А. И. Уколов Управление рисками страховой организации
 Скачать 2.83 Mb.
|
|
Пример Определить стандартное отклонение доходности акции, ес- ли ее доходность за первый год составила 30%, второй – 35%, третий – 32%, четвертый – 29%, пятый – 34%. Решение Осуществим расчеты по шагам. ШАГ 1. Определяем среднюю доходность акции: % 32 5 34 29 32 35 30 r ШАГ 2. Определяем квадраты отклонений факти- ческих результатов за каждый год от средней доходно- сти: 4 32 34 , 9 32 29 , 0 32 32 , 9 32 35 , 4 32 30 2 2 2 2 2 ШАГ 3. Суммируем квадраты отклонений, делим сумму на количество лет минус единица и получаем исправленную дисперсию. 3 Несмещенной называют статистическую оценку некоторого па- раметра случайной величины, математическое ожидание которого равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. 351 5 , 6 4 4 9 0 9 4 2 ШАГ 4. Определяем исправленное стандартное от- клонение доходности акции: % 55 , 2 5 , 6 Рассматривая технику определения стандартного отклонения и цифровой пример, мы оперировали вре- менным периодом, равным году. На практике возникает задача определения стандартного отклонения для дру- гих временных периодов. Если имеется значение стандартного отклонения за год, то для определения его за один день надо стан- дартное отклонение в расчете на год разделить на ко- рень квадратный из количества дней в году, а именно: 365 1 , где: 1 – стандартное отклонение в расчете на один день; – стандартное отклонение в расчете на год. Так, стандартное отклонение доходности акции за один день в приведенном выше примере равно: % 133 , 0 365 55 , 2 Следует, однако, иметь в виду, что торговля ценны- ми бумагами происходит не 365 дней в году. В году примерно 252 торговых дней, в течение которых и происходит изменение доходности акции. Поэтому для расчета стандартного отклонения за один день целесо- образно использовать 252 дня. Тогда стандартное от- клонение за день в примере составит: % 161 , 0 252 55 , 2 352 Если мы определяем стандартное отклонение за не- который период на основе годичного стандартного от- клонения, то в общем виде формула имеет следующий вид: 252 t t , где: t – стандартное отклонение за период t ; t – период времени, для которого определяется стандартное отклонение; – стандартное отклонение за год. Пусть в нашем примере требуется определить стан- дартное отклонение доходности акции за 50 дней. В соответствии с формулой оно составит: % 136 , 1 252 50 55 , 2 50 Если известно стандартное отклонение за один день, то определить его в расчете на год можно по формуле: 252 1 Соответственно стандартное отклонение за любой другой период времени t определяется по формуле: t t 1 , где t – количество дней в периоде, за который рас- считывается стандартное отклонение. Получить стандартное отклонение за год на основе его значения за некоторый период t можно с помо- щью формулы t t 252 Если стандартное отклонение за 50 дней составляет 1,136%, то в расчете на год оно равно: 353 % 55 , 2 50 252 136 , 1 На практике волатильность определяется на основе данных о ежедневной доходности акции. Доходность акции за один день определяется по формуле: 1 1 i i i i t t t t S S S r , где: i t r – доходность акции за i день; i t S – цена акции при закрытии i дня; 1 i t S – цена акции при закрытии 1 i дня. Например, берут цену акции при закрытии вчера 0 t S и цену акции при закрытии сегодня 1 t S . Доходность акции за первый день равна: 0 0 1 1 t t t t S S S r Показатель 1 t r является первым статистическим на- блюдением. Далее берут цену акции при закрытии для дня 2 t и определяют аналогичным образом доходность акции за второй день и т.д. На основе полученных дан- ных о ежедневной доходности по формуле 1 1 2 n r r n i i определяют волатильность в расчете на один день. Затем по формуле 252 1 опреде- ляют волатильность в расчете на год. Удобство расчета стандартного отклонения на основе ежедневных данных состоит в том, что можно восполь- зоваться большим количеством наблюдений. В то же время, при определении волатильности на год на основе значения волатильности за день можно допустить 354 существенную погрешность. Она будет особенно вели- ка, если стандартное отклонение актива следует про- цессу «возвращение к среднему значению». Это означа- ет, что волатильность актива в долгосрочной перспективе испытывает колебания вокруг некоторого среднего значения, а не возрастает бесконечно про- порционально величине t , как это следует из фор- мулы t t 1 На практике приемлемый результат получается, ес- ли рассчитывать стандартное отклонение для более длительных периодов на основе более коротких, ис- пользуя период времени до 10 дней. Так, определив волатильность в расчете на день, можно определить ее для периода в 10 дней, умножив полученную цифру на значение 10 . Когда инвестора интересует волатильность за более длительные периоды, можно взять прошлые статисти- ческие данные с требуемым интервалом. Например, инвестор определяет волатильность для одного месяца. Тогда необходимо взять наблюдения за предыдущие периоды времени по 30 дней. Причем, чтобы исклю- чить автокорреляцию 4 , следует использовать непересе- кающиеся временные периоды. Неудобство такого подхода при расчете волатильности для больших пе- риодов состоит в том, что приходится использовать наблюдения за несколько предыдущих лет. Доходность акции является случайной величиной и поэтому может принимать различные значения. Если значения переменной изменяются во времени неопре- деленным образом, то говорят, что она следует стохас- 4 Автокорреляция – это термин, который говорит о том, что вели- чина переменной в следующий момент зависит от ее значения в предыдущий момент. 