А. И. Уколов Управление рисками страховой организации
 Скачать 2.83 Mb.
|
|
Пример Номинал облигации 1000 руб., купон 20%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 3 года, доходность до пога- шения 20%. Текущая цена облигации равна номиналу. Опреде- лить кривизну облигации. Решение. Согласно формуле n t n t r N n n r C t t P conv 1 2 2 1 1 1 1 1 , она равна: 2 5 4 3 597 , 6 2 , 1 1200 12 2 , 1 200 6 2 , 1 200 2 1000 1 лет conv Формула 2 2 2 2 1 1 dr dr P d P dr dr dP P P dP позво- ляет определить процентное изменение цены облига- ции с помощью показателей дюрации и кривизны. За- пишем ее с использованием обозначений дюрации и кривизны: 2 2 1 dr conv dr D P dP m Пример Модифицированная дюрация облигации равна 2.107, кри- визна 6.597. Определить процентное изменение цены облигации при росте и падении доходности до погашения на 1%. 338 Решение. При росте доходности на 1% цена облигации упа- дет на величину: 02074 , 0 01 , 0 597 , 6 2 1 01 , 0 107 , 2 2 P dP ил и 2,074% При падении доходности она вырастет на величи- ну: 0214 , 0 01 , 0 597 , 6 2 1 01 , 0 107 , 2 2 P dP или 2,14% Использование модифицированной дюрации и кривизны позволяет довольно точно определить про- центное изменение цены облигации при существенном изменении доходности до погашения. Умножим обе части равенства 2 2 1 dr conv dr D P dP m на P . Получаем формулу для определения изменения цены облигации при из- менении процентной ставки: P dr conv drP D dP m 2 2 1 Пример Определить, на какую величину изменится цена облигации из предыдущего примера при росте доходности до погашения на 1%. Решение Она упадет на величину: 02074 , 0 1000 01 , 0 597 , 6 2 1 1000 01 , 0 107 , 2 2 dP или 20,74 руб. Кривизна характеризуется следующими особенно- стями: 339 8. ее величина возрастает при уменьшении доход- ности до погашения и падает при ее росте; 9. величина кривизны возрастает в большей сте- пени, чем дюрацияпри росте дюрации; 10. при данном значении доходности до погашения и времени погашения величина кривизны больше для облигаций с более низким купоном. Это можно объяс- нить тем, что при изменении процентных ставок на рынке корректировка доходности облигации в боль- шей степени происходит за счет цены для облигаций с малым купоном, чем для бумаг с большим купоном/ Показатель кривизны говорит о величине кривизны графика цены облигации в зависимости от доходности до погашения. Чем больше кривизна облигации, тем в большей степени возрастет цена облигации при паде- нии процентной ставки и тем меньше упадет ее цена при увеличении процентной ставки. Поэтому кривизна является одним из важнейших инвестиционных качеств облигаций, особенно в условиях нестабильности про- центных ставок. 10. АКЦИИ 10.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КУРСОВОЙ СТОИМОСТИ АКЦИИ Акция представляет собой эмиссионную ценную бумагу. Она предоставляет ее владельцу право на полу- чение дивидендов, участие в управлении акционерным обществом и на часть имущества в случае ликвидации. Доход, выплачиваемый по акциям, называется дивиден- дом. С точки зрения теоретического подхода цена обык- новенной акции должна определяться дисконтирова- нием всех доходов, то есть дивидендов, которые будут 340 выплачены по акции. Поэтому формула определения курсовой стоимости имеет вид 1 1 t t t r div P , где: P – цена акции; t div – дивиденд, который будет выплачен в момент времени t ; r – ставка дисконтирования (доходность), которая соответствует уровню риска инвестирования в акции данного акционерного общества. Представленная формула неудобна для опреде- ления курсовой стоимости акции, поскольку сложно определить величину дивидендов, которые уходят в бесконечность, так как акция является бессрочной бу- магой. Формула несколько изменится, если инвестор пла- нирует владеть акцией некоторое время, а затем про- дать. В этом случае стоимость акции может быть оце- нена по формуле: n t n n t t r P r div P 1 1 1 , где n P – цена акции в конце периода n , когда инвестор планирует продать