А. И. Уколов Управление рисками страховой организации
 Скачать 2.83 Mb.
|
|
Пример Номинал облигации 1000 руб., доходность до по- гашения 20%, купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации остается 2 года 345 дней. Финансовый год равен 365 дням. Тогда цена облигации равна: 28 , 797 2 , 1 1100 2 , 1 100 2 , 1 100 365 345 2 365 345 1 365 345 руб Р В примере первый купон инвестор получит через 345 дней, второй – через год 345 дней и третий купон вместе с номинальной стоимостью – через два года 345 дней. Поэтому первый купон дисконтируется на пери- од времени 365 / 345 года, второй – на один и 365 / 345 года, третий купон и номинал – на 2 и 365 / 345 года. 315 Если купон выплачивается m раз в год, то число купонных периодов в формуле корректируется на зна- чение m , а в знаменателе формулы 365 / t v вместо 365 указывается число дней в купонном периоде. Модель оценки стоимости облигации с выпла- той всей суммы процентов при ее погашении имеет следующий вид: n r N C P 1 . Экономическое содержание данной модели состоит в том, что текущая реальная стоимость облигации с выплатой всей суммы процентов при ее погашении, равна совокупным выплатам номинала и суммы про- центов по ней, приведенным к настоящей стоимости по дисконтной ставке, равной ожидаемой норме до- ходности до погашения облигации. Модель оценки стоимости облигации, реали- зуемой с дисконтом без выплаты процентов , имеет следующий вид: n r N P 1 Формулу определения курсовой стоимости беску- понной облигации можно получить из формулы n n t t r N r C P 1 1 1 . Поскольку по облигации не выплачиваются купоны, 0 C Пример Номинал облигации 1000 руб., бумага погашается через три года. Определить цену облигации для доходности до пога- шения 20%. Решение. Она равна: 7 , 578 2 , 0 1 1000 3 Р руб. 316 Если до погашения облигации остается не целое число лет, то формула принимает вид: 1 1 1 n v r r N P , 365 t v , где: t – число дней от момента сделки до начала цело- го годового периода для облигации; n – целое число лет, которое остается до погаше- ния облигации, включая текущий год. Пример Номинал облигации 1000 руб. Бумага погашается через два года и 345 дней. Финансовый год равен 365 дням. Определить цену облигации, если доходность до погашения 20%. Решение. 51 , 584 2 , 0 1 1000 365 345 2 P руб. На практике приходится сравнивать купонные и бескупонные облигации. В этом случае необходимо помнить о следующем правиле. Если по купонным об- лигациям процент выплачивается m раз в год, то и формулу n r N P 1 следует также скорректировать на значение m, а именно: mn m r N P / 1 , чтобы иметь единую частоту начисления сложного процента во всех финансовых расчетах. Экономическое содержание данной модели состоит в том, что текущая реальная стоимость облигации, реа- лизуемой с дисконтом без выплаты процентов по ней, представляет собой ее номинал, приведенный к на- стоящей стоимости по дисконтной ставке, равной до- ходности до погашения облигации. 317 Трансформируя указанные модели (меняя искомый расчетный показатель), можно по каждому виду обли- гаций рассчитать ожидаемую норму валовой инвестиционной прибыли (доходности), если показатель реальной стоимо- сти облигации заменить фактической ценой ее реали- зации на фондовом рынке. Краткосрочные облигации выпускаются на период времени, в течение которого отсутствует возможность получить сложный процент. Поэтому их цена рассчи- тывается по приведенной формуле на основе простого процента: 365 / 1 rt N P , где: P – цена облигации; N – номинал облигации; r – доходность до погашения. По формуле определяется цена ГКО. Пример Номинал ГКО 1000 руб., до погашения остается 60 дней. Определить цену облигации для доходности до погашения 5%. Решение. 85 , 991 365 / 60 05 , 0 1 1000 руб P Мы рассмотрели формулы определения курсовой стоимости облигаций. Они позволяют инвестору рас- считать приемлемый для него уровень цены бумаги. В то же время это не означает, что облигации на рынке обязательно будут продаваться по найденной цене. Так происходит потому, что различные вкладчики по- разному могут оценивать риск приобретения облига- ции, и, следовательно, использовать несколько отлич- ные ставки дисконтирования. Кроме того, на цену мо- гут также влиять силы спроса и предложения. Если спрос превышает предложение, это создаст потенциал 318 к повышению цены, если предложение больше спро- са, – к понижению. 9.