А. И. Уколов Управление рисками страховой организации
 Скачать 2.83 Mb.
|
|
Пример 1 , 0 ; 7 , 0 ; 2 , 0 g . Оценка долгосрочного стан- дартного отклонения доходности акции равна 1,6%, стандарт- ного отклонения для сегодняшнего дня – 1,2%, доходность бума- ги составила сегодня 1,5%. Определить оценку дисперсии и стандартного отклонения доходности акции для завтрашнего дня. Решение Определяем параметр w : 256 , 0 6 , 1 1 , 0 2 w Запишем уравнение модели: 2 1 2 1 2 7 , 0 2 , 0 256 , 0 n n n r Учитывая, что % 2 , 1 %; 5 , 1 1 1 n n r , получаем оценку дисперсии для завтрашнего дня: 714 , 1 2 , 1 7 , 0 5 , 1 2 , 0 256 , 0 2 2 2 n Оценка стандартного отклонения равна % 3 , 1 714 , 1 Таким образом, прогноз волатильности для сле- дующего дня составляет 1,3%. На основе параметра w модели из соотношения gv w можно определить значение долгосрочной дисперсии. Так как 1 g , то 1 g . То- гда долгосрочная дисперсия равна: 363 1 w v Запишем уравнение оценки дисперсии для 1 n дня: 2 2 2 2 2 1 n n n r w Подставим его в уравнение 2 1 2 1 2 n n n r w : 2 2 2 2 2 1 2 n n n n r w r w или 2 2 2 2 2 2 1 2 n n n n r r w w Аналогично подставим в последнее уравнение оценку дисперсии для 2 n дня: 2 3 3 2 3 2 2 2 2 1 2 2 3 2 3 2 2 2 2 1 2 1 n n n n n n n n n r r r w r w r r w w Из последнего выражения видно, что вес параметра i n r составляет 1 i , то есть веса убывают по экспонен- те со скоростью . Таким образом, параметр пока- зывает уровень влияния, которое оказывают значения r за определенный день на оценку дисперсии в моде- ли. Чтобы воспользоваться моделью 1 , 1 GARCH , ин- вестор должен оценить ее параметры. Это можно сде- лать с помощью метода наибольшего правдоподобия. 10.4.3. Экспоненциально взвешенная скользящая средняя (EWMA) Другой моделью, учитывающей нестабильный характер дисперсии, является модель экспоненциально взвешенной скользящей средней – EWMA. Формула модели имеет следующий вид: 2 1 2 1 2 1 n n n r , 364 где: 2 n – оценка дисперсии для го n дня, которая дается в конце дня 1 n ; 2 1 n – оценка дисперсии для го n 1 дня; 1 n r – доходность актива за 1 n день; – удельный вес. Банк Дж. П. Морган для определения текущей еже- дневной дисперсии принял значение равным 0,94. Пример Оценка стандартного отклонения для сегодняшнего дня рав- на 2%, доходность акции за день составила 3%. Оценить дис- персию и волатильность для завтрашнего дня. Решение Сегодняшний день – это день 1 n . Требуется оце- нить дисперсию завтрашнего дня, то есть дня n . При- нимая равной 0,94, получим оценку дисперсии: 3 , 4 3 94 , 0 1 2 94 , 0 2 2 2 n Оценка волатильности равна % 07 , 2 3 , 4 Как видно из формулы 2 1 2 1 2 1 n n n r , для оценки дисперсии доходности акции для следую- щего дня необходимо знать только два параметра: оценку дисперсии и доходность актива за текущий день. Остановимся подробнее на роли параметра в модели. Его можно рассматривать двояко. Во-первых, он определяет удельный вес, с которым последнее зна- чение доходности включается в модель. Конкретно удельный вес представляет собой величину 1 . По- этому, чем больше , тем в меньшей степени послед- няя доходность влияет на оценку дисперсии, и наобо- рот. Во-вторых, определяет скорость возвращения дисперсии к своему предыдущему уровню после резко- го изменения доходности. Чем меньше величина , 365 тем быстрее дисперсия вернется к предыдущему уров- ню после сильного изменения доходности. Формула определения 2 n предполагает, что мы можем предста- вить оценку дисперсии как экспоненциально взвешен- ную скользящую среднюю. Оценка дисперсии для го n 1 дня равна: 2 2 2 2 2 1 1 n n n r , где: 2 2 n σ – оценка дисперсии для n −2 −го дня, которая дается в конце дня n −3; 2 n r – доходность актива за 2 n день. Подставив формулу 2 2 2 2 2 1 1 n n n r в формулу опре- деления 2 n , получим: 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 n n n n n n n r r r r Подставим в последнюю формулу оценку диспер- сии для го n 2 дня: 2 2 2 1 2 3 2 3 2 2 1 1 n n n n n r r r или 2 3 2 2 2 2 1 2 3 3 2 1 n n n n n r r r Взяв p периодов наблюдения, получим: p i i n i p n p n r 1 2 1 2 2 1 Если взять большое количество наблюдений p , то первое слагаемое 2 p n p будет стремиться к нулю, и им можно пренебречь. Тогда формула p i i n i p n p n r 1 2 1 2 2 1 примет вид: 1 2 1 2 1 i i n i n r 366 В приведенной формуле удельный вес величины 2 r убывает со скоростью 1 1 i . Таким образом, по мере движения назад, к более ранним наблюдениям значений доходности, их веса быстро приближаются к нулю, хотя и не обращаются в ноль. Поэтому при зна- чении 94 , 0 оценку дисперсии, согласно последней формуле, можно сделать на основе 50 