ее. Чтобы определить курс акции по данной формуле, необходимо спрогнозировать величину дивидендов и цену будущей продажи бумаги. Простейшая модель прогнозирования дивидендов предполагает, что они растут с постоянным темпом. Тогда дивиденд для лю- бого года можно рассчитать по формуле: t t g div div 1 0 , где: 0 div – дивиденд за текущий год (то есть уже из- вестный дивиденд); 341 g – темп прироста дивиденда. Темп прироста дивиденда определяют на основа- нии метода определения ской геометриче средней : 1 1 0 n n div div g , где: 0 div – начальный дивиденд; n div – последний выплаченный дивиденд; предпо- лагается, что дивиденды выплачиваются через равные интервалы времени. Темп прироста дивиденда также можно определить на основе темпа прироста прибыли компании, если коэффициент выплаты дивидендов (отношение суммы дивидендов к полученной прибыли) остается величи- ной постоянной. Тогда темп прироста прибыли ком- пании равен темпу прироста дивидендов. Для крупных компаний коэффициент выплаты дивидендов будет величиной более или менее устойчивой на протяже- нии относительно длительных периодов времени. Более удобно определять курсовую стоимость ак- ции по формуле: g r div P 1 , где: 1 div – дивиденд будущего года можно определить по формуле t t g div div 1 0 ; r – уровень доходности, требуемый для данной ак- ции. Формула используется при следующих условиях: предполагается, что дивиденд растет с постоянным темпом и g r 342 Пример За истекший год был выплачен дивиденд в 200 руб. на ак- цию, темп прироста дивиденда равен 5%, ставка дисконтиро- вания составляет 25%. Определить курсовую стоимость акции. Решение Прогнозируемый на следующий год дивиденд ра- вен: 210 05 , 0 1 200 1 руб div Акция должна стоить: 1050 05 , 0 25 , 0 210 руб Р Уровень доходов и величина дивидендов АО может изменяться в связи с тем, что после активного роста оно может перейти в стадию зрелой компании. Если инвестор полагает, что начиная с некоторого момента времени, компания вступит в новую фазу развития, он может учесть данный факт при определении цены ак- ции. Данное условие можно представить следующей формулой: n t n n t t g r div r r g div P 1 2 1 1 0 1 1 1 1 , где: 1 g – темп прироста дивиденда за первый период, который будет продолжаться n лет; 2 g – темп прироста дивидендов за последующие годы; 0 div – объявленный дивиденд за истекший год; r – ставка дисконтирования. Если компания выплачивает одинаковые дивиден- ды, то цена акции определяется по формуле: r div P Она следует из формулы приведенной стоимости аннуитета: 343 n r r div P 1 1 1 Акция является бессрочной бумагой, поэтому пред- полагается выплата постоянного дивиденда в течение бесконечного времени. В связи с этим устремим к бес- конечности n количество выплачиваемых диви- дендов. Тогда величина n r 1 / 1 устремится к нулю, что приведет к формуле r div P Как следует из приведенных формул, ключевым элементом при оценке стоимости акции является вели- чина дивиденда. В то же время компании роста могут не выплачивать дивиденды. Каким образом оценить курс их акций? В теории делается допущение о том, что если акционерное общество сейчас не выплачивает дивиденды, то этот период завершится с вступлением его в фазу зрелости, когда закончится его экстенсивный рост. Поэтому инвестор должен определить момент времени, когда будет выплачен первый дивиденд и его величину, и подставить полученные цифры в формулу: g r r div P n n 1 1 , где n div – первый дивиденд, который, как полагает ин- вестор, АО выплатит в ом n году. Пример Вкладчик прогнозирует, что через пять лет АО выплатит дивиденд на акцию в 500 руб., ставка дисконтирования 30%, темп роста прибыли компании составит 10%. Определить курсовую стоимость акции. Решение. Курс акции равен: 32 , 875 1 , 0 3 , 0 3 , 1 500 4 руб Р 344 10.