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СУММАРНЫХ ДОХОДОВ ПО ОБЛИГАЦИИ Общая сумма всех средств, которые вкладчик полу- чит по облигации, складывается из трех элементов: 1) суммы погашения при выкупе облигации по оконча- нии срока ее обращения или суммы от ее продажи; 2) купонных процентов; 3) процентов от реинвестирова- ния купонов. Если вкладчик держит облигацию до погашения, то первый элемент доходов известен из условий выпуска облигационного займа. Второй элемент – купон также известен. Третий элемент можно определить только в совокупности со вторым по формуле будущей стоимо- сти аннуитета, а именно: 1 1 n p r r C C , где: p C – сумма купонных платежей и процентов от реинвестирования купонов; C – купон облигации; n – число периодов, за которые выплачиваются ку- поны; r – процент, под который вкладчик планирует ре- инвестировать купонные платежи. Пример 1 Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., купон 15%, выплачивается один раз в год. До пога- шения остается 6 лет. Инвестор полагает, что за этот период он сможет реинвестировать купоны под 12% годовых. Опреде- лить общую сумму средств, которые вкладчик получит по дан- ной бумаге, если продержит ее до погашения. 319 Решение Через шесть лет инвестору выплатят номинал обли- гации. Сумма купонных платежей и процентов от их реинвестирования составит: 28 , 1217 1 12 , 0 1 12 , 0 150 6 руб. Общая сумма средств, которые получит инвестор за шесть лет, равна: 1000+1217,28=2217,28 руб. Пример 2 Изменим несколько условия предыдущей задачи. Предполо- жим, что вкладчик рассчитывает реинвестировать купоны в течение ближайших двух лет под 14%, а оставшихся четырех лет – под 12%. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до пога- шения. Решение Сумма купонов и процентов от их реинвестирова- ния в первые два года составит: 321 1 14 , 1 14 , 0 150 2 руб За оставшиеся до погашения облигации 4 года по- лученная сумма, поскольку она инвестирована под 14%, возрастет до следующего значения: 16 , 542 14 , 1 321 4 руб Сумма купонных платежей и процентов от их реин- вестирования под 12% в течение четырех последних лет составит: 9 , 716 1 12 , 1 12 , 0 150 4 руб Общая сумма, которую инвестор получит по такой облигации, равна: 1000+542,16+716,9=2259,06 руб. 320 Если вкладчик планирует в будущем продать обли- гацию, то ему необходимо оценить ее стоимость к это- му моменту времени и прибавить к сумме купонов и процентов от их реинвестирования. 9.3. ДЮРАЦИЯ КАК ПОКАЗАТЕЛЬ РИСКА ОБЛИГАЦИИ Одним из важнейших аналитических показателей облигации является дюрация. В 1938 г. концепцию дю- рации предложил Ф. Маколей. Однако, в этот момент она не получила широкой известности. Поэтому позже дюрация была самостоятельно открыта целым рядом экономистов. В 1939 г. Дж. Хиксом, в 1945 г. – П. Саму- эльсоном, в 1952 г. – Ф. Редингтоном. Маколей стре- мился найти показатель, с помощью которого можно было сравнивать и объяснять динамику цен облигаций с одинаковым сроком погашения, но разной структу- рой купонных платежей. Хикс хотел определить пока- затель эластичности потока платежей относительно коэффициента дисконтирования 1 1 r . Хикс назвал эту эластичность «средним периодом (average period)», на который платежи удалены от настоящего момента времени. Он также отметил, что относительные цены двух потоков платежей инвариантны к изменению процентных ставок, если они характеризуются одина- ковым средним периодом. Самуэльсон и Редингтон от- крыли дюрацию, анализируя чувствительность активов и обязательств относительно изменений процентных ставок. Самуэльсон исследовал влияние роста про- центных ставок на стоимость финансовых институтов. Он получил первые производные потоков платежей относительно доходности до погашения и назвал дан- ный показатель (эквивалент дюрации Маколея) «сред- невзвешенным периодом времени (weighted average time period)». Редингтон стремился определить, каким 321 должно быть размещение активов и обязательств стра- ховых компаний, страхующих жизнь, чтобы миними- зировать их потери в связи с неожиданными измене- ниями процентных ставок на рынке. Он получил производную платежей относительно процентной ставки и назвал ее «средним временем (mean term)». Он предложил также термин «иммунизация». До начала 1970-х гг. концепция дюрации не нахо- дила широкого применения на финансовом рынке. Интерес к ней как к практическому инструменту управ- ления портфелем облигаций возник в 1970-е гг. после того, как в 1971 г. Л.Фишер и Р. Вейл показали, что дюрацию можно использовать для иммунизации портфеля облигаций от риска изменения процентных ставок. М. Хоупвелл и Дж. Кауфман также показали, что дюрацию можно рассматривать в качестве меры ценового риска облигаций. В современной практике дюрация является важным инструментом в вопросах страхования стоимости об- лигации и портфеля облигаций от изменения уровня процентных ставок на рынке. Она также учитывается при формировании ряда активных стратегий управле- ния портфелем. Дополнительным инструментом в данных вопросах, позволяющим получать желаемый результат при более значительных изменениях про- центных ставок, является показатель кривизны (convexity). Показатели дюрации и кривизны являются сейчас ключевыми инструментами измерения и управления процентным риском в руках менеджеров портфелей облигаций, а также при управлении активами и пасси- вами банковских институтов. 