
S
dS
и квадратом его доходности
2






S
dS
Первая случайная величина распределена нормаль- но, вторая – по закону хи-квадрат, т.е. предпосылка о нормальности распределения, используемая в аналити- ческой модели, нарушается.
Если значение гамма опциона имеет большое зна- чение – (опцион ATM (At – The – Money)) – опцион без выигрыша, цена исполнения которого равна цене базо- вого инструмента или близка к ней) или до истечения опциона осталось мало времени, – это может исказить оценку за счет значительного влияния распределения хи-квадрат. При изменении цены базисного актива гамма также меняется, поэтому дельта-гамма оценка при существенных движениях его курса также будет содер- жать ошибку.
В заключение подытожим сказанное. Если в порт- феле содержатся опционы, то применение к нему па- раметрического подхода для расчета VaR сталкивается со следующими проблемами: дельта портфеля может изменяться очень быстро
(высокая гамма); дельта портфеля может быть различной для роста и падения цены базисного актива; возможна ситуация, когда предельные потери по инструменту нельзя оценить, исходя из предельных отклонений цены базисного актива в обе стороны, то

432 есть функция изменения стоимости является немоно- тонной. В этом случае следует проверять поведение стоимости портфеля во всех промежуточных состояниях
базисного актива.
Один из главных недостатков параметрического подхода заключается в том, что он не учитывает какие- либо иные виды риска, кроме риска дельты. Несмотря на то, что в рамках данного подхода в расчет могут быть также включены и показатели, отражающие гамма и вега-риск, которые являются членами ряда Тейлора, аппроксимирующего приращение функции стоимости инструмента V, объем вычислений возрастает геомет- рически с ростом числа факторов риска. Так, при ис- пользовании только дельта-гамма-приближения уже при 100 факторах риска требуется рассчитать 100 оце- нок дельты, 5050 значений элементов ковариационной матрицы и дополнительно 5050 элементов матрицы коэффициентов гамма, включающей вторые частные производные по каждой позиции портфеля по каждо- му фактору риска.
Важно также иметь в виду, что в случае, когда доля опционов в составе портфеля существенна, изменчи- вость функции стоимости портфеля за период не про- порциональна квадратному корню из отношения вре- менных горизонтов, и ее следует определять непосредственно для интересующего временного гори- зонта расчета VaR путем полного оценивания.
Для больших диверсифицированных портфелей, в которых опционы не доминируют, параметрический метод представляет собой более быстрый и эффектив- ный способ расчета VaR. Для портфелей, чувствитель- ных к относительно небольшому количеству источни- ков риска с некоторой (существенной) долей опционов, параметрический метод обеспечивает более высокую точность при сравнительно невысоких требо-

433 ваниях к вычислительной мощности. Для портфелей со значительной долей опционов необходим подход на основе полного оценивания, который предусматри- вает полную переоценку портфеля при различных значениях базисного актива и иных факторов риска.
12.5. МЕТОД ИСТОРИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ (ИЛИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
ПО ИСТОРИЧЕСКИМ ДАННЫМ)
Метод исторического моделирования (historical
simulation) относится к группе методов полного оце-
нивания и является непараметрическим. Он осно- ван на предположении о стационарности поведения рыночных цен в ближайшем будущем.
Историческое моделирование основано на исполь- зовании статистических данных об изменении цен или доходностей активов, входящих в портфель, за преды- дущие временные периоды. В рамках данного метода выбирают некоторый отрезок времени в прошлом и определяют для него фактические изменения цен или доходностей активов. С помощью полученных цифр моделируют прибыли и убытки существующего порт- феля. После этого располагают цифры в порядке возрастания или строят гистограмму и определяют квантиль, соответствующий требуемому уровню дове- рительной вероятности. Значение VaR портфеля со- ответствует значению дохода для найденного квантиля.
Суть данного метода заключается в следующем.
Сначала выбирается период времени глубины T (на- пример, 200 торговых дней), за которые отслеживаются исторические изменения (например, дневные) цен P всех N входящих в портфель активов
1
,
,
,




t
i
t
i
t
i
P
P
P
,
T
t
N
i
,...,
2
,
1
;
,...,
2
,
1



434
Для каждого из этих T сценариев изменений моде-
лируется гипотетическая цена P* каждого актива в будущем как его текущая цена P
0
плюс прирост цены, соответст- вующий данному сценарию:
T
t
N
i
P
P
P
t
i
i
t
i
,...,
2
,
1
;
,...,
2
,
1
,
,
0
,
,






Затем производится полная переоценка всего текущего
портфеля по ценам, смоделированным на основе исторических
сценариев, и для каждого сценария вычисляется, насколь- ко изменилась бы стоимость сегодняшнего портфеля:
T
t
V
V
V
t
t
,...,
2
,
1
,
0





После этого полученные значения T изменений портфеля ранжируются по убыванию (от самого большого прироста до самого большого убытка), кото- рые можно пронумеровать от 1 до T. В соответствии с желаемым уровнем доверительной вероятности (1‒α) величина VaR определяется как такой максимальный убыток, который не превышается в (1‒α)T случаях, то есть VaR равен абсолютной величине изменения с но- мером, равным целой части числа (1‒α)T.
Данный метод относительно легко реализуем, если в распоряжении риск-менеджеров имеется ежедневно обновляемая база данных по всем факторам риска, ко- торым подвержены инструменты портфеля. Как из- вестно, чем больше глубина ретроспективы, используемой для моделирования цен, тем выше точность оценок
VaR, но одновременно и сильнее опасность использования
устаревших данных, «заглушающих» новые тенденции рынка.
В методе исторического моделирования измерение значений факторов риска осуществляется в интервалах, соответствующих выбранному горизонту расчета VaR.
Например, для расчета месячного VaR следует постро- ить распределение смоделированных месячных изме-