355 тическому, то есть вероятностному процессу. Значения переменной могут изменяться дискретно или непре- рывно. В первом случае величина переменной изменя- ется только на определенную (дискретную) величину, во втором – может принимать любые значения в рам- ках некоторого диапазона. Значения одной переменной могут изменяться только в определенные моменты времени, другой – в любое время. Поэтому выделяют соответственно дис- кретный и непрерывный стохастические процессы. Доходность акции подчиняется нормальному рас- пределению. Нормальное распределение возникает в том случае, когда на случайную величину оказывает влияние множество факторов, каждый их которых не имеет определяющего значения. График кривой нор- мального распределения (график плотности вероятно- сти) случайной величины приведен на рис. 26. Рис. 26. График кривой нормального распределения По оси абсцисс представлена область возможных значений случайной величины Х , по оси ординат – плотность распределения вероятно- стей случайной величины Х . Плотность распределения ) (x f явля- ется одной из форм закона распределения случайной величины, но су- ществует только для непрерывных случайных величин. График кривой нормального распределения сим- метричен относительно среднего значения случайной 356 величины, которое называют еще математическим ожиданием случайной величины. Сама случайная ве- личина может принимать любые отрицательные и по- ложительные значения. Правая и левая ветви графика асимптотически приближаются к оси абсцисс. Вся площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Если нас интересует вероят- ность попадания случайной величины на какой-либо интервал оси абсцисс, то она будет равна площади фи- гуры, ограниченной сверху кривой распределения, сни- зу – осью абсцисс, по бокам – перпендикулярами, про- ходящими через концы интервала. Нормальное распределение полностью определяется двумя характеристиками случайной величины – ее мате- матическим ожиданием и стандартным отклонением. Стандартное отклонение характеризует степень рас- сеяния возможных значений случайной величины во- круг ее среднего значения. Кроме этого, оно говорит о вероятности того, что значение случайной переменной окажется в некотором интервале. Для нормально рас- пределенной случайной величины полезно запомнить так называемое «правило трех сигм». Оно говорит о том, что вероятность получить значение случайной переменной в диапазоне одного стандартного откло- нения от ее средней величины равно 68,3%, в диапазо- не двух стандартных отклонений – 95,4%, трех стан- дартных отклонений – 99,7%. Остается еще 0,3% вероятности того, что случайная величина примет лю- бое другое значение, выходящее за рамки отмеченных границ. Проиллюстрируем данное правило на основе при- мера по расчету волатильности, который был приведен выше. Среднее значение или математическое ожидание доходности акции равнялось 32%, а стандартное от- клонение доходности в расчете на год – 2,55%. 357 Согласно «правилу трех сигм», инвестор вправе ожидать, что: с вероятностью 68,3% доходность акции через год будет располагаться в интервале от % 55 , 2 % 32 , то есть от 29,45% до 34,55%; с вероятностью 95,4% этот интервал составит % 55 , 2 2 % 32 , то есть от 26,9% до 37,1%.; с вероятностью 99,7% интервал возможной доход- ности будет равен % 55 , 2 3 % 32 или от 24,35% до 39,65%. Остаются еще 0,3% вероятности того, что акция принесет как гораздо более высокую, так и низкую доходность. Стандартное отклонение является мерой риска из- менения доходности акции. Зная данную величину, инвестор может выбирать между более или менее рис- кованными бумагами. Например, имеются две акции A и B . Их средняя доходность одинакова и равна 30%, так как это просто средняя арифметическая их доходно- стей за определенный период времени. При этом стан- дартное отклонение в расчете на год акции A равно 10%, акции B – 15%. Из этого следует, что акция B рискованнее акции A . Исходя из правила трех сигм, инвестор с вероятностью 68,3% вправе ожидать полу- чения через год по бумаге A доходности в диапазоне от 20% до 40%, а по бумаге B – в диапазоне от 15% до 45%. По этой причине более консервативный вкладчик выберет бумагу A , а более склонный к риску – бумагу B 10.4. НОВЫЕ МОДЕЛИ ОЦЕНКИ РИСКА (ARCH, GARCH, EWMA) В рамках традиционного подхода к определению риска акции значение ее дисперсии рассматривается во времени как неизменная величина. Данное свойство дисперсии называют гомоскедастичностью. Однако об- 358 щепризнанно, что ее величина подвержена изменениям. Свойство непостоянства дисперсии именуют термином