322 9.3.1. Дюрация Маколея Дюрация Маколея говорит о том, когда в среднем будут по- лучены платежи по облигации, включая купоны и номинал, то есть это средневзвешенное время всех выплат по облигации. Весами времени платежей по облигации выступают удельные веса приведенных стоимостей платежей, то есть купонов и номинала, в стоимости облигации. Ку- поны и номинал дисконтируются под ставку доходно- сти до погашения облигации. Дюрация Маколея измеряет- ся в годах. Формула дюрации Маколея имеет вид: P r N C n P r C P r C D n 1 / 1 / 2 1 / 1 2 , где: D – дюрация Маколея; P – цена облигации; C – купон облигации; N – номинал облигации; n ,..., 2 , 1 – годы выплат купонов и номинала по об- лигации; n – количество лет до погашения облигации; r – доходность до погашения облигации. В уравнении P r C 1 / – это удельный вес, с кото- рым учитывается первый год выплаты купона по обли- гации; P r C 2 1 / – удельный вес второго года выплаты купона по облигации и т. д.; P r P C n 1 / – удельный вес выплаты последне- го купона и номинала в стоимости облигации. В свою очередь величина r C 1 / – это приведен- ная стоимость первого купона; 323 2 1 / r C – приведенная стоимость второго купона и т.д.; n r N C 1 / – приведенная стоимость последне- го купона и номинала. В формуле рассчитывается дюрация Маколея обли- гации с выплатой купонов один раз в год. Если вынести за скобки общий множитель Р 1 , то формула с использованием знака суммы примет вид: P r nN r tC D n t n t 1 1 1 1 Пример 1. Номинал облигации 1000 руб., цена 1066,24 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 8%. Определить дюрацию Маколея облигации. Решение. Согласно формуле Маколея, дюрация составляет: года 504 , 3 24 , 1066 1 08 , 1 1000 100 4 08 , 1 100 3 08 , 1 100 2 08 , 1 100 1 4 3 2 Посмотрим, как поведет себя дюрация, если купон будет равен 20% при тех же условиях. Определим сна- чала стоимость облигации. n r N C r C r C P 1 1 1 2 Отсюда 77 , 1397 08 , 1 1000 200 08 , 1 200 08 , 1 200 08 , 1 200 4 3 2 P Согласно формуле Маколея, дюрация составит: 324 2436 , 3 77 , 1397 1 08 , 1 1000 200 4 08 , 1 200 3 08 , 1 200 2 08 , 1 200 1 4 3 2 D года, что меньше, чем в первом случае, когда дюрация была равна 3,504 года. Таким образом, с ростом значе- ния купона значение дюрации Маколея падает. Если купон по облигации выплачивается m раз в год, то дюрация рассчитывается по формуле: P m r N m C mn m r m C m r m C D mn 1 / 1 / / 1 / 2 / 1 / 1 2 По приведенной формуле ответ получается в ку- понных периодах. Перевести полученный результат в годы можно по формуле: m D D m year , где: year D – дюрация в годах; m D – дюрация в m периодах. Пример 2 Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается два раза в год, до погашения бумаги 2 года, доходность до пога- шения 10%. Определить дюрацию Маколея облигации. Решение. Цена облигации равна 1000 руб. Согласно преды- дущей формуле, дюрация, выраженная в купонных пе- риодах, составляет: 7232 , 3 1000 1 2 / 1 , 0 1 1000 2 / 100 4 2 / 1 , 0 1 2 / 100 3 2 / 1 , 0 1 2 / 100 2 2 / 1 , 0 1 2 / 100 1 4 3 2 Дюрация в годах составляет года 8616 , 1 2 / 7232 , 3 Пример 3. Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается два раза в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до пога- шения 8%. Определить дюрацию Маколея облигации. 325 Решение. Определим стоимость облигации по формуле: mn m r N m C m r m C m r m C P / 1 / / 1 / / 1 / 2 1067 2 / 08 , 0 1 1000 2 / 100 2 / 08 , 0 1 2 / 100 2 / 08 , 0 1 2 / 100 2 / 08 , 0 1 2 / 100 2 / 08 , 0 1 2 / 100 2 / 08 , 0 1 2 / 100 2 / 08 , 0 1 2 / 100 2 / 08 , 0 1 2 / 100 8 7 6 5 4 3 2 руб P Дюрация Маколея, выраженная в купонных перио- дах, составит: 831 , 6 1067 1 2 / 08 , 0 1 1000 2 / 100 8 2 / 08 , 0 1 2 / 100 7 2 / 08 , 0 1 2 / 100 6 2 / 08 , 0 1 2 / 100 5 2 / 08 , 0 1 2 / 100 4 2 / 08 , 0 1 2 / 100 3 2 / 08 , 0 1 2 / 100 2 2 / 08 , 0 1 2 / 100 1 8 7 6 5 4 3 2 m D Дюрация Маколея, выраженная в годах, равна: года D 415 , 3 2 831 , 6 Таким образом, чем больше раз в год выплачивает- ся купон, тем меньше временной период, определяе- мый дюрацией Маколея. Если до погашения облигации много лет, то вы- числения по формуле P r nN r tC D n t n t 1 1 1 1 трудоемки. Представленную формулу можно привести к более компактному виду: n n n r P nN r r r nr r P C D 1 1 1 1 2 1 |