наблюдений. Использование такого временного интервала уже дает хороший результат, так как доходность за первый день наблюдений будет учтена в формуле с удельным весом: 0029 , 0 94 , 0 94 , 0 1 49 Даже если использовать только 30 наблюдений, по- грешность будет незначительная, поскольку удельный вес 30-го наблюдения составит порядка 0,01. Обозначив 1 1 p , где – требуемый уро- вень удельного веса для первого наблюдения. Тогда количество наблюдений для требуемого уровня точно- сти расчета можно определить по формуле: 1 ln 1 ln p Если сравнить модели 1 , 1 GARCH и EWMA, то можно заметить, что при значении 0 w GARCH пре- образуется в EWMA. Поскольку 1 , 1 GARCH включает долгосрочную дисперсию, это означает, что она учи- тывает эффект «mean reversion», в то время как EWMA нет. Как было отмечено выше, для пользования моде- лью GARCH необходимо оценить удельные веса вхо- дящих в нее слагаемых. Если в этом случае удельный вес долгосрочной дисперсии окажется отрицательным, то лучше использовать модель EWMA. 367 10.5. МОДЕЛЬ ДОХОДНОСТИ АКЦИИ Если доходность акции подчиняется нормальному распределению, то, согласно его свойству, она может принимать любые значения, как положительные, так и отрицательные. Однако, максимальные убытки инве- стора, купившего акцию, ограничиваются только 100% потерей его капитала, если курс бумаги упадет до нуля. Таким образом, максимальное отрицательное значение, которое может принимать доходность, равна минус 100%. Поэтому возникает первое расхождение между условием модели и реальностью. Остановимся на другом несоответствии. Допустим, доходность акции за 1, 2, 3 и 4 кварталы составила со- ответственно 5%, 10%, 8% и 7%. Доходности за эти периоды времени распределены нормально. Согласно свойству нормального распределения, в результате сложения нормально распределенных величин также должна получиться нормально распределенная вели- чина. Таким образом, сумма доходностей за четыре квартала, то есть доходность за год, равна 30% и рас- пределена нормально. На самом же деле доходность за год составит другую величину, а именно: 3347 , 0 1 07 , 0 1 08 , 0 1 1 , 0 1 05 , 0 1 или 33,47% Поэтому полученную в результате сложения цифру 30% сложно определить с экономической точки зре- ния. Если в качестве доходности за каждый отдельный период взять не простую, а непрерывно начисляемую доходность, то их сумма будет равна непрерывно на- числяемой доходности за суммарный отрезок времени. Непрерывно начисляемая доходность определяется как логарифм темпа роста доходности, то есть 368 n r 1 ln , где n r – процент, начисленный за n перио- дов. Она равна: 0 ln 1 ln t t n S S r n , где: 0 t S – цена акции в начальный момент времени; n t S – цена акции в конце го n периода (предпола- гается, что по акции не выплачиваются дивиденды, то есть доходность является только результатом измене- ния ее цены). Тогда можно записать: 1 1 2 0 1 0 ln ln n n n t t t t t t t t S S S S S S S S , где n t t t S S S ,..., , 2 1 – цена акции соответственно в конце n ,..., 2 , 1 периодов. Отсюда согласно правилу сложения логарифмов, получаем: 1 1 2 0 1 0 ln ln ln ln n n n t t t t t t t t S S S S S S S S , где 1 1 2 0 1 ln ,..., ln , ln n n t t t t t t S S S S S S – соответственно доходно- сти на основе непрерывно начисляемого процента для n ,..., 2 , 1 периодов. Таким образом, сумма непрерывно начисляемых процентов для каждого интервала времени дает значе- ние непрерывно начисляемой доходности за суммар- ный период. Отсюда следует: модель точнее отражает реальную действительность, если предположить, что нормально распределена не простая доходность акции за некоторый период, а ее непрерывно начисляемая доходность. Соответственно, согласно свойству нор- мального распределения, непрерывно начисляемые до- ходности за отдельные интервалы времени являются 369 одинаково распределенными и независимыми величи- нами. Если логарифм случайной величины распределен нормально, то сама случайная величина имеет логнор- мальное распределение. Переменная 1 ln t t S S распреде- лена нормально. Следовательно, переменная 1 t t S S рас- пределена логнормально. Логнормальное распределение характеризуется тем, что оно всегда положительно. Это означает: случайная величина, распределенная логнормально, может при- нимать только положительные значения Распределение вероятности случайной величины характеризует такое понятие, как асимметрия. Нор- мальное распределение симметрично относительно среднего значения случайной величины, поэтому его асимметрия равна нулю. Асимметрия положительна, если длинная часть кривой распределения расположена справа от его среднего значения, и отрицательна, если слева. Логнормальное распределение имеет правосто- роннюю асимметрию. Еще одной характеристикой распределения вероят- ности выступает эксцесс. Он говорит о степени заост- ренности графика плотности распределения относи- тельно нормального распределения. Для нормального распределения эксцесс равен нулю. Если он положите- лен, то данное распределение более заострено, чем нормальное. Это говорит о том, что значения такой случайной величины с большей вероятностью, чем при нормальном распределении, группируются вокруг своей средней и на концах распределения. 