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОХОДНОСТИ АКЦИИ Принимая решение купить акцию на определенный период, инвестору необходимо оценить возможную доходность его операции. После завершения операции следует определить ее фактическую доходность. До- ходность операции с акцией, которая занимает не- сколько лет, можно ориентировочно определить по формуле: 2 / / b s b s P P div n P P r , где: r – доходность от операции с акцией; s P – цена продажи акции; b P – цена покупки акции; div – средний дивиденд за n лет (он определяется как среднее арифметическое); n – число лет от покупки до продажи акции. Пример Инвестор купил акцию за 200 руб. и продал через три года за 300 руб.; за первый год ему выплатили дивиденд в размере 10 руб., за второй – 15 руб., за третий – 20 руб. Определить до- ходность операции вкладчика. Решение Средний дивиденд за три года равен: 15 3 20 15 10 руб div Доходность операции составила: 1933 , 0 2 / 200 300 15 3 / 200 300 r или 19,33% Если покупка и продажа акции происходят в рамках года, то доходность операции можно определить по формуле: 345 t P div P P r b b s 365 , где t – число дней с момента покупки до продажи ак- ции. Если за прошедший период дивиденд на акцию не выплачивался, он исключается из формулы. Вопросы для самоконтроля 1. Номинал облигации, до погашения которой ос- тается 5 лет, равен 1000 руб., купон 20%, выплачивается один раз в год. Определите цену облигации, чтобы она обеспечила покупателю доходность до погашения в размере 30% годовых. (Ответ: 512,89 руб.) 2. Номинал бескупонной облигации, до погашения которой остается 6 лет, равен 1000 руб. Определите цену облигации, чтобы она обеспечила покупателю доходность до погашения в размере 30% годовых. (От- вет: 207,18 руб.) 3. Определите цену ГКО, чтобы она обеспечила покупателю доходность до погашения в размере 30% годовых. До погашения ГКО остается 60 дней. (Ответ: 95, 30%) 4. Определите доходность ГКО, если ее цена равна 90% и до погашения остается 120 дней. (Ответ: 30,75%) 5. Определите текущую доходность купонной об- лигации, если купон равен 100 руб., цена – 950 руб. (Ответ: 10,53%) 6. Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., цена – 800 руб., до погашения остается три года. Определите доходность до погашения облигации. (От- вет: 7,72%) 7. До погашения бескупонной облигации 6 лет, до- ходность до погашения составляет 20%. Определите модифицированную дюрацию облигации. (Ответ: 5 лет) 346 8. Номинал купонной облигации 1000 руб., купон- ная ставка – 10% и выплачивается один раз в год. До погашения облигации три года. На рынке ее цена равна номиналу. Определите: а) дюрацию Макоэля; в) моди- фицированную дюрацию; с) на какую сумму упадет цена облигации при росте ее доходности до погашения на 0,02%. (Ответ: а) 2,74 года; в) 2,49 года; с) 0,5 руб.) 9. Инвестор покупает облигацию за 950 руб., ее но- минал равен 1000 руб., купон – 10%, до погашения ос- тается четыре года. Он полагает, что за этот период сможет инвестировать купоны под 12%. Определите: а) общую сумму средств, которые вкладчик получит по облигации, если продержит ее до момента погашения; б) реализованный процент за указанный период. (От- вет: а) 1477,93 руб.; б) 11,68%) 10. На акцию выплачен дивиденд в размере 100 руб. Среднегодовой темп прироста дивиденда равен 3%. Определите размер дивиденда, который можно ожи- дать через три года. (Ответ: 112,55 руб.) 11.На акцию был выплачен дивиденд в размере 100 руб. Темп прироста дивиденд равен 5%. Доходность, соответствующая риску инвестирования финансовых ресурсов в данную акцию, равна35%. Определить цену акции. (Ответ: 350 руб.) 12. Инвестор планирует купить акции роста. Он полагает, что первый дивиденд будет выплачен через пять лет и составит 100 руб. Темп прироста прибыли компании 5%. Доходность, соответствующая риску ин- вестирования финансовых ресурсов в данную компа- нию, равна 30%. Определите стоимость акции. (Ответ: 140,05 руб.) 13. Инвестор купил акцию за 500 руб. и через 100 дней продал за 600 руб. За этот период на акцию был 347 выплачен дивиденд в размере 50 руб. Определите до- ходность операции инвестора? (Ответ: 109,5%) 10.3. РИСК АКЦИИ В финансовой теории и практике в качестве