А. И. Уколов Управление рисками страховой организации
 Скачать 2.83 Mb.
|
|
Пример 4 Номинал облигации 1000 руб., цена 920,37 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 20 лет, доходность до погашения 11%. Определить дюрацию Ма- колея облигации. 326 Решение. Согласно вышеприведенной формуле, дюрация со- ставляет: года D 976 , 8 11 , 1 37 , 920 1000 20 11 , 1 11 , 0 11 , 1 11 , 0 20 11 , 1 37 , 920 100 20 20 2 21 Если купон выплачивается по облигации m раз в год, то дюрацию можно рассчитать по формуле: mn mn mn m r P nN m r r m r nr m r P C D / 1 / 1 / 1 / 1 2 1 Представленная формула дает дюрацию сразу в го- дах. Пример 5 Номинал облигации 1000 руб., цена 919,77 руб., купон 10%, выплачивается два раза в год, до погашения бумаги 20 лет, доходность до погашения 11%. Определить дюрацию Ма- колея облигации. Решение Согласно последней формуле, значение дюрации будет равно: года D 598 , 8 055 , 1 77 , 919 1000 20 055 , 1 11 , 0 055 , 1 11 , 0 20 055 , 1 77 , 919 100 20 2 20 2 2 1 20 2 9.3.2. Дюрация как эластичность цены облигации по процентной ставке Хикс рассматривал дюрацию как показатель эла- стичности цены облигации по процентной ставке. Со- гласно определению дюрации как эластичности цены облигации по процентной ставке можно записать: r r d P dP D 1 1 : , 327 где: D – дюрация; P – цена облигации; dP – небольшое изменение цены облигации; r – доходность до погашения облигации; P dP – процентное изменение цены облигации; r r d 1 1 – процентное изменение доходности до погашения облигации (если быть более точным, то это процентное изменение величины r 1 ). В формуле стоит знак минус, чтобы сделать показа- тель дюрации положительной величиной, так как цена облигации и процентная ставка изменяются в проти- воположных направлениях. Формулу r r d P dP D 1 1 : можно записать как: P r dr dP D 1 , так как дифференциал от постоянной величины равен нулю. Выразим из уравнения процентное изменение цены облигации, то есть величину P dP r dr D P dP 1 Из представленной формулы следует, что дюрация Маколея говорит о том, на сколько процентов изме- нится цена облигации при процентном изменении до- ходности до погашения облигации. Пример 6 Номинал облигации 1000 руб., цена равна номиналу, купон 10% выплачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет. Доходность до погашения облигации 10%, дюрация 4,17 года. Определить процентное изменение цены облигации при процентном росте ее доходности до погашения на один про- цент. 328 Решение Из соотношения: r dr погашения до доходности изменение Процентное 1 прирост до- ходности до погашения облигации dr при процент- ном росте доходности до погашения на 1% равен: 01 , 0 1 r dr или 011 , 0 01 , 0 1 , 1 dr Согласно r dr D P dP 1 процентное изменение це- ны облигации равно: 0417 , 0 1 , 1 011 , 0 17 , 4 P dP или минус 4,17%. Насколько полученная оценка является точной? Ес- ли доходность до погашения облигации вырастет на 1,1%, то она составит 11,1%. Цена облигации на осно- вании формулы 5 1 5 5 1 1 t r N r C P снизится при этом до 963,04 руб. Фактическое процентное измене- ние цены составит: % 696 , 3 % 100 1000 1000 04 , 963 Согласно показателю дюрации, процентное изме- нение цены облигации равно – 4,17%, в то время как ее реальное изменение составило – 3,696%. Таким обра- зом, дюрация дает представление о процентном изме- нении цены облигации при изменении процентной ставки, хотя и с некоторой погрешностью. В приведенном примере дюрация Маколея дала не очень точную оценку процентного изменения цены облигации. Это связано с тем, что дюрация Маколея является линейной мерой такой оценки. В связи с этим можно сказать, что чем больше изменится доходность до погашения облигации, тем менее точной окажется оценка. 329 9.3.3. Модифицированная дюрация. Дюрация в денежном выражении На практике часто используют показатель, который называется модифицированной дюрацией. Она опре- деляется по формуле: P dr dP r P r dr dP r D D m 1 1 1 1 1 , где: m D – модифицированная дюрация %; D – дюрация Маколея; r – доходность до погашения облигации. Пример 7 Номинал облигации 1000 руб., цена равна номиналу, купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет. Доходность до погашения облигации 10%. Определить модифицированную дюрацию. Как было рассчитано в последнем примере, значе- ние дюрации Моколея такой облигации равно 4,17 го- да. Модифицированная дюрация составляет: 79 , 3 1 , 1 17 , 4 m D На основании проведенных выше преобразований выражение модифицированной дюрации можно пред- ставить как P dr dP D m 1 , после чего можно выразить процентное изменение цены облигации в виде: dr D P dP m Из последнего равенства следует, что модифициро- ванная дюрация говорит о том, на сколько процентов прибли- зительно изменится цена облигации при изменении ее доходно- сти до погашения на один процент. Формула модифицированной дюрации дает более точную оценку процентного изменения цены облигации, чем дюрация Маколея. 