370 11. УПРАВЛЕНИЕ РИСКОМ ПОРТФЕЛЯ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ ИНВЕСТИРОВАНИЯ 11.1. ИММУНИЗАЦИЯ ПОРТФЕЛЯ ОБЛИГАЦИЙ Одним из приемов пассивного управления портфе- лем является его иммунизация. Главный риск в отно- шении облигаций состоит в возможности изменения процентной ставки и, соответственно, цены облигации. Если менеджер стремится застраховаться от изменения стоимости портфеля облигаций к определенному мо- менту времени, то он должен сформировать его таким образом, чтобы дюрация портфеля соответствовала требуемому периоду времени. Тогда в случае измене- ния процентной ставки потери (выигрыши) в стоимо- сти облигаций будут компенсироваться выигрышами (потерями) от реинвестирования купонов. Рассмотрим технику иммунизации вначале на примере портфеля, в который входит одна облигация. Пример 1 Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год, время до погашения четыре года. Процентная ставка одинакова для всех периодов времени и равна 10% годо- вых, т.е. кривая доходности параллельна оси абсцисс на графике кривой доходности. Предполагается, что в случае изменения процентных ставок в течение времени обращения облигации кривая доходности будет смещаться параллельно. Купоны, по- лучаемые по облигации, реинвестируются под текущий процент. ДюрацияМаколея облигации составляет 3,49 года. Это означает, что, если инвестор купит облигацию по текущей цене и продаст через 3,49 года, то он обеспе- чит по инвестициям в облигацию доходность 10% го- довых вне независимости от того, как будут изменяться 371 процентные ставки на рынке. Данный факт проиллю- стрирован расчетами, приведенными в табл. 9. В таблице приведены три варианта конъюнктуры на рынке. В третьей колонке представлена ситуация, когда процентная ставка оставалась неизменной в течение всех последующих четырех лет. От реинвестирования купонов под данную ставку до момента продажи обли- гации через 3,49 года и продажи облигации в это время инвестор в сумме получил 1394,63 руб. В четвертой ко- лонке показано, что за первый год обращения облига- ции процентная ставка выросла на 1 % и оставалась неизменной в течение следующих трех лет. Поэтому все расчеты сделаны на основе 11%. В сумме инвестор получил 1394,72 руб. В пятой колонке конъюнктура соответствует случаю, когда в течение первого года ставка упала на 1% и оставалась неизменной на протя- жении оставшегося времени. В итоге инвестор получил 1394,64 руб. Таблица 9 Реинвестирование купонов Го- ды Пла- теж по обли- гации, руб. 10% 11% 9% 1 100 78 , 126 1 , 1 100 49 , 2 67 , 129 11 , 1 100 49 , 2 93 , 123 09 , 1 100 49 , 2 2 100 26 , 115 1 , 1 100 49 , 1 82 , 116 11 , 1 100 49 , 1 70 , 113 09 , 1 100 49 , 1 3 100 78 , 104 1 , 1 100 49 , 0 25 , 105 11 , 1 100 49 , 0 31 , 104 09 , 1 100 49 , 0 3,49 1100 (при пога- ше- нии) 81 , 1047 1 , 1 1100 51 , 0 98 , 1042 11 1 1100 51 , 0 70 , 1052 09 , 1 1100 51 , 0 Сумма 1394,63 руб. 1394,72 руб. 1394,64 руб. Таким образом, на момент времени равный дюрации облигации инвестор обеспечивает себе сум- 372 му денег порядка 1395 руб. независимо от изменения процентных ставок на рынке в течение обращения об- лигации. Данная сумма денег соответствует доходности в 10% годовых, так как инвестор купил облигацию за 1000 руб. и получил через 3,49 года 1394,6 руб.: 1 , 0 1 1000 6 , 1394 49 , 3 или 10%. Почему в примере в конце периода, равного дюра- ции облигации, инвестор обеспечивает себе одинако- вую сумму денег независимо от изменения процентных ставок? Купонной облигации с погашением через че- тыре года можно поставить в соответствие во времени некоторую бескупонную облигацию. По бескупонной облигации инвестор гарантированно получает в мо- мент погашения ее номинал. Если найти такое времен- ное соответствие между облигациями, то по купонной облигации в этот момент инвестор также должен га- рантированно получить сумму, равную номиналу дан- ной бескупонной облигации. В нашем примере таким эквивалентом четырехлетней облигации с купоном 10% выступает бескупонная облигация с номиналом 1394,6 руб., которая погашается через 3,49 года. |