меры риска финансового актива принимаются такие показа- тели, как стандартное отклонение и дисперсия его до- ходности. В качестве синонима понятия «стандартное отклонение» используют также термин «волатиль- ность». Стандартное отклонение и дисперсия доходности ак- ции говорят о степени возможного разброса фактической доход- ности акции вокруг ее средней доходности. Пусть имеются значения доходности акции за n лет. За первый год она составила величину 1 r , за вто- рой − 2 r и т. д., за n-ый год – r n . Проведем расчеты в несколько шагов. ШАГ 1. Определяем среднее значение доходности акции за n лет. Это просто средняя арифметическая значений ее доходности за этот период: n r r r r r n 3 2 1 Если использовать знак для компактной фор- мы записи суммирования, формула примет вид: n r r n i i 1 , где: r – средняя доходность акции; n – количество лет, за которые наблюдались зна- чения доходности; знак суммы n i i r 1 показывает, что осуществляется суммирование всех значений показате- ля r с коэффициентами от величины i до n . 348 ШАГ 2. Определяем для каждого года отклонение фактического значения доходности от ее средней ве- личины и возводим полученные данные в квадрат. Для первого года получаем: 2 1 r r , для второго года – 2 2 r r и т. д., для го n года 2 r r n ШАГ 3. Суммируем квадраты отклонений: n i i n r r r r r r r r 1 2 2 2 2 2 1 ШАГ 4. Делим полученную сумму на количество лет: n r r n i i 1 2 2 Величина 2 является дисперсией доходности ак- ции в расчете на год. Как уже отмечалось, дисперсия является показателем рассеяния фактических значений доходности акции вокруг ее средней величины. Раз- мерность дисперсии представляет собой квадрат до- ходности акции. Если в формуле мы учитываем доход- ность в процентах, то размерность дисперсии – это процент в квадрате. Показателем такой размерности не всегда удобно пользоваться, поскольку сама доходность акции измеряется в процентах. Поэтому из дисперсии извлекают квадратный корень и получают стандартное отклонение доходности: 2 , где – стандартное отклонение доходности акции. Стандартное отклонение измеряется уже в процентах, то есть в тех же единицах, что и доходность. Если предположить, что при расчете дисперсии и стандартного отклонения мы учли все существующие значения доходности, то есть всю генеральную сово- 349 купность случайной переменной, то полученная по формуле n r r n i i 1 2 2 дисперсия называется гене- ральной дисперсией, а стандартное отклонение – соответ- ственно генеральным стандартным отклонением. Однако на практике невозможно учесть все фактические зна- чения доходности акции. Поэтому оценку данных по- казателей проводят на основе только части этих значе- ний, то есть на основе некоторой выборки данных. Тогда в результате расчета получают так называемую вы- борочную дисперсию. Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то она будет приво- дить к систематическим ошибкам, занижая значение генеральной дисперсии. Это происходит потому, что при расчете отклонения его считают не от истинного среднего значения переменной, а от выборочного. Вы- борочное же среднее непосредственно находится в центре выборки и поэтому отклонения от него выбо- рочных данных в среднем меньше, чем от действитель- ного среднего значения переменной в генеральной со- вокупности. Чтобы скорректировать данную погрешность, переходят к так называемой исправленной дисперсии. Она определяется по следующей формуле: 1 1 2 2 n r r n i i Формулы определения дисперсий отличаются толь- ко знаменателем. Данная корректировка осуществляет- ся для того, чтобы получить несмещенную оценку 350 генеральной дисперсии 3 . Корректировка является су- щественной, если оценку дисперсии проводят на осно- ве небольшого количества данных. При большом объ- еме выборки различие в расчетах бывает незначительным. На практике пользуются исправлен- ной дисперсией, если количество наблюдений меньше 30. Соответственно, исправленное стандартное откло- нение определяется по формуле: 1 1 2 n r r n i i |