330 Таким образом, формула модифицированной дю- рации показала довольно точную оценку процентного изменения цены –3,79 против –3,696. Погрешность ре- зультата возникает потому, что модифицированная дюрация представляет собой линейную оценку про- центного изменения цены облигации. Как было показано выше, P D dr dP m . Выражение в правой части уравнения называют дюрацией в денежном выражении или денежной дюрацией. В англоязычной лите- ратуре данный вид дюрации именуют долларовой дю- рацией. Умножим обе части последнего равенства на выра- жение dr . Pdr D dP m . Представленное равенство позволяет определить изменение цены облигации при изменении ее доходности до погашения на небольшую величину. Пример 8 Номинал облигации 1000 руб., цена 1027,23 руб., купон 6%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 3 года. Доходность до погашения облигации 5%, модифицирован- ная дюрация 2,701. Определить, как изменится цена облигации при росте ее доходности до погашения на 0,25%. Решение. Согласно Pdr D dP m цена облигации понизится. 936 , 6 0025 , 0 23 , 1027 701 , 2 руб dP Знак минус в ответе говорит, что цена облигации понижается. 9.3.4. Эффективная дюрация Значение модифицированной дюрации можно рас- считать не на основе приведенных выше формул, а разностным методом (метод конечных разностей), то есть по формуле: 331 dr P P P D dr dr m 2 / , где: dr – изменение доходности до погашения об- лигации; dr P – цена облигации при росте доходности до по- гашения на величину dr ; dr P – цена облигации при падении доходности до погашения на величину dr . Пример Номинал облигации 1000 руб. До погашения облигации 5 лет, купон 6%, выплачивается один раз в год, доходность до погашения 7%. Определить модифицированную дюрацию с по- мощью формулы dr P P P D dr dr m 2 / , взяв изменение доходности до погашения в два базисных пункта. Решение Цены облигации для доходности до погашения 7% , 7,02% и 6,98% соответственно равны: 958.9980, 958.2004 и 959.7965 руб. Модифицированная дюрация равна: 1610248 , 4 0002 , 0 2 9980 , 958 / 7965 , 959 2004 , 958 m D Фактическое значение модифицированной дюра- ции данной облигации составляет 4,1610239. Некото- рая разница в полученных значениях объясняется зна- чительным интервалом 2 п б , на котором была рассчитана дюрация. Чем меньшим будет изменение процентной ставки, тем меньшей будет итоговая ошибка. Данный подход при расчете дюрации исполь- зуется в случаях, когда изменение цены облигации не просто определить на основании аналитической 332 формулы. В качестве примера такой ситуации можно назвать облигации со встроенными опционами. Аппроксимация значения модифицированной дю- рации называется эффективной дюрацией. 9.3.5. Свойства дюрации Маколея и модифицированной дюрации Дюрация обладает следующими свойствами: 1. Значение дюрации Маколея облигации с нуле- вым купоном равно значению времени до ее погаше- ния. Значение модифицированной дюрации беску- понной облигации меньше времени до ее погашения. Для купонной облигации значение дюрации Маколея и модифицированной дюрации меньше времени до ее погашения. 2. Чем меньше купон облигаций, тем больше дю- рация, так как больший удельный вес выплат по бумаге приходится на момент ее погашения. Чем выше купон облигации, тем меньше ее дюрация. 3. Чем чаще выплачиваются купоны по облига- ции, тем меньше дюрация, так как больше платежей располагается к начальному моменту. Одновременно увеличивается коэффициент дисконтирования для но- минала и, соответственно, уменьшается его удельный вес в цене облигации. 4. При росте доходности до погашения облигации дюрация уменьшается, при понижении увеличивается. Такая динамика объясняется тем фактом, что при росте процентной ставки приведенная стоимость купонов и номинала облигации падает, однако она уменьшается в большей степени для более отдаленных платежей по облигации. Поэтому удельный вес для более отдален- ных моментов во времени уменьшается в большей сте- пени, чем ближайших, и соответственно дюрация со- кращается. 333 5. Чем больше время остается до погашения обли- гации, тем больше дюрация. Однако следует подчерк- нуть, что увеличение времени обращения облигации не всегда автоматически означает и рост ее дюрации. Прямая зависимость наблюдается только для облига- ций с нулевым купоном: их дюрация равна времени, остающемуся до погашения. Дюрация купонной обли- гации при увеличении срока до ее погашения стремит- ся к пределу, равному r 1 1 , где r – доходность до по- гашения бумаги. 6. Чем больше дюрация, тем в большей степени цена облигации реагирует на изменение процентной ставки и наоборот. Другими словами, чем больше дю- рация, тем больше риск по облигации. 