435 нений стоимости портфеля за несколько предшест- вующих лет.
Этот метод позволяет оценивать стоимость финан- сового риска за рамками нормального распределения вероятностей рассматриваемых факторов риска, но предполагает наличие обширной статистической базы данных по каждому из этих факторов. Он основан на предположении о стационарности колебаний конъ- юнктуры финансового рынка и генерируемых ими факторов риска, то есть исходит из того, что на протя- жении рассматриваемого периода поддержания пози- ции колебаниям конъюнктуры рынка будут присущи те же закономерности, что и в прошлом (историческом) периоде. Соответственно, в данном случае выдвигается только одна гипотеза о виде распределения вероятно- стей фактора риска (или их совокупности). По сравне- нию с аналитическим методом, этот метод позволяет оценивать не только стандартные, но и весьма неорди- нарные колебания конъюнктуры финансового рынка, то есть полнее отражать реальные факторы риска.
Историческое моделирование имеет ряд преиму- ществ и недостатков по сравнению с аналитическим методом. Оно основано на фактическом историческом распределении доходностей (цен) активов. Поэтому для его реализации не требуется использовать модели динамики курсовой стоимости активов портфеля, де- лать допущения относительно вида распределения его доходности и соответственно расчета его параметров.
Историческое моделирование основано на «фактиче- ских» корреляциях, существовавших между активами, в то время как другие методы учитывают тенденции дви- жения активов в среднем на основе рассчитанных зна- чений корреляций.
Распределение прибылей-убытков оцениваемого портфеля строится на основе фактических данных.

436
Поэтому выбранный период наблюдения может ока- заться не совсем представительным, что приведет к ис- кажению оценки VaR. Метод исторического модели- рования также может недооценить риск портфеля, поскольку придает всем значениям цен активов, кото- рые не наблюдались в базовом периоде, нулевую веро- ятность. Выбирая период для оценки значения VaR, менеджер фактически признает возможность сущест- вования только тех рисков, которые имели место в рам- ках данного периода в прошлом и обусловили динами- ку курсовой стоимости активов. Такой подход может оказаться не всегда верным. Что касается выбора пе- риода наблюдений и его продолжительности, то этот вопрос остается на усмотрение менеджера.
Достоинства метода исторического моделиро-
вания:
Метод основан на фактическом историческом рас- пределении доходностей (цен) активов, поэтому для его реализации не требуется использовать модели динамики курсовой стоимости активов портфеля, делать допуще- ния относительно вида распределения его доходности и соответственно расчета его параметров;
Историческое моделирование основано на «факти- ческих» корреляциях, существовавших между активами, в то время как другие методы учитывают тенденции движения активов в среднем на основе рассчитанных значений корреляций.
Недостатки метода исторического моделирова-
ния:
Распределение прибылей-убытков оцениваемого портфеля строится на основе фактических данных.
Поэтому выбранный период наблюдения может ока-

437 заться не совсем представительным, что приведет к ис- кажению оценки VaR;
Метод исторического моделирования также может недооценить риск портфеля, поскольку придает всем значениям цен активов, которые не наблюдались в ба- зовом периоде, нулевую вероятность.
12.6. МЕТОД ИМИТАЦИОННОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ (МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО)
Метод Монте-Карло или метод стохастического
моделирования (
Monte Carlo simulation
) основан на моделировании случайных процессов с заданными ха- рактеристиками, относится к группе методов полного
оценивания и является непараметрическим. Метод
Монте-Карло (или метод статистических испытаний) можно определить как метод моделирования случай- ной величины с целью вычисления характеристик их распределений. Суть состоит в том, что результат ис- пытаний зависит от некоторой случайной величины, распределенной по заданному закону. Поэтому резуль- тат каждого отдельного испытания носит случайный характер. Проведя серию испытаний, получают выбор- ку. Полученные статистические данные обрабатывают- ся и представляются в виде численных оценок, интере- сующих исследователя величин
(характеристик системы).
Испытание повторяется N раз, причем каждый опыт не зависит от остальных, и результаты всех опы- тов усредняются. Это значит, что число испытаний должно быть достаточно велико, поэтому метод суще- ственно опирается на возможности компьютера. Тео- ретической основой метода Монте-Карло являются предельные теоремы теории вероятностей. Они гаран- тируют высокое качество статистических оценок при весьма большом количестве испытаний. Метод стати-

438 стических испытаний применим для исследования как стохастических, так и детерминированных систем.
В отличие от метода исторического моделирова- ния, в методе Монте-Карло изменения цен активов ге- нерируются псевдослучайным образом в соответствии с заданными параметрами распределения, например, математическим ожиданием и волатильностью. Ими- тируемое распределение может быть, в принципе, лю- бым, а количество сценариев – весьма большим (до не- скольких десятков тысяч). В остальном метод аналогичен методу исторического моделирования.
В основе этого метода лежит многократная (дохо- дящая при достаточности компьютерных ресурсов до десятков тысяч вариантов) имитация условий генери- рования факторов риска и их отражении на изменении стоимости отдельных финансовых инструментов или их совокупного портфеля. Такая имитация носит слу- чайный характер, но в пределах заданных параметров.
Такое искусственное моделирование факторов риска позволяет избирать любой вид распределения их веро- ятностей и позволяет достичь наибольшей тонкости расчетов стоимости под риском VaR. Кроме того, в от- личие от метода исторического моделирования этот метод не связан с выбором конкретной ретроспективы.
Среди других методов оценки стоимости под рис- ком VaR, используемых в последние годы в практике финансового риск-менеджмента, следует выделить так- же метод анализа сценариев, метод дерева вероятностей и другие.