гетероскедастичность. Замечено: на финансовом рынке периоды низкой волатильности сменяются ее высокими периодами. В рамках каждого из этих периодов возникает эффект кла- стерности. Он говорит о том, что если сейчас на рынке наблюдается низкая волатильность, то наиболее веро- ятно, что она сохранится и в следующий момент. За высоким показателем волатильности, скорее всего, по- следует также высокое значение волатильности. Эф- фект кластерности был впервые обнаружен в 1963 г. Манделбротом. Таким образом, если на рынке появилась информа- ция, которая вызвала рост или падение волатильности, то она будет сказываться на ней еще в течение некото- рого времени. Такое положение вещей говорит о том, что последние данные о динамике доходности актива имеют большее значение для прогнозирования теку- щего уровня дисперсии, чем более ранние. Поэтому при прогнозировании дисперсии последние статисти- ческие данные следует учитывать с большим удельным весом, чем более ранние. 10.4.1. Авторегрессионная условная гетероскедастичность (ARCH) При расчете дисперсии формула 1 1 2 2 n r r n i i обладает тем недостатком, что в ней не находит отра- жения временной порядок наблюдений, поскольку все они одинаковые удельные веса. Несколько трансфор- мируем данную формулу. Во-первых, в знаменателе вместо величины (n-1) возьмем n . Такое изменение не искажает существенно оценку дисперсии. Во-вторых, 359 придадим вес i каждому из наблюдений квадратов отклонений доходности. Тогда формула примет вид: n r r r r r r n n 2 2 2 2 2 1 1 2 , Разделим все слагаемые на значение n : 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 r r r r r r или r r n r r n r r n n n n n , где n i i – удельный вес каждого наблюдения квад- рата отклонения доходности; общая сумма удельных весов равна единице. За день доходность акции, как правило, изменяется не сильно. Поэтому ее средняя доходность мало отли- чается от нуля. Кроме того, дисперсия за день сущест- венно больше величины средней доходности. В итоге среднюю доходность r можно считать равной нулю 5 Тогда формула примет вид: n i i i n n r или r r r 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 Можно предположить, что существует долгосроч- ная оценка дисперсии, и включить ее оценку в послед- нюю формулу. Получим: n i i i r gv 1 2 2 , 5 Такая корректировка ведет к некоторому смещению в сторону увеличения дисперсии, однако оно незначительно. 360 где: v – оценка долгосрочной дисперсии; g – ее удельный вес. Обозначим gv через переменную w . Тогда n i i i r gv 1 2 2 примет вид: n i i i r w 1 2 2 Допустим, что мы рассчитываем дисперсию для дня n на основе данных p предшествующих дней, то есть p периодов, тогда формула n i i i r w 1 2 2 примет следующий вид: p i i n i n r w 1 2 2 , где 2 n – оценка дисперсии для го n дня. Приведенная формула представляет собой модель p ARCH , название которой переводится как авторег- рессионная условная гетероскедастичность. Она была разра- ботана Р. Инглом в 1982 г. для отражения изменчивого характера дисперсии во времени. Как уже было отме- чено, модель оценивает дисперсию для го n дня на основе p наблюдений. Более ранним наблюдениям придаются меньшие удельные веса. В формуле p i i n i n r w 1 2 2 значения 2 i n r мож- но рассматривать как дисперсии доходности акции за каждый день наблюдений. Поэтому в рамках модели p ARCH оценка дисперсии для следующего дня (дня n) представляет собой сумму долгосрочной диспер- сии и дисперсий за последние p дней, взятых с соот- ветствующими удельными весами, которые уменьша- 361 ются по мере удаления наблюдений от текущего дня. Поскольку в модель включено значение долгосрочной дисперсии, то она учитывает процесс «mean reversion» (возвращение к среднему значению). 10.4.2. Обобщенная авторегрессионная условная гетероскедастичность (GARCH) Развитием модели ARCH является модель GARCH −обобщенная авторегрессионная условная гетероскеда- стичность. Она была предложена в 1986 г. Т. Борресле- вом. В дальнейшем в модель были внесены различные модификации. Первоначальная модель – это 1 , 1 GARCH . Цифры в скобках говорят о том, что прогноз дисперсии дается на основе последнего на- блюдения доходности актива и последней оценки дис- персии. Модель может строиться и на большем числе наблюдений. Тогда в общем виде ее название запишут как q p GARCH , . В этом случае в модели использует- ся p последних значений доходности актива и q по- следних оценок дисперсии. Наиболее популярной ос- тается модель 1 , 1 GARCH , представленная формулой: 2 1 2 1 2 n n n r gv , где: 2 n – оценка дисперсии для го n дня, которая дается в конце дня 1 n ; 2 1 n – оценка дисперсии доходности актива для го n 1 дня; 1 n r – доходность актива за й n 1 день; v – долгосрочная дисперсия; , , g – удельные веса; сумма весов равняется еди- нице. 362 Как и в модели ARCH , в данной модели предпола- гается существование некоторого уровня долгосрочной дисперсии. Таким образом, она также учитывает про- цесс «mean reversion», что предполагает колебания дис- персии вокруг ее долгосрочного среднего значения. Если обозначить w gv , то формула 2 n примет вид: 2 1 2 1 2 n n n r w |