9.3.6. Иммунизация облигации Для купонной облигации существует риск реинве- стирования купонов. Он заключается в том, что при падении процентных ставок купоны реинвестируются под более низкий процент, при повышении ставок – под более высокий. Изменение процентных ставок также оказывает влияние на цену облигации, но в про- тивоположном направлении. Таким образом, при по- вышении ставок инвестор будет проигрывать в цене облигации, но выигрывать от реинвестирования купо- нов. Напротив, при падении доходности, он выигрыва- ет от роста цены облигации, но проигрывает от реин- вестирования купонов. Поскольку изменение цены облигации и доходов от реинвестирования купонов имеют противоположную направленность, можно най- ти точку во времени в течение срока обращения обли- гации, где оба процесса уравновешивают друг друга и доходность операции для инвестора остается неизмен- ной. Такая точка во времени и представлена дюрацией 334 облигации. Например, инвестор купил облигацию с доходностью до погашения 20%, дюрацией 3 года, до погашения которой остается 5 лет. Через некоторое время доходность до погашения данной облигации вы- росла. Если он продаст облигацию через три года, то реализованная доходность его операции составит 20%. Таким образом, инвестор может обезопасить себя от изменения процентных ставок на рынке, или иммуни- зировать облигацию для периода времени в 3 года. Ес- ли он продаст облигацию раньше или позже трех лет, то реализованная доходность, как правило, будет отли- чаться от 20%. В этом случае инвестор подвергается риску изменения процентной ставки. Величина дюрации дает хорошее приближение из- менения цены облигации только для небольших изме- нений доходности до погашения. Поэтому, если в рас- сматриваемом примере доходность до погашения облигации сильно изменится, она уже не будет имму- низирована на период в 3 года, а инвестор не обеспе- чит себе реализованную доходность в 20% на этот мо- мент времени. Если процент вырастет, дюрация уменьшится и соответственно временная точка имму- низации облигации составит меньше трех лет, и на- оборот. Приведенные выше формулы определения дюра- ции относятся только к безрисковым, то есть государ- ственным облигациям. Если говорить об облигациях корпораций, то для них существует кредитный риск. Он также должен найти отражение в величине их дю- рации. В связи с этим при расчете дюраций корпора- тивных облигаций необходимо учитывать модели кре- дитного риска. 335 9.4. КРИВИЗНА ОБЛИГАЦИИ Дюрация предполагает, что при изменении доход- ности до погашения облигации ее цена изменяется на постоянную величину, то есть она не учитывает нели- нейную зависимость между доходностью до погашения и ценой облигации. График зависимости цены облига- ции от доходности до погашения представляет собой выпуклую линию относительно начала координат. По- этому дюрация дает приемлемую оценку изменения цены облигации только при небольшом изменении доходности до погашения. При значительном измене- нии доходности до погашения оценка изменения цены облигации только на основе дюрации будет содержать погрешность. Чем больше изменение процентной ставки, тем больше данная погрешность. Для более точной оценки изменения величины об- лигации следует учесть такой показатель, как кривизна (convexity) графика цены облигации, обозначим его че- рез показатель conv . Кривизна показывает среднюю скорость изменения угла наклона дюрации. Можно сказать, что кривизна измеряет среднее изменение дюрации при изменении доходности до погашения на один базисный пункт. Чтобы определить показатель кривизны, разложим изменение цены облигации с помощью ряда Тейлора. Для решения нашей задачи возьмем два первых слагае- мых ряда. Тогда изменение цены облигации можно представить следующим образом: 2 2 2 2 1 dr dr P d dr dr dP dP , где: dr dP – первая производная цены облигации по процентной ставке; 336 2 2 dr P d – вторая производная цены облигации по процентной ставке. Разделим обе части равенства на цену облигации: 2 2 2 2 1 1 dr dr P d P dr dr dP P P dP Полученное уравнение говорит о процентном из- менении цены облигации при изменении процентной ставки. В первом слагаемом в правой части равенства величина dr dP P 1 есть не что иное, как модифициро- ванная дюрация со знаком минус. Во втором слагаемом выражение 2 2 1 dr P d P представляет собой показатель кривизны. Таким образом: 2 2 1 dr P d P conv Вторая производная цены облигации по процент- ной ставке при выплате купона один раз в год равна: Поскольку n r N C r C r C P 1 1 1 2 , а 1 1 3 2 1 1 1 2 1 1 n n r N n r C n r C r C dr dP , то 2 2 4 3 2 2 1 1 1 1 1 6 1 2 n n r N n n r C n n r C r C dr P d или в сокращенной записи n t n t r N n n r C t t dr P d 1 2 2 2 2 1 1 1 1 Поэтому кривизну можно рассчитать по формуле: n t n t r N n n r C t t P conv 1 2 2 